Hyperbolický rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou a

Verzia tejto stránky v pdf-formáte: rez-hyperbolický.pdf

Pri riešení rezu v ortogonálnej axonometrii je výhodné využiť priemet kužeľovej plochy do tej pomocnej priemetne, na ktorú je rezová rovina kolmá. V pomocnom priemete ľahko určíme druh rezovej kužeľosečky a ďalšie potrebné body rezu.

V našom prípade je rezová rovina kolmá na nárysňu, preto využijeme axonometrický nárys – 2. axonometrický priemet.

Zobrazíme 2. axonometrický priemet kužeľovej plochy. (Pri hľadaní k₂ – 2. axonometrického priemetu riadiacej kružnice, ktorá sa zobrazí do úsečky, využijeme združené priemery kružnice, ktoré sú rovnobežné so súradnicovými osami x, y .

Vrcholová rovina (ktorá sa v náryse zobrazí do priamky s₂), rovnobežná s rezovou rovinou a,  pretína kužeľovú plochu v dvoch tvoriacich priamkach  ¹q , ²q  Þ rez bude hyperbola.

Axonometrický nárys je úsečka X₂A₂ a X₂B₂ z priamky a₂ – priemet roviny a.

Axonometrický priemet vrchola A a B rezovej hyperboly nájdeme pomocou obrazov tvoriacich priamok a a b, ktoré týmito bodmi prechádzajú.

Pôdorysná stopa p^a pretína riadiacu kružnicu v bode X a Y.

Hlavná priamka p roviny a pretína kružnicu k´ v bode X´ a Y´.

Asymptoty ¹as, ²as  zostrojíme pomocou dotykových rovín ¹t , ²t pozdĺž tvoriacich priamok ¹q , ²q :

¹P = p^1t  Ç p^a & ¹P Î ¹as & ¹as || ¹q  ,

²P = p^2t  Ç p^a & ²P Î ²as & ²as || ²q  .

Dotyková rovina ¹t je určená tvoriacou priamkou ¹q a dotyčnicou p^1t ku riadiacej kružnici k v bode 1. Pretože dotyčnica p^1t leží v pôdorysni, bude stopou dotykovej roviny ¹t .

Dotyková rovina ²t je určená tvoriacou priamkou ²q a dotyčnicou p^2t ku riadiacej kružnici k v bode 2. Pretože dotyčnica p^2t leží v pôdorysni, bude stopou dotykovej roviny ²t .

Body E , F  prechodu pre viditeľnosť hľadáme ako priesečníky obrysových tvoriacich priamok  e , f   s rezovou rovinou a  (najvhodnejšie s využitím axonometrického nárysu) :

 e , f ®  e₂, f₂,

 E₂ =  e₂ Ç a₂ , E₂ ® E  & E Î e  (na obrázku bod E nie je na časti zobrazenej kužeľovej plochy),

 F₂ =  f₂ Ç a₂ , F₂ ® F  & F Î f  .

Viditeľné body rezovej čiary sú na viditeľných tvoriacich priamkach a neviditeľné body rezovej čiary sú na neviditeľných tvoriacich priamkach.

Axonometrický priemet vrchola A hyperboly, nie je vrcholom jej axonometrického priemetu Hyperbolu narysujeme pomocou úlohy : ak poznáme asymptoty a bod hyperboly (napr. bod A, B, X, Y, X´, Y´ ), viď 3. cvičenie, alebo web-stránku: Kužeľosečky -úloha č.9 ) .

Poznámka:

Elipsa k₁ je obrazom kružnice k :

1. Hlavná os elipsy k₁ je kolmá na súradnicovú os z a prechádza jej stredom S.
2. Vedľajšia os elipsy k₁  je rovnobežná s súradnicovou osou z a prechádza jej stredom S .
3. Vzdialenosť ohniska elipsy k₁ od vedľajšieho vrchola sa rovná vzdialenosti dĺžky hlavnej polosi .

Dotyčnicu ku elipse v bode 1 resp. 2 nájdeme:

a. ohniskovými vlastnosťami elipsy :

b. alebo osovou afinitou medzi elipsou k₁ a kružnicou k₁´ zostrojenou nad hlavnou osou elipsy k₁:

 OA = {os_OA = hlavná os elipsy k₁ , smer_OA je kolný na os_OA, Q ® Q´ }.