3. Základy vektorovej algebry

Vektorom budeme nazývať každú orientovanú úsečku AB, bod A je začiatočný a bod B koncový bod vektora. Orientovaná úsečka je jedným umiestnením vektora a=AB, preto všetky úsečky priestoru zhodné a zhodne orientované ako AB reprezentujú ten istý vektor. Základné umietnenie vektora je umiestnenie, v ktorom je začiatočným bodom vektora začiatok súradnicovej sústavy O.

Nulový vektor označujeme 0, jeho začiatočný a koncový bod splývajú.

Každé dva nenulové vektory, ktoré možno umiestniť do jednej priamky, nazývame kolineárne. Každé tri nenulové vektory, ktoré môžeme umiestniť do jednej roviny, nazývame komplanárne. Každé dva nekolineárne vektory určujú jedinú rovinu.

obr1
Obr 1: Kolineárne a komplanárne vektory

Súradnice vektora

Nech je v priestore daná pravouhlá karteziánska súradnicová sústava, určená tromi kolmými priamkami xyzx so spoločným bodom O, začiatkom súradnicovej sústavy (0,x,y,z). Jednotkové vektory v smere súradnicových osí x, y, z označme i, j, k v danom poradí. Každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť pomocou svojich súradníc, ktoré sú súradnicami jeho koncového bodu v základnom umiestnení

a = A B = O P = ( a 1 , a 2 , a 3 )

Súradnice jednotkových vektorov sú

i = ( 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 1 , 0 ) , k = ( 0 , 0 , 1 )

Základné operácie s vektormi

Nech sú dané vektory a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

Potom platí:

1. a=b práve vtedy, keď a1=b1,a2=b2,a3=b3

2. a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

3. k.a=(ka1,ka2,ka3)

Ak A=(x1,y1,z1) a B=(x2,y2,z2) sú dva ľubovoľné body priestoru, potom súradnice vektora AB vyjadríme nasledovne

a = A B = ( x 2 x 1 , y 2 y 1 , z 2 z 1 )

obr2
Obr 2: Súradnice vektora

Dĺžka vektora

Dĺžku vektora vypočítame ako vzdialenosť jeho určujúcich bodov A a B, platí

| a | = | A B | = ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2 + ( z 2 z 1 ) 2

Lineárna závislosť vektorov

Hovoríme, že vektory a1,a2,...,ak,k>1 sú lineárne závislé, ak existujú také čísla c1,c2,...,ck, z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly, že platí

c 1 a 1 + c 2 a 2 + ... + c k a k = 0

Ak vektory a1,a2,...,ak,k>1 nie sú lineárne závislé, hovoríme, že sú lineárne nezávislé. Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď je niektorý z nich lineárnou kombináciou ostatných. Ak je aspoň jeden z vektorov nulový vektor, potom sú dané vektory lineárne závislé.

Každé dva kolineárne vektory, každé tri komplanárne vektory a každé štyri vektory v priestore sú lineárne závislé.

Uhol dvoch vektorov

Nech a, b sú dva nenulové nekolineárne vektory umiestnené do bodu O. Uhlom vektorov a, b nazývame dutý uhol ϕ, ktorý zvierajú polpriamky OA,OB, t. j. 0<ϕ<π. Ak sú vektory kolineárne a súhlasne orientované, abϕ=0, ak sú kolineárne a opačne orientované, abϕ=π.

Skalárny súčin vektorov

Skalárny súčin a.b dvoch nenulových vektorov a, b je číslo

a . b = | a | . | b | cos ϕ , kde ϕ je uhol vektorov a, b.

Pre uhol ϕ dvoch nenulových vektorov a, b platí

cos ϕ = | a . b | | a | . | b |

Dva nenulové vektory sú kolmé práve vtedy, ak a.b=0.

Pre ľubovoľné vektory a, b, c platí:

1. a . b = b . a

2. (ka).b=k(a.b),kječíslo

3. (a+b).c=a.c+b.c

Ak sú vektory a a b dané súradnicami a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), potom

a . b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

| a | = a . a = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2

cos ϕ = | a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 | a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 b 1 2 + b 2 2 + b 3 2

Príklad 1. Vypočítajte uhol vektorov u=AB,v=BC,A=[1,2,3],B=[1,1,1],C=[0,0,5].

Riešenie:

u = A B = ( 1 + 1 , 1 2 , 1 3 ) = ( 2 , 1 , 2 )

v = B C = ( 1 , 1 , 5 1 ) = ( 1 , 1 , 4 )

cos ϕ = | u . v | | u | . | v | = | 2 . ( 1 ) + ( 1 ) . ( 1 ) + ( 2 ) .4 | 2 2 + ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + 4 2 = | 9 | 3. 18 = 9 9 2 = 2 2

Uhol vektorov je ϕ=π4=45.

Vektorový súčin dvoch vektorov

Vektorový súčin dvoch nenulových vektorov a, b je vektor v=a×b, pre ktorý platí

1. vektor v je kolmý na oba vektory a aj b

2. |v|=|a|.|b|.sinϕ

3. v je orientovaný tak, že vektory a, b, v tvoria pravotočivý systém.

obr3
Obr 3: Vektorový súčin dvoch vektorov

a × b = 0 práve vtedy, ak sú vektory a a b lineárne závislé.

Veľkosť vektora |v|=|a×b| sa rovná obsahu rovnobežníka so stranami v lineárne nezávislých vektoroch a a b.

Pre ľubovoľné vektory a, b, c platí:

1. a×b=b×a

2. k1a×k2b=k1k2(a×b)

3. (a+b)×c=(a×c)+(b×c)

Ak sú vektory a a b dané súradnicami a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), potom

a × b = | i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 |

Príklad 2. Vypočítajte vektorový súčin vektorov u=AB,v=BC z príkladu 1.

Riešenie:

u = A B = ( 2 , 1 , 2 ) , v = B C = ( 1 , 1 , 4 )

u × v = | i j k 2 1 2 1 1 4 | = i . | 1 2 1 4 | j . | 2 2 1 4 | + k . | 2 1 1 1 | =

= i . ( 4 2 ) j . ( 8 2 ) + k . ( 2 1 ) = ( 6 , 6 , 3 )

| u × v | = ( 6 ) 2 + ( 6 ) 2 + ( 3 ) 2 = 2.36 + 9 = 81 = 9

| u × v | = | u | . | v | . sin ϕ = 3. 18 . sin π 4 = 3. 18 . 2 2 = 3. 18.2 4 = 3. 9 = 9

Zmiešaný súčin troch vektorov

Zmiešaným súčinom troch nenulových vektorov a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3) nazývame číslo

[ a b c ] = ( a × b ) . c = | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 |

Zmiešaný súčin [abc]=0 práve vtedy, ak niektorý z vektorov je nulový alebo ak vektory a, b, c sú komplanárne.

Geometrická interpretácia

Absolútna hodnota zmiešaného súčinu troch nenulových, nekomplanárnych vektorov udáva objem rovnobežnostena, ktorého strany sú určené danými vektormi.

obr4
Obr 4: Zmiešaný súčin troch vektorov

Objem štvorstena OABC, ktorého vrcholy sú koncové body troch vektorov a=OA,b=OB,c=OC so spoločným začiatočným bodom, je jedna šestina absolútnej hodnoty zmiešaného súčinu daných troch vektorov.

V 4 = 1 6 [ a b c ]

obr5
Obr 5: Objem štvorstena

Príklad 3. Vypočítajte zmiešaný súčin vektorov u=AB,v=BC z príkladu 1. a vektora w=(0,1,0).

Riešenie:

u = A B = ( 2 , 1 , 2 ) , v = B C = ( 1 , 1 , 4 )

[ u v w ] = | 2 1 2 1 1 4 0 1 0 | = 2 | 1 4 1 0 | ( 1 ) 3 | 1 4 0 0 | + ( 2 ) | 1 1 0 1 | =

= 2. 4 + 0 2. 1 = 8 2 = 6

[ u v w ] = ( u × v ) . w = ( 6 , 6 , 3 ) . ( 0 , 1 , 0 ) = 6