7. Limita funkcie

7.1. Definícia limity

Pojem limita funkcie je jedným zo základných pojmov matematickej analýzy. Pomocou limity funkcie sú definované mnohé ďalšie pojmy, ako spojitosť funkcie, derivácia funkcie v bode, príp. integrál funkcie.

Limita funkcie vyjadruje správanie - priebeh funkcie v okolí nejakého bodu, pričom funkcia je na tomto okolí definovaná, ale nezáleží na tom, či v samotnom vyšetrovanom bode je definovaná alebo nie.

Majme napríklad funkciu

f : D ( f ) R , x f ( x ) = x 2 1 x 1

definovanú pre všetky reálne čísla okrem čísla 1, D(f)=R{1}.

Skúmajme hodnoty funkcie v bodoch ležiacich v okolí bodu 1, obr. 1.

obr1
Obr. 1: Graf funkcie

Platí:

f ( 0 , 8 ) = 1 , 8 , f ( 0 , 9 ) = 1 , 9 , f ( 1 , 2 ) = 2 , 2 , f ( 1 , 1 ) = 2 , 1

teda hodnoty funkcie sa blížia k číslu 2.

Hovoríme, že limita funkcie v bode 1 sa rovná 2.

Túto skutočnosť môžeme precízne sformulovať v definícii limity funkcie v nejakom ľuboboľnom bode a, v okolí ktorého je funkcia definovaná. V samotnom bode a však funkcia nemusí byť definovaná.

Definícia 1. (Heineho)

Nech je funkcia f definovaná pre všetky xa z niektorého okolia bodu a.

Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu b, ak pre každú postupnosť {xn} bodov z definičného oboru funkcie f takých, že xna konvergujúcu k a má odpovedajúca postupnosť funkčných hodnôt {f(xn)} limitu b.

lim x a f ( x ) = b [ lim n x n = a , x n D ( f ) , x n a lim n f ( x n ) = b ]

Definícia limity funkcie vyjadruje skutočnosť, že pre hodnoty x málo odlišné od a (ale rôzne od a) sú hodnoty f(x) málo odlišné od b.

obr2
Obr. 2: Limita funkcie

V definícii limity funkcie v bode a sa predpokladá, že xna, nehovorí sa však nič o hodnote funkcie v samotnom bode a - f(a). Existencia limity funkcie v bode a nezávisí od hodnoty funkcie f(a) v tomto bode, ani od toho, či je funkcia v bode a definovaná.

Definícia 2. (Cauchyho)

Nech je funkcia f definovaná pre všetky xa z niektorého okolia bodu a.

Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu b, ak ku každému okoliu Oɛ(b) existuje také okolie Oδ(a), že pre každé xOδ(a),xaje f(x)Oɛ(b).

ɛ > 0 δ > 0 : 0 < | x a | < δ | f ( x ) b | < ɛ

Skutočnosť, že limxaf(x)=b sa dá jednoducho geometricky interpretovať (obr. 3).

obr3
Obr. 3: Limita funkcie

Funkcia nemá v bode a limitu rovnajúcu sa číslu b, ak pre nejaké (aspoň jedno) ɛ-okolie čísla b, Oɛ(b)=(bɛ,b+ɛ), δ-okolie bodu a, (aδ,a+δ), z definície neexistuje (obr. 4).

obr4
Obr. 4: Neexistencia limity funkcie

7.2. Základné vety o limite

Z Heineho definície limity vyplývajú nasledujúce tvrdenia:

V1. Funkcia f môže mať v bode a najviac jednu limitu.

V2. Platí limxaf(x)=blimxa[f(x)b]=0.

V3. Nech limxaf(x)=b, a nech existuje také okolie O(a), že pre všetky xO(a),xa je Kf(x)L (funkcia je na O(a) ohraničená). Potom platí KbL.

obr5
Obr. 5: Limita ohraničenej funkcie na okolí bodu a

V4. Ak platí f(x)=c,cR,D(f)=R, potom má funkcia f limitu pre každé aR, a platí limxaf(x)=c.

