Lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu

Diferenciálna rovnica tvaru

y + p ( x ) y = g ( x ) ,

kde p(x),g(x) sú funkcie spojité na intervale (a,b), sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu.

Ak platí g(x)=0 pre všetky x(a,b), diferenciálnu rovnicu nazývame lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu bez pravej strany, alebo homogénna lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu.

Ak neplatí g(x)=0 pre všetky x(a,b), diferenciálnu rovnicu nazývame lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu s pravou stranou, alebo nehomogénna lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu.

Lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu bez pravej strany je diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými, ktorú vieme previesť na diferenciálnu rovnicu so separovanými premennými v tvare

y y + p ( x ) = 0 , y 0 .

Riešením pôvodnej lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu bez pravej strany je funkcia y=0 a všetky riešenia diferenciálnej rovnice so separovanými premennými

1 y d y + p ( x ) d x = c 1
ln | y | ln c 2 = p ( x ) d x
ln | y | c 2 = p ( x ) d x
y = c e p ( x ) d x , x ( a , b ) , c R .

Vo všeobecnom riešení rovnice so separovanými premennými je zahrnuté aj riešenie y=0 pôvodnej lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu bez pravej strany, ktoré sme pri neekvivalentnej úprave vylúčili, a to pre hodnotu konštanty c=0.

Existuje práve jedno riešenie y=y(x) lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu bez pravej strany na intervale (a,b), ktoré spĺňa začiatočnú podmienku y(x0)=y0,x0(a,b).

Toto riešenie má tvar

y = c 0 e p ( x ) d x

Príklad 1. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice xy2y=0.

Riešenie.

Rovnica je lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu bez pravej strany, ktorú môžeme prepísať v tvare

y 2 y x = 0 , x 0

a riešiť prevedením na rovnicu so separovanými premennými

y y 2 x = 0 , y 0.

Okrem riešenia y=0 má pôvodná rovnica aj všetky riešenia poslednej rovnice

1 y d y 2 x d x = c 1
ln | y | = 2 ln | x | + ln c 2
ln | y | = ln c 2 x 2
y = c x 2 , c R , x R .

V poslednom všeobecnom riešení je zahrnuté aj partikulárne riešenie y=0,prec=0.

Grafom všeobecného riešenia je sústava parabol pre c0, grafom partikulárneho riešenia y=0 je priamka, súradnicová os x, obr. 1.

obr1
Obr 1: Sústava integrálnych kriviek

Lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu s pravou stranou je diferenciálna rovnica tvaru

y + p ( x ) y = g ( x ) ,

kde g(x)0 aspoň v jednom čísle x(a,b).

Rovnicu riešime metódou variácie konštanty.

Vyriešime najprv rovnicu bez pravej strany, ktorej všeobecné riešenie je v tvare

y = c e p ( x ) d x , x ( a , b ) .

Potom nahradíme konštantu c takou funkciou y=c(x), aby funkcia

y ( x ) = c ( x ) e p ( x ) d x , x ( a , b )

bola riešením pôvodnej lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou na danom intervale.

V takom prípade musí mať funkcia y(x) na intervale (a,b) deriváciu, pre ktorú platí

y ( x ) = c ( x ) e p ( x ) d x p ( x ) c ( x ) e p ( x ) d x .

Dosadením do pôvodnej diferenciálnej rovnice dostávame

c ( x ) e p ( x ) d x p ( x ) c ( x ) e p ( x ) d x + p ( x ) c ( x ) e p ( x ) d x = g ( x )
c ( x ) e p ( x ) d x = g ( x )
c ( x ) = g ( x ) e p ( x ) d x

Funkcia na pravej strane poslednej rovnosti je spojitá na intervale (a,b), a túto podmienku spĺňa každá funkcia

c ( x ) = g ( x ) e p ( x ) d x d x + c , c R .

Po dosadení nájdenej funkcie c(x) do pôvodného riešenia dostávame

y ( x ) = [ g ( x ) e p ( x ) d x d x + c ] e p ( x ) d x , x ( a , b ) .

Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou na intervale (a,b) má tvar

y = c e p ( x ) d x + e p ( x ) d x g ( x ) e p ( x ) d x d x , c R ,

a každé takéto riešenie sa teda rovná súčtu všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu bez pravej strany a jedného ľubovoľného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou.

Existuje práve jedno riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou na intervale (a,b), ktoré spĺňa začiatočnú podmienku y(x0)=y0,x0(a,b).

Príklad 2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice y+2y=4x, a jej partikulárne riešenie určené začiatočnou podmienkou y(0)=2.

Riešenie.

