Množný integrál je zovšeobecnením pojmu určitý integrál funkcie jednej premennej, ktorý v tejto súvislosti nazývame tiež jednoduchý integrál. Jednoduché, dvojné a trojné integrály majú mnohé dôležité geometrické a fyzikálne aplikácie.
Uvažujme najprv o funkcii dvoch premenných definovanej na dvojrozmernej obdĺžnikovej oblasti . Graf funkcie f je plocha v .
Obr 1: Zovšeobecnený kváder |
Trojrozmerný útvar, teleso T ohraničené rovinou určenou rovnicou , plochou určenou rovnicou a rovinami s rovnicami nazveme zovšeobecneným kvádrom určeným funkciou f na oblasti M
Vyjadrime objem takéhoto zovšeobecneného kvádra.
Rozdeľme interval deliacimi bodmi a interval deliacimi bodmi. Takto vytvorené delenie budeme nazývať delením obdĺžnikovej oblasti M, ktorým oblasť rozdelíme na n.m čiastkových deliacich obdĺžnikov , pričom platí . Zovšeobecnený kváder T je takto rozdelený na n.m deliacich zovšeobecnených kvádrov, ktorých dolné steny sú deliace obdĺžniky, horné steny sú príslušné časti grafu funkcie f a bočné steny sú časťami rovín s rovnicami .
Ak označíme , pre dostatočne malé môžeme objem deliaceho zovšeobecneného kvádra so stenou v obdĺžniku určiť ako súčin , pričom sú stredné hodnoty funkcie f , ktoré táto funkcia nadobúda na jednotlivých deliacich obdĺžnikoch v bodoch , pre ktoré platí pre .
Výraz
nazývame prípustný integrálny súčet funkcie dvoch premenných f na dvojrozmernej obdĺžnikovej oblasti M.
Uvažujme normálne postupnosti delení intervalov , čím vytvoríme normálnu postupnosť delení obdĺžnikovej oblasti . Ak pre každú takúto normálnu postupnosť delení oblasti M existuje konečná limita
nazývame ju dvojným integrálom funkcie na oblasti M a označujeme symbolom
Funkciu f nazývame integrovateľnou na oblasti M.
Dvojný integrál funkcie na oblasti M môžeme geometricky interpretovať ako objem zovšeobecneného kvádra .
Nech je funkcia integrovateľná na oblasti . Potom dvojný integrál funkcie f na oblasti M môžeme vyjadriť pomocou dvoch za sebou nasledujúcich integrovaní funkcií jednej premennej, ako dvojnásobný integrál funkcie f podľa argumentu y a podľa argumentu x na oblasti M a platí
Ak platí pre každý bod , potom platí
alebo
Príklad 1. Vypočítajte dvojný integrál funkcie dvoch premenných na oblasti
Obr 2: Graf funkcie |
Nech je funkcia troch premenných definovaná na trojrozmernej oblasti
Obdobnou cestou delenia intervalov a postupom, ktorý sme použili pri určení dvojného integrálu funkcie dvoch premenných, môžeme definovať integrálny súčet funkcie troch premenných f na trojrozmernej oblasti M. Trojný integrál funkcie troch premenných na oblasti M existuje, ak existuje konečná limita integrálnych súčtov pre každú normálnu postupnosť delení trojrozmernej oblasti M. Trojný integrál označujeme symbolom
a funkciu f nazývame integrovateľnou na oblasti M.
Nech je funkcia integrovateľná na oblasti . Potom trojný integrál funkcie f na oblasti M môžeme vyjadriť ako trojnásobný integrál funkcie f podľa argumentu z, podľa argumentu y a podľa argumentu x na oblasti M a platí
Príklad 2. Vypočítajte trojný integrál funkcie troch premenných na oblasti
Dvojný integrál funkcie na obdĺžnikovej oblasti M možno zovšeobecniť na pojem množného integrálu funkcie viac premenných definovanej na ľubovoľnej merateľnej uzavretej oblasti .
Nech je ľubovoľná normálna postupnosť delení uzavretej merateľnej oblasti G na čiastkové deliace merateľné oblasti . Označme mieru týchto oblastí. Ak pre každú prípustnú postupnosť integrálnych súčtov funkcie na oblasti G
existuje konečná limita
potom toto číslo nazývame množný integrál funkcie f na oblasti G a označujeme
Funkciu nazveme integrovateľnou na merateľnej uzavretej oblasti , ak existuje práve jedno číslo I, ktoré spĺňa dané podmienky.
Ak je funkcia f integrovateľná na merateľnej uzavretej oblasti , tak je na tejto oblasti ohraničená.
Ak je funkcia f spojitá (až na konečný počet bodov) na merateľnej uzavretej oblasti , tak je na tejto oblasti integrovateľná.
1. Ak sú funkcie integrovateľné na oblasti G, potom je na G integrovateľná aj funkcia , kde sú ľubovoľné konštanty a platí
Ak je funkcia f integrovateľná na merateľnej oblasti G, tak je integrovateľná na každej merateľnej časti oblasti G.
2. Nech je funkcia f integrovateľná na merateľnej oblasti , pričom sú merateľné oblasti, ktoré nemajú žiadne spoločné vnútorné body. Potom platí
3. Ak je funkcia f integrovateľná na merateľnej oblasti G a pre všetky , tak platí
4. Ak sú funkcie f a g integrovateľné na merateľnej oblasti G a pre všetky , tak platí
5. Ak je funkcia f integrovateľná na merateľnej oblasti G, tak je na G integrovateľná aj funkcia a platí
6. Veta o strednej hodnote: Nech je funkcia f integrovateľná na merateľnej uzavretej oblasti G a nech m je infimum a M supremum hodnôt funkcie pre . Potom existuje také číslo , že platí
kde je miera uzavretej oblasti G.
Obr 3: Veta o strednej hodnote pre funkciu dvoch premenných na merateľnej uzavretej oblati G |
Pre spojité funkcie na merateľnej uzavretej oblasti G platí:
7. Ak je funkcia f spojitá na merateľnej uzavretej oblasti G, tak existuje aspoň jeden bod taký, že