2. Riešenie systému m lineárnych rovníc s n neznámymi

Daný je systém rovníc

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 n x n = b 2

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3 n x n = b 3

.....

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + ... + a m n x n = b m

kde koeficienty systému aija absolútne členy bi sú reálne čísla pre i=1,2,...m,j=1,2,...n.

Systém lineárnych rovníc môžeme zapísať aj v maticovom tvare

( a 11 a 12 a 13 ... a 1 n a 21 a 22 a 23 ... a 2 n . . . ... . a m 1 a m 2 a m 3 ... a m n ) ( x 1 x 2 . x n ) = ( b 1 b 2 . b m )

A m × n . X n × 1 = C m × 1

Matica A=(aij ),i=1.2 ,...m,j= 1,2,...,n sa nazýva matica systému, matica B,

B = ( a 11 a 12 a 13 ... a 1 n a 21 a 22 a 23 ... a 2 n . . . ... . a m 1 a m 2 a m 3 ... a m n | b 1 b 2 . b m )

sa nazýva rozšírená matica systému.

Systém rovníc sa nazýva

a) homogénny (alebo bez pravej strany), ak sú všetky absolútne členy nulové, bi=0 pre všetky i=1,2,...,m.

b) nehomogénny (s pravou stranou), ak bi0 aspoň pre jedno i.

Riešením systému nazývame každú takú usporiadanú n-ticu reálnych čísel (r1,r2,r3,...rn), teda n-rozmerný vektor, že po dosadení (r1,r2,r3,...rn) za (x1,x2,x3,...xn) do daného systému dostaneme pravdivé výroky.

Majme dva systémy lineárnych rovníc o rovnakom počte neznámych. Systémy budeme nezývať ekvivalentné, ak každé riešenie jedného z nich je aj riešením druhého.

Pri riešení systému rovníc používame nasledujúce ekvivalentné úpravy:

1. zmena poradia rovníc

2. vynásobnie rovnice systému ľubovoľným c0

3. pričítanie ľubovoľného násobku jednej rovnice k inej rovnici systému

4. vynechanie rovnice, ktorá je násobkom inej rovnice systému.

Ekvivalentnými úpravami systému dostane systém ekvivalentný s pôvodným.

Geometrická interpretácia systému lineárnych rovníc

Systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi reprezentuje vzájomnú polohu dvoch priamok v rovine. Každá rovnica systému predstavuje v pravouhlej súradnicovej sústave v rovine priamku. Dve priamky roviny môžu mať vzájomnú polohu:

a) rôznobežné, systém rovníc má jediné riešenie

b) totožné (splývajúce) a systém rovníc má nekonečne veľa riešení

c) rovnobežné, systém rovníc nemá žiadne riešenie.

Podobne sa v trojrozmernom priestore môže interpretovať lineárna rovnica s tromi neznámymi ako rovnica roviny. Podľa vzájomnej polohy rovín v priestore dostávame:

a) jediné riešenie, ak majú roviny spoločný jediný bod

b) žiadne riešenie, ak sú dve z rovín rovnobežné

c) nekonečne veľa riešení, ak majú roviny spoločnú jednu priamku.

Všeobecne systém m lineárnych rovníc s n neznámymi môže mať:

1. jediné riešenie

2. nekonečne veľa riešení

3. žiadne riešenie.

Cramerovo pravidlo

Systém n rovníc s n neznámymi má jediné riešenie, ak determinant matice systému je nenulový, detA=D0 a riešenie je

(r1 ,r2, r3,...r n)=(x 1,x2 ,x3,... xn)=( D1D ,D2D ,D3D,...,DnD), kde

D 1 , D 2 , D 3 , ... , D n sú determinanty matíc, ktoré vzniknú z matice A nahradením prvkov j-teho stĺpca absolútnymi členmi.

Systém môžeme riešiť aj pomocou inverznej matice, keď rovnicu A .X =C vynásobíme zľava inverznou maticou A1 a dostaneme

A 1 . A . X = A 1 . C E . X = A 1 . C X = A 1 . C

Príklad 1: Nájdite riešenie systému rovníc

x 3 y + z = 8

2 x + y z = 8

x z z = 0

Determinant matice systému je nenulový

D=|A|=|131211111|=12+3116=80

Systém má preto jediné riešenie, ktoré vypočítame pomocou Cramerovho pravidla.

D 1 = | 8 3 1 8 1 1 0 1 1 | = 8 8 + 8 24 = 16

D 2 = | 1 8 1 2 8 1 1 0 1 | = 8 + 8 8 16 = 24

D 3 = | 1 3 8 2 1 8 1 1 0 | = 16 24 + 8 + 8 = 8

(r1,r2,r3,...rn)=(x1,x2,x3,...xn)=(168,248,88)=(2,3,1).