Rovnica je lineárna diferenciálna rovnica 1. rádu bez pravej strany. Nájdeme naprv všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu bez pravej strany v tvare

y + 2 y = 0

y y + 2 = 0 , y 0

1 y d y + 2 d x = ln c 1
ln | y | ln c 1 = 2 x
ln | y | c 1 = 2 x
| y | c 1 = e 2 x y = c e 2 x , x R , c R .

Hľadajme teraz takú funkciu c(x) definovanú na R, ktorou môžeme nahradiť konštantu c v predchádzajúcom všeobecnom riešení lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu bez pravej strany, pričom funkcia

y ( x ) = c ( x ) e 2 x , x R

bude riešením pôvodnej lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou.

Deriváciu funkcie y(x) v tvare

y ( x ) = c ( x ) e 2 x 2 c ( x ) e 2 x = e 2 x ( c ( x ) 2 c ( x ) )

dosadíme do pôvodnej rovnice

e 2 x ( c ( x ) 2 c ( x ) ) + 2 c ( x ) e 2 x = 4 x

a nájdeme neznámu funkciu c(x)

c ( x ) e 2 x = 4 x
c ( x ) = 4 x e 2 x

c ( x ) = 4 x e 2 x d x + c = e 2 x ( 2 x 1 ) + c , c R .

Všeobecné riešenie pôvodnej lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou na R je potom vyjadrené nasledovne

y = [ e 2 x ( 2 x 1 ) + c ] e 2 x = c e 2 x + 2 x 1 , c R .

Pre partikulárne riešenie určené začiatočnou podmienkou platí

2 = c e 2. 0 + 2.0 1 c = 3 ,

partikulárne riešenie je funkcia

y P = 3 e 2 x + 2 x 1 , x R ,

ktorej graf prechádza bodom [0,2]. Integrálne krivky sú ilustrované na obr. 2.

obr2
Obr 2: Sústava integrálnych kriviek

Príklad 3. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice yycotx=2xsinx.

Riešenie.

Nájdeme najprv všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu bez pravej strany pre všetky xkπ,kZ , kde sú spojité obe funkcie cot x aj sin x.

y y cot x = 0

Po separovaní premenných dostaneme

y y cot x = 0 , y 0
1 y d y cot x d x = c 1
ln | y | ln | sin x | = ln c 2
ln | y | = ln c 2 | sin x |
y = c sin x , c R .

Potom nájdeme jedno ľubovoľné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou v tvare

y P = c ( x ) sin x , pre x k π , k Z

Funkciu yP a jej deriváciu [yP]=c(x)sinx+c(x)cosx dosadíme do pôvodnej rovnice a nájdeme jedno riešenie, neznámu funkciu c(x)

c ( x ) sin x + c ( x ) cos x c ( x ) sin x cot x = 2 x sin x
c ( x ) = 2 x c ( x ) = x 2

Jedno riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou má tvar

y P = x 2 sin x .

Všeobecným riešením lineárnej diferenciálnej rovnice 1. rádu s pravou stranou je funkcia

y = c sin x + x 2 sin x , c R , x k π , k Z .
obr3
Obr 3: Sústava integrálnych kriviek

Lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu

Diferenciálna rovnica tvaru

y + p 1 y + p 2 y = g ( x ) ,

kde p1,p2 sú reálne čísla a g(x) je spojitá funkcia na intervale (a,b) sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu.

Ak platí g(x)=0 pre všetky x(a,b), diferenciálnu rovnicu nazývame lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu bez pravej strany (L).

Ak neplatí g(x)=0 pre všetky x(a,b), diferenciálnu rovnicu nazývame lineárna diferenciálna rovnica s konštantnými koeficientami 2. rádu s pravou stranou (LP).

Existuje práve jedno riešenie y(x) rovnice (L), ktoré spĺňa začiatočné podmienky y(x0)=y0,y(x0)=y1,kdex0,y0,y1R.

Podobne existuje práve jedno riešenie y(x) rovnice (LP), ktoré spĺňa začiatočné podmienky y(x0)=y0,y(x0)=y1,kdex0(a,b),y0,y1R.

Nech y1,y2 sú dve ľubovoľné riešenia rovnice (L), potom každá ich lineárna kombinácia c1y1+c2y2,c1,c2R, je tiež riešením rovnice (L).

Dve riešenia y1,y2 rovnice (L) nazývame lineárne závislé na R, ak existuje také číslo k, že pre každé xR platí

y 1 = k y 2 y 1 k y 2 = 0 .

Ak dve riešenia y1,y2 rovnice (L) nie sú lineