Platia nasledujúce tvrdenia:
1. Každá postupnosť má najviac jednu limitu (t.j. buď nijakú, alebo práve jednu).
Tvrdenie sa dá jednoducho dokázať sporom. Keby mala nejaká postupnosť dve rôzne limity , museli by sa takmer všetky členy tejto postupnosti nachádzať v každom okolí aj okolí , teda v ich prieniku. Stačí však zvoliť , potom , čo znamená, že členy postupnosti môžu patriť len do jedného z okolí a teda postupnosť nemá dve rôzne limity.
Obr. 5.13: Epsilon okolia |
2. Postupnosť má limitu a vtedy a len vtedy, keď má postupnosť limitu 0.
3. Ak , tak a naopak, ak , tak .
4. Nech pre všetky členy postupnosti platí a nech . Potom .
Obr. 5.14: Graf postupnosti |
5. Limita troch postupností.:
Nech a nech pre každé prirodzené číslo n platí , potom aj .
6. Každá konvergentná postupnosť je ohraničená. Neohraničená postupnosť je divergentná.
Ohraničenosť je nutná podmienka konvergencie, nie je to však postačujúca podmienka.
Príklad:
1. Postupnosť je ohraničená, ale nie je konvergentná.
Obr. 5.15: Graf oscilujúcej postupnosti |
7. Každá monotónna a ohraničená postupnosť je konvergentná.
Nech sú dané postupnosti a , potom postupnosti
nazývame postupne súčet, rozdiel, súčin a podiel (pre všetky ) postupností.
8. Ak sú postupnosti konvergentné, potom sú konvergentné aj postupnosti .
.
Ak , tak
a)
b) ,
c)
d) ak pre všetky n a , tak aj postupnosť je konvergentná a platí .
Príklad:
1. Postupnosť je rastúca a ohraničená
je teda konvergentná a jej limita sa rovná Eulerovmu číslu e
Obr. 5.16: Graf postupnosti |
Majme postupnosť
Obr. 5.17: Graf postupnosti |
Táto postupnosť je neohraničená, teda nie je konvergentná. Pre členy tejto postupnosti však platí takáto jednoduchá vlastnosť: s rastúcim indexom n rastú členy postupnosti nad každé číslo. Pre každé číslo A existuje číslo také, že pre je , teda v každom okolí ležia takmer všetky členy postupnosti . Takúto vlastnosť vyjadrujeme slovami: postupnosť má nevlastnú limitu .
Definícia
Postupnosť má nevlastnú limitu , ak v každom okolí ležia takmer všetky členy postupnosti , teda ak ku každému číslu A existuje také číslo , že pre je . Zapisujeme .
Obr. 5.18: Graf postupnosti |
Ak v každom okolí ležia takmer všetky členy postupnosti , t. j. ak ku každému číslu A existuje také číslo , že pre je , hovoríme, že postupnosť má nevlastnú limitu a zapisujeme .
Obr. 5.19: Graf postupnosti |
Ak je daná postupnosť , môžu zrejme nastať tieto prípady:
1. existuje vlastná limita
2. existuje nevlastná limita
3. existuje nevlastná limita
4. neexistuje ani vlastná ani nevlastná limita, hovoríme, že postupnosť je oscilujúca.
Vety o limite monotónnych postupností:
1. Nech je postupnosť neklesajúca.
Ak nie je zhora ohraničená, potom .
Ak je zhora ohraničená, potom má vlastnú limitu a a platí pre .
2. Nech je postupnosť nerastúca.
Ak nie je zdola ohraničená, platí .
Ak je zdola ohraničená, má vlastnú limitu a a platí pre .
3. Monotónna postupnosť je konvergentná vtedy a len vtedy, keď je ohraničená.
4. Ak je postupnosť ohraničená a , tak
.
5. Ak
6. Ak
.
7. Ak
.
8. Ak
.
Príklady:
1. , a teda .
2.
pretože .
3. pretože