Príklad 2. Nájdite riešenie systému rovníc pomocou inverznej matice.

Algebrické doplnky sú

D11=(1)2|1111|=2D21=(1)3|3111|=4

D 31 = ( 1 ) 4 | 3 1 1 1 | = 2 D 12 = ( 1 ) 3 | 2 1 1 1 | = 1

D 22 = ( 1 ) 4 | 1 1 1 1 | = 2 D 32 = ( 1 ) 5 | 1 1 2 1 | = 3

D 13 = ( 1 ) 4 | 2 1 1 1 | = 3 D 23 = ( 1 ) 5 | 1 3 1 1 | = 2

D 33 = ( 1 ) 6 | 1 3 2 1 | = 7

A 1 = 1 8 ( 2 4 2 1 2 3 3 2 7 ) C = ( 8 8 0 )

X = A 1 . C = 1 8 ( 2 4 2 1 2 3 3 2 7 ) . ( 8 8 0 ) = 1 8 ( 16 32 8 16 24 16 ) = ( 2 3 1 )

Gaussova eliminačná metóda

Rozšírenú maticu systému m lineárnych rovníc s n neznámymi upravujeme ekvivalentnými úpravami na trojuholníkový tvar.

Ak sa po tejto úprave počet riadkov matice rovná počtu neznámych, systém má jediné riešenie.

Ak sa po úprave v matici vyskytne riadok obsahujúci samé nuly okrem absolútneho člena, systém nemá riešenie.

Ak po úprave ostane menší počet riadkov ako je počet neznámych a v matici sa nevyskytne riadok obsahujúci samé nuly okrem absolútneho člena, potom systém má nekonečne veľa riešení.

Príklad 3. Nájdite riešenie systému rovníc Gaussovou eliminačnou metódou.

x 2 y + 2 z = 9

3 x + 5 y + 4 z = 10

5 x + 12 y + 6 z = 29

( 1 2 2 3 5 4 5 12 6 | 9 10 29 ) ( 1 2 2 0 11 2 0 22 4 | 9 37 74 ) ( 1 2 2 0 11 2 0 0 0 | 9 37 0 ) ( 1 2 2 0 11 2 | 9 37 )

Po úprave dostávame systém rovníc,

x 2 y + 2 z = 9

11 y 2 z = 37

ktorý má nekonečne veľa riešení. Nech napr. z=a,a je ľubovoľné číslo. Potom

x 2 y = 9 2 a

11 y = 37 + 2 a

odkiaľ y=37+2a11,x=237+2a112a9=2518a11

Riešením sústavy je ľubovoľná trojica čísel

( r 1 , r 2 , r 3 ) = ( 25 18 a 11 , 37 + 2 a 11 , a ) , kde a je ľubovoľné reálne číslo, teda napr.

( 25 11 , 37 11 , 0 ) , a = 0 , alebo ( 1 , 3 , 2 ) , a = 2.

Riešenie homogénneho systému rovníc

Homogénny systém rovníc

a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=0

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 n x n = 0

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3 n x n = 0

.....

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + ... + a m n x n = 0

má vždy nulové (triviálne) riešenie. Nenulové riešenie má systém n rovníc s n neznámymi v prípade, ak determinant matice sústavy detA=0.

Homogénny systém rovníc má teda buď jediné nulové riešenie, alebo nekonečne veľa riešení.

Príklad 4. Nájdite riešenie systému

x + 3 y + 2 z = 0

2 x y + 3 z = 0

3 x 5 y + 4 z = 0

Upravme maticu systému na trojuholníkový tvar

( 1 3 2 2 1 3 3 5 4 ) ( 1 3 2 0 7 1 0 14 2 ) ( 1 3 2 0 7 1 )

Dostávame ekvivalentný systém

x + 3 y + 2 z = 0

7 y z = 0

z čoho z=7yx=3y2z=11y

Systém má nekonečne veľa riešení. Nech y=k,kR je ľubovoľné číslo. Potom

( r 1 , r 2 , r 3 ) = ( 11 k , k , 7 k ) .

Príklad 5. Riešte systém štyroch rovníc s tromi neznámymi

( 1 2 3 3 2 1 0 3 1 3 1 2 ) ( 1 2 3 0 8 8 0 3 1 0 5 7 ) ( 1 2 3 0 1 1 0 3 1 0 5 7 ) ( 1 2 3 0 1 1 0 0 2 0 0 2 ) ( 1 2 3 0 1 1 0 0 2 )

Upravenej matici zodpovedá ekvivalentný systém rovníc,

x 2 y 3 z = 0

y + z = 0

2 z = 0

ktorý má jediné triviálne riešenie (0,0,0).