Lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu bez pravej strany

Diferenciálna rovnica (L) tvaru

y + p 1 y + p 2 y = 0 ,

kde p1,p2 sú čísla, má partikulárne riešenie y=erx,r je konštanta.

Platí y=rerx,y=r2erx, teda pre všetky y=ry,y=r2y.

Ak je funkcia y=erx,rR riešením diferenciálnej rovnice (L), potom dosadením do ľavej strany rovnice dostávame

r 2 e r x + p 1 r e r x + p 2 e r x = 0
e r x ( r 2 + p 1 r + p 2 ) = 0

Pretože erx0 pre každé xR, predchádzajúca rovnosť platí práve vtedy, keď

r 2 + p 1 r + p 2 = 0

Funkcia erx je teda riešením lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu bez pravej strany práve vtedy, keď r je riešením vyššie uvedenej kvadratickej rovnice, ktorú nazývame charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice (L).

Charakteristická rovnica má dva korene, pričom môžu nastať tieto prípady:

  1. korene sú reálne a rôzne,
  2. reálny koreň je dvojnásobný,
  3. korene sú komplexne združené.

Charakteristická rovnica má dva rôzne reálne korene r1,r2

Diskriminant charakteristickej rovnice je nezáporný, D=p124p2>0.

Funkcie

y 1 = e r 1 x , y 2 = e r 2 x

sú riešením lineárnej diferenciálnej rovnice (L) a sú lineárne nezávislé na R.

Keby totiž boli funkcie y1,y2 lineárne závislé, muselo by pre každé xR platiť

y 1 = k y 2 , k = const . ,

teda

e r 1 x = k e r 2 x k = e r 1 x e r 2 x k = e x ( r 1 r 2 )

čo nemôže nastať pre r1r2.

Ak má charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice (L) dva reálne korene r1r2, potom funkcie y1=er1x,y2=er2x tvoria fundamentálny systém rovnice (L) na R a jej všeobecné riešenie má tvar

y = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x , x R , c 1 , c 2 R .

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice yy6y=0.

Riešenie.

Rovnica je lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu bez pravej strany. Charakteristická rovnica tejto diferenciálnej rovnice je

r 2 r 6 = 0.

Korene charakteristickej rovnice sú r1=2,r2=3 a všeobecné riešenie diferenciálnej rovncie (L) môžeme vyjadriť v tvare

y = c 1 e 2 x + c 2 e 3 x , x R ,

kde c1,c2 sú ľubovoľné reálne konštanty.

Grafom všeobecného riešenia je sústava exponenciálnych kriviek pre c10,c20, grafom partikulárneho riešenia y=0 pre c1=c2=0 je priamka, súradnicová os x, obr. 1.

obr1
Obr 1: Sústava integrálnych kriviek

Charakteristická rovnica má jeden dvojnásobný koreň r=r1=r2

Diskriminant charakteristickej rovnice je nulový, D=p124p2=0, dvojnásobný koreň tejto rovnice je r=p12.

Funkcia y1=erx je jedným riešením, funkcia y2=xerx druhým riešením lineárnej diferenciálnej rovnice (L) na R a tieto dve riešenia sú lineárne nezávislé.

Wronského determinant funkcií y1,y2 je nenulový pre každé xR, platí

W ( y 1 , y 2 ) = | e r x x e r x r e r x e r x + x r e r x | = e 2 r x ( 1 + x r ) e 2 r x x r = e 2 r x 0.

Ak má charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice (L) jeden dvojnásobný reálny koreň r, potom funkcie y1=erx,y2=xerx tvoria fundamentálny systém rovnice (L) na R a jej všeobecné riešenie má tvar

y = e r x ( c 1 + c 2 x ) ,

kde c1,c2 sú ľubovoľné reálne konštanty.

Príklad 2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y4y+4y=0.

Riešenie.

Rovnica je lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu bez pravej strany (L). Nájdeme najprv korene charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnice (L), ktorou je kvadratická rovnica

r 2 4 r + 4 = 0

Rovnica má jeden dvojnásobný koreň r=2, fundamentálny systém teda tvoria na R lineárne nezávislé funkcie y1=e2x,y2=xe2x.

Všeobecné riešenie rovnice (L) na R môžeme napísať v tvare

y = e 2 x ( c 1 + c 2 x ) ,

kde c1,c2 sú ľubovoľné reálne konštanty. Integrálne krivky sú ilustrované na obr. 1.

Charakteristická rovnica má dva komplexne združené korene r1,r2

Diskriminant charakteristickej rovnice je záporný, D=p124p2<0, korene tejto kvadratickej rovnice sú komplexne združené čísla, ktoré vyjadríme v tvare

r 1 , 2 = p 2 ± i | D | 2 = a ± i b , b 0 .