V5. Limita troch funkcií

Ak limxag(x)=b,limxah(x)=b a ak existuje také okolie O(a) bodu a, že pre všetky xO(a),xa je g(x)f(x)h(x) , potom limxaf(x)=b.

Príklad:

1. Nech f(x)=xsin1x, potom limx0f(x)=0.

Platí:

| sin 1 x | 1

| x sin 1 x | = | x | | sin 1 x | x

a teda

| x | x sin 1 x | x | .

Platí však

lim x 0 ( | x | ) = lim x 0 | x | = 0

a teda aj

lim x 0 x sin 1 x = 0.

obr6
Obr. 6: Graf funkcie

V6. Ak limxaf(x)=A,limxag(x)=B a k,l sú dve ľubovoľné čísla, tak

a) limxa[kf(x)±lg(x)]=klimxaf(x)±llimxag(x)=kA±lB

b) limxa[f(x).g(x)]=limxaf(x).limxag(x)=A.B

c) ak je B0, potom limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x)=AB.

d) limxa[f(x)]k=[limxaf(x)]k=Ak,kN

e) limxacf(x)=climxaf(x)=cA,cR,c>0

Príklady:

1. Vypočítajte limx3(x2+4).

Funkcia f(x)=x2+4 je súčtom funkcií g(x)=x2 a h(x)=4.

Ďalej platí:

lim x 3 x 2 = [ lim x 3 x ] 2 = ( 3 ) 2 = 9

lim x 3 4 = 4

teda pre limitu súčtu funkcií platí

lim x 3 ( x 2 + 4 ) = lim x 3 x 2 + lim x 3 4 = 9 + 4 = 13

2. Vypočítajte limx12x5x2+1 .

Platí

lim x 1 2 x 5 = 2 [ lim x 1 x ] 5 = 2 ( 1 ) 5 = 2

lim x 1 ( x 2 + 1 ) = lim x 1 x 2 + lim x 1 1 = 1 + 1 = 2 0

Limita podielu funkcií sa rovná podielu ich limít, preto

lim x 1 2 x 5 x 2 + 1 = lim x 1 2 x 5 lim x 1 ( x 2 + 1 ) = 2 2 = 1

3. Nájdite limitu funkcie 2x31 v bode a =3.

Platí

lim x 3 2 x 3 1 = 2 lim x 3 ( x 3 1 ) = 2 lim x 3 x 3 lim x 3 1 = 2 1 1 = 1.

V7. Limita zloženej funkcie

Nech: a) limxaϕ(x)=b,limubf(u)=B

b) existuje také okolie O(a) bodu a, že pre všetky xO(a),xa platí ϕ(x)=b.

Potom zložená funkcia f(ϕ(x)) má v bode a limitu a platí

lim x a f ( ϕ ( x ) ) = lim u b f ( u ) = B

Príklad:

1. Nájdite limitu funkcie f(x)=x28x133 v bode 28.

Nech

u = ϕ ( x ) = x 1 3 3

potom

x 1 3 = u + 3

x 1 = ( u + 3 ) 3

x 28 = ( u + 3 ) 3 27

f ( u ) = ( u + 3 ) 3 27 u = u 3 + 9 u 2 + 27 u + 27 27 u = u 2 + 9 u + 27

Zrejme platí

lim x 28 ϕ ( x ) = lim x 28 x 1 3 3 = lim x 28 x 1 3 3 = 0

lim u 0 f ( u ) = lim u 0 ( u 2 + 9 u + 27 ) = 27

lim x 28 x 28 x 1 3 3 = lim u 0 ( u + 3 ) 3 27 u = lim u 0 u 2 + 9 u + 27 = 27

2. Vypočítajte limitu funkcie f(x)=x2x1 v bode a = 1.

Nech ϕ(x)=u=2x1, potom x=u+12 a f(u)=(u+12)u.

Platí

lim x 1 ( 2 x 1 ) = 2 lim x 1 x lim x 1 1 = 2 1 = 1

lim u 1 f ( u ) = lim u 1 ( u + 1 2 ) u = ( lim u 1 u + 1 2 ) lim u 1 u = 1 1 = 1.

Teda platí limx1f(x)=limx1x2x1=1.