Riešením diferenciálnej rovnice (L) na R je komplexná funkcia

y = e r 1 x = e ( a + i b ) x = e a x . e i b x = e a x ( cos b x + i sin b x ) ,

čím sú dané dve funkcie

y 1 = e a x cos b x , y 2 = e a x sin b x ,

ktoré sú lineárne nezávislé na R a tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (L).

Platí totiž

W ( y 1 , y 2 ) = | e a x cos b x e a x sin b x a e a x cos b x b e a x sin b x a e a x sin b x + b e a x cos b x | = b e 2 a x 0

pre každé xR, lebo b0.

Príklad 3. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y6y+13y=0.

Riešenie.

Hľadáme všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu bez pravej strany (L). Charakteristická rovnica tejto diferenciálnej rovnice je kvadratická rovnica

r 2 6 r + 13 = 0

ktorá má diskriminant D=(6)24.13=16.

Korene rovnice sú komplexne združené čísla

r 1 , 2 = 3 ± i | 16 | = 3 ± 2 i .

Fundamentálny systém tvoria funkcie

y 1 = e 3 x cos 2 x , y 2 = e 3 x sin 2 x , x R .

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (L) na R vyjadríme v tvare

y = e 3 x ( c 1 cos 2 x + c 2 sin 2 x ) ,

kde c1,c2 sú ľubovoľné reálne konštanty. Integrálne krivky sú ilustrované na obr. 2.

obr3
Obr 2: Sústava integrálnych kriviek

Príklad 4. Riešte diferenciálnu rovnicu y+4y=0 a nájdite partikulárne riešenie, ktoré spĺňa začiatočné podmienky y(π)=1,y(π)=0.

Riešenie.

Charakteristická rovnica danej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami ľ. rádu bez pravej strany

r 2 + 4 = 0

má komplexne združené korene r1,2=±2i.

Fundamentálny systém tvoria funkcie y1=cos2x,y2=sin2x.

Všeobecné riešenie y=c1cos2x+c2sin2x má deriváciuy=2c1sin2x+2c2cos2x.

Po dosadení začiatočných podmienok dostaneme

1 = c 1
0 = 2 c 2 , teda c 2 = 0.

Hľadané partikulárne riešenie je funkcia yP=cos2x,xR. Integrálne krivky sú ilustrované na obr. 3.

obr3
Obr 3: Sústava integrálnych kriviek

Lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu s pravou stranou

Diferenciálna rovnica tvaru

y + p 1 y + p 2 y = g ( x ) ,

kde p1,p2 sú reálne čísla a g(x) je spojitá funkcia na intervale (a,b) sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu s pravou stranou (LP).

Nech Y=c1y1+c2y2 je všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu bez pravej strany (L) na R a yP je ľubovoľné partikulárne riešenie rovnice (LP) na intervale (a,b), potom

y = Y + y P = c 1 y 1 + c 2 y 2 + y P

je všeobecné riešenie rovnice (LP) na (a,b).

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (LP) je súčtom ľubovoľného partikulárneho riešenia a všeobecného riešenia príslušnej rovnice bez pravej strany (L).

Príklad 5. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y+y=2x, ak poznáte jej jedno partikulárne riešenie yP=2x.

Riešenie.

Funkcia yP=2x spĺňa danú diferenciálnu rovnicu, o čom sa presvedčíme dosadením danej funkcie a jej druhej derivácie yP''=0 do rovnice.

Charakteristická rovnica príslušnej diferenciálnej rovnice (L) je

r 2 + 1 = 0

a jej korene sú r1,2=±i. Všeobecné riešenie rovnice (L) je

Y = c 1 cos x + c 2 sin x .

Všeobecné riešenie danej rovnice (LP) na R je funkcia

y = Y + y P = c 1 cos x + c 2 sin x + 2 x ,

kde c1,c2 sú ľubovoľné reálne konštanty. Integrálne krivky sú ilustrované na obr. 4.

obr4
Obr 4: Sústava integrálnych kriviek

Partikulárne riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu s pravou stranou (LP) nájdeme metódou variácie konštánt.

Nech y=c1y1+c2y2 je všeobecné riešenie rovnice (L), c1,c2 sú ľubovoľné konštanty. Nahraďme tieto konštanty funkciami c1(x),c2(x) tak, aby funkcia

y P = c 1 ( x ) y 1 + c 2 ( x ) y 2

bola riešením rovnice (LP) na intervale (a,b). Hľadané funkcie c1(x),c2(x) volíme tak, aby mali na (a,b) deriváciu, a potom platí

y P ' = c 1 ' ( x ) y 1 + c 1 ( x ) y 1 ' + c 2 ' ( x ) y 2 + c 2 ( x ) y 2 '

Nech ďalej pre funkcie c1(x),c2(x) platí

c 1 ' ( x ) y 1 + c 2 ' ( x ) y 2 = 0 ,

potom

y P ' = c 1 ( x ) y 1 ' + c 2 ( x ) y 2 ' .

Ďalším derivovaním dostaneme

y P ' ' = c 1 ' ( x ) y 1 ' + c 1 ( x ) y 1 ' ' + c 2 ' ( x ) y 2 ' + c 2 ( x ) y 2 ' '

Po dosadení funkcie yP a jej derivácií do diferenciálnej rovnice (LP) a po úprave dostaneme

c 1 ( x ) ( y 1 ' ' + p 1 y 1 ' + p 2 y 1 ) + c 2 ( x ) ( y 2 ' ' + p 1 y 2 ' + p 2 y 2 ) + c 1 ' ( x ) y 1 ' + c 2 ' ( x ) y 2 ' = g ( x )

Pretože y1,y2 sú riešeniami rovnice (L), platí

c 1 ' ( x ) y 1 ' + c 2 ' ( x ) y 2 ' = g ( x )

a dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi funkciami c1'(x),c2'(x)

c 1 ' ( x ) y 1 + c 2 ' ( x ) y 2 = 0
c 1 ' ( x ) y 1 ' + c 2 ' ( x ) y 2 ' = g ( x )

Z tejto ústavy môžeme vždy jednoznačne určiť neznáme funkcie, keďže determinant matice sústavy je Wronského determinant W(y1,y2), ktorý je nenulový pre každé x(a,b) .

Podľa Cramerovho pravidla má systém práve jedno riešenie

c 1 ' ( x ) = W 1 W , c 2 ' ( x ) = W 2 W ,

pričom W=W (y1,y 2) a Wi vznikne z W tak, že i-ty stĺpec determinantu nahradíme stĺpcom ( 0 g ( x ) ) , i = 1 , 2 .

Hľadané funkcie sú

c 1 ( x ) = W 1 W d x , c 2 ( x ) = W 2 W d x .

Dosadením do pôvodného partikulárneho riešenia dostaneme

y P = y 1 W 1 W d x + y 2 W 2 W d x

Príklad 6. Riešte diferenciálnu rovnicu yy=x+1.

Riešenie.

Nájdeme najprv všeobecné riešenie príslušnej diferenciálnej rovnice (L). Jej charakteristická rovnica

r 2 r = 0

má korene r1=0,r2=1, všeobecné riešenie je

Y = c 1 + c 2 e x , c 1 , c 2 R .

Metódou variácie konštánt nájdeme jedno riešenie yP rovnice (LP) v tvare

y P = c 1 ( x ) y 1 + c 2 ( x ) y 2

Vyjadríme najprv determinanty

W = | 1 e x 0 e x | = e x , W 1 = | 0 e x x + 1 e x | = e x ( x + 1 ) , W 2 = | 1 0 0 x + 1 | = x + 1

Pretože W0 pre každé xR, dostávame funkcie

c 1 ( x ) = W 1 W d x = ( x + 1 ) d = x 2 2 x

c 2 ( x ) = W 2 W d x = ( x + 1 ) e x d x = e x ( x + 2 )

Partikulárne riešenie môžeme napísať v tvare

y P = x 2 2 x + e x [ e x ( x + 2 ) ] = x 2 2 2 x 2 .

Všeobecným riešením diferenciálnej rovnice (LP) na R je y=Y+yP

y = c 1 + c 2 e x x 2 2 2 x 2

kde c1,c2 sú ľubovoľné konštanty.

obr6
Obr 5: Sústava integrálnych kriviek

Lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu so špeciálnou pravou stranou

Ak má funkcia g(x) na pravej strane diferenciálnej rovnice (LP) tvar

a) g(x) =eaxP (x), kde a je reálne číslo a P(x) je polynóm stupňa m, potom diferenciálna rovnica (LP) má partikulárne riešenie tvaru

y P = x k e a x P ( x ) .

Číslo k udáva násobnosť koreňa a charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnice (L), ktorá prislúcha rovnici (LP). P(x)=b0+b1x+...+bmxm je neznámy polynóm toho istého stupňa, ako polynóm P(x). Čísla b0,b1,...,bm určíme metódou neurčitých koeficientov.

Príklad 7. Nájdite riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu y2y+y=ex na R.

Riešenie.