7.3. Nevlastná limita funkcie

V definícii limity funkcie písmená a, b označujú čísla. Ak však nahradíme všade písmeno b symbolom alebo , dostaneme definíciu nevlastnej limity funkcie v bode a.

Majme funkciu f(x)=1x2 (obr. 7). Definičným oborom funkcie je D(f)=R{0}.

obr7
Obr. 7: Graf funkcie

Nech je {xn}ľubovoľná postupnosť taká, že xn0,limnxn=0. Potom aj postupnosť {xn2} má limitu a platí limnxn2=(limnxn)(limnxn)=0, a pretože xn2>0 platí limn1xn2= , teda funkcia f(x) má v bode 0 nevlastnú limitu limx01x2=.

Definícia 3.

Nech je funkcia f definovaná pre všetky xa z niektorého okolia bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a nevlastnú limitu , resp. , ak z podmienky limnxn=a,xna,xnD(f) vyplýva vždy limnf(xn)=limxaf(x)=, resp. limnf(xn)=limxaf(x)=.

lim x a f ( x ) = [ lim n x n = a , x n D ( f ) , x n a lim n f ( x n ) = ]

lim x a f ( x ) = [ lim n x n = a , x n D ( f ) , x n a lim n f ( x n ) = ]

Stručne povedané, skutočnosť, že funkcia f má v bode a nevlastnú limitu , resp. znamená, že ak sa x približuje k číslu a (ale nerovná sa a), hodnoty funkcie f(x) sa stále zväčšujú, resp. zmenšujú, rastú nad všetky medze (obr. 8, obr. 9).

obr8obr9
Obr. 8: Nevlastná limita funkcie

Ďalšie vlastnosti limity funkcie sú:

8. Ak limxaf(x)=b0,limxag(x)=0 a pre každé xaz niektorého okolia bodu a platí f(x)g(x)>0,[f(x)g(x)<0] , tak

lim x a f ( x ) g ( x ) = , [ lim x a f ( x ) g ( x ) = ] .

9. Ak je funkcia f(x) v určitom okolí bodu a ohraničená a limxag(x)=, tak

lim x a [ f ( x ) + g ( x ) ] = , lim x a f ( x ) g ( x ) = 0.

10. Ak limxaf(x)=b0 a existuje také číslo p>0, že pre všetky xa z niektorého okolia bodu a je g(x)>p, tak limxaf(x).g(x)=.

Príklady:

1. Vypočítajte limitu funkcie f(x)=1+x(x2)2 v bode a=2.

Funkcia f(x) je definovaná pre všetky reálne čísla x okrem čísla 2.

Označme g(x)=1+x,h(x)=(x2)2.

Platí:

lim x 2 ( 1 + x ) = 3 , lim x 2 ( x 2 ) 2 = 0 , potom lim x 2 g ( x ) h ( x ) = .

7.4. Limita funkcie v nevlastných bodoch

Ak v definícii limity nahradíme číslo a číslom , resp. , dostaneme definíciu limity funkcie v nevlastnom bode ,resp..

Definícia 4.

Nech je funkcia f definovaná na intervale (a,) (resp. (,a)). Funkcia f má v nevlastnom bode (resp. ) limitu b, ak k ľubovoľnému okoliu O(b) existuje číslo A>0 také, že pre všetky x>A ( x<A) platí f(x)O(b).

lim x f ( x ) = b , ( resp . lim x f ( x ) = ) .

obr10obr11
Obr. 9: Limita funkcie v nevlastnom bode

Definícia 5.

Nech je funkcia f definovaná na intervale (a,) (resp. (,a)). Funkcia f má v nevlastnom bode (resp. ) nevlastnú limitu (resp. ), ak ku každému K>0 existuje číslo A>0 také, že pre všetky x>A ( x<A) platí f(x)>K.

lim x f ( x ) = ( resp . lim x f ( x ) = )

obr12obr13
Obr. 10: Nevlastná limita funkcie v nevlastnom bode

Poznámka: Podobne definujeme aj nevlastnú limitu v nevlastnom bode (resp.).