Najprv vyriešime prislúchajúcu rovnicu (L), ktorej charakteristická rovnica

r 2 2 r + 1 = 0

má dvojnásobný koreň r1,2=1. Všeobecné riešenie rovnice (L) na R je

y = c 1 e x + c 2 x e x

Pravá strana rovnice má špeciálny tvar g(x)=ex a partikulárne riešenie rovnice (LP) bude v tvare

y P = x 2 e x A

Po zderivovaní a dosadení do pôvodnej rovnice (LP) určíme hodnotu konštanty A

y P ' = A e x ( x 2 + 2 x ) , y P ' ' = A e x ( x 2 + 4 x + 2 )
A e x ( x 2 + 4 x + 2 ) 2 A e x ( x 2 + 2 x ) + A e x x 2 = e x
A ( x 2 + 4 x + 2 ) 2 A ( x 2 + 2 x ) + A x 2 = 1
2 A = 1 A = 1 2

Partikulárne riešenie

y P = 1 2 x 2 e x

Všeobecné riešenie rovnice (LP) na R je

y = c 1 e x + c 2 x e x + 1 2 x 2 e x
obr4
Obr 6: Sústava integrálnych kriviek


Ak má funkcia g(x ) na pravej strane diferenciálnej rovnice (LP) tvar

b) g ( x ) = e a x [ P ( x ) cos b x + Q ( x ) sin b x ] , kde a, b sú reálne čísla a P (x),Q (x) sú polynómy, potom diferenciálna rovnica (LP) má partikulárne riešenie tvaru

y P = x k e a x [ P ( x ) cos b x + Q ( x ) sin b x ] .

Číslo k udáva násobnosť komplexného koreňa a + bi charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnice (L), ktorá prislúcha rovnici (LP).
P (x),Q (x) sú neznáme polynómy toho istého stupňa ako polynómy P(x), Q(x) , ich koeficienty určíme metódou neurčitých koeficientov.

Príklad 8. Nájdite riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu y+4y=sin2x na R.

Riešenie.

Najprv vyriešime prislúchajúcu rovnicu (L), ktorej charakteristická rovnica

r 2 + 4 = 0

má komplexne združené korene r1,2=±2i. Všeobecné riešenie rovnice (L) na R je

y = c 1 cos 2 x + c 2 sin 2 x

Pravá strana rovnice má špeciálny tvar g(x)=sin2x a partikulárne riešenie rovnice (LP) bude v tvare

y P = x ( A cos 2 x + B sin 2 x )

Po zderivovaní a dosadení do pôvodnej rovnice (LP) určíme hodnoty konštánt A a B

y P ' = 2 x ( A sin 2 x + B cos 2 x ) + A cos 2 x + B sin 2 x
y P ' ' = 4 x ( A cos 2 x B sin 2 x ) + 4 ( A sin 2 x + B cos 2 x )
4 x ( A cos 2 x B sin 2 x ) + 4 ( A sin 2 x + B cos 2 x ) + 4 x ( A cos 2 x + B sin 2 x ) = sin 2 x
4 A = 1 , 4 B = 0 A = 1 4 , B = 0

Partikulárne riešenie

y P = 1 4 x cos2 x

Všeobecné riešenie rovnice (LP) na R je

y = c 1 cos 2 x + c 2 sin 2 x 1 4 x cos 2 x
obr8
Obr 7: Sústava integrálnych kriviek

Príklad 9. Nájdite riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu y 2y+2y =excosx na R.

Riešenie.

Najprv vyriešime prislúchajúcu rovnicu (L), ktorej charakteristická rovnica

r 2 2 r + 2 = 0

má komplexne združené korene r1,2=1±i. Všeobecné riešenie rovnice (L) na R je

y = c 1 cos x + c 2 sin x

Pravá strana rovnice má špeciálny tvar g(x) =excosx a partikulárne riešenie rovnice (LP) bude v tvare

y P = x e x ( A cos x + B sin x )

Po zderivovaní a dosadení do pôvodnej rovnice (LP) určíme hodnotu konštánt A a B

y P ' = ( e x + x e x ) ( A cos x + B sin x ) + x e x ( A sin x + B cos x )
y P ' ' = 2 e x ( A cos x + B sin x ) + ( 2 e x + 2 x e x ) ( A sin x + B cos x )

2 e x ( A cos x + B sin x ) + ( 2 e x + 2 x e x ) ( A sin x + B cos x )
2 [ ( e x + x e x ) ( A cos x + B sin x ) + x e x ( A sin x + B cos x ) ] + 2 x e x ( A cos x + B sin x ) = e x cosx
2 e x ( A sin x + B cos x ) = e x cosx
2 A sin x + 2 B cos x = cos x
2 A = 0 , 2B = 1 A = 0 , B = 1 2

Partikulárne riešenie

y P = 1 2 x e x sin x

Všeobecné riešenie rovnice (LP) na R je

y = c 1 cos x + c 2 sin x + 1 2 x e x sin x
obr9
Obr 8: Sústava integrálnych kriviek