Príklad:

1. Daná je funkcia f(x)=2x3+x215x3x , nájdite limxf(x).

Na základe viet o limitách platí

lim x f ( x ) = lim x 2 + 1 x 1 x 3 5 1 x 2 = 2 + 0 0 5 0 = 2 5 .

2. Vypočítajte hodnotu limx(x+sinx).

Podľa vety o limite ohraničenej funkcie a funkcie, ktorej limita ju nevlastná, platí

| sin x | 1 , lim x x = , preto limx(x+sinx)=.

obr14
Obr. 11: Graf funkcie

3. Vypočítajte limitu limxsinxx.

Platí, že funkcia sin x je ohraničená a limxx=, preto limxsinxx=0.

obr15
Obr. 12: Graf funkcie

7.5. Jednostranné limity

Okrem pojmu limita funkcie f v bode a sa často používa aj pojem limita funkcie v bode a sprava, resp. limita funkcie v bode a zľava.

Definícia 6.

Nech je funkcia f definovaná pre každé xa z niektorého pravého (ľavého) okolia bodu a. Hovoríme, že funkcia f má v bode a limitu sprava (zľava) rovnajúcu sa b, ak pre každú postupnosť {xn}, ktorá spĺňa podmienky

lim x a + x n = a , x n D ( f ) , x n > a ( x n < a )

má postupnosť {f(xn)} stále tú istú limitu rovnajúcu sa b. Pre limitu funkcie f v bode a sprava, resp. zľava používame označenie

lim x a + f ( x ) = b [ lim n x n = a , x n D ( f ) , x n > a lim n f ( x n ) = b ]

lim x a f ( x ) = b [ lim n x n = a , x n D ( f ) , x n < a lim n f ( x n ) = b ] .

Ak b=,resp., hovoríme o nevlastnej limite funkcie f v bode a sprava (resp. zľava). Tieto limity nazývame jednostranné limity.

Veta. Limita funkcie f v bode a existuje vtedy a len vtedy, keď existujú jednostranné limity v bode a zľava aj sprava a tieto sa rovnajú limite funkcie v bode a

lim x a f ( x ) = lim x a f ( x ) = lim x a + f ( x ) .

Ak niektorá z jednostranných limít funkcie f v bode a neexistuje, potom neexistuje ani limita funkcie f v bode a.

Pre jednostranné limity platia tvrdenia 6. a 7.

Príklad:

1. Limita funkcie f(x)=|x|x v bode a=0 zľava sa nerovná limite funkcie v bode a=0 sprava. Pre každé x<0 je |x|=x,f(x)=xx=1a platí limxaf(x)=1.

Pre každé x>0 je |x|=x,f(x)=xx=1 a limxa+f(x)=1.

Limita funkcie f(x)=|x|x preto v bode a neexistuje.

obr16
Obr. 13: Graf funkcie

2. Platí limx01x=,limx0+1x=, a teda limxa1x neexistuje.

obr17
Obr. 14: Graf funkcie

3. Ukážte, že platí limx1x=limx1x=0.

Funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla okrem čísla 0.

Pre každé x( 0, ) je 1 x > 0 . Ak je x>A,A>0, potom 0<1x<1A , teda pre ľubovoľné okolie bodu 0 Oɛ(0)=(ɛ,ɛ),ɛ>0 existuje také číslo A>0,A=1ɛ, že pre všetky x>A platí 1xOɛ(0), teda pre x>1ɛ je 1x(0,ɛ) . Potom podľa definície 5. platí limx1x=0.

Podobne pre každé x(,0) je 1x<0. Ak je x<A,A>0, potom 0>1x>1A , teda pre ľubovoľné okolie bodu 0 Oɛ(0)=(ɛ,ɛ),ɛ>0 existuje také číslo A>0,A=1ɛ, že pre všetky x<A platí 1xOɛ(0), teda pre x<1ɛ je 1x(0,ɛ) . Potom podľa definície 5. platí limx1x=0.

4. Ukážte, že platí limx1xk=0,limx1xk=0,kN.

lim x 1 x k = [ lim x 1 x ] k = 0 k = 0 , k N

lim x 1 x k = [ lim x 1 x ] k = 0 k = 0 , k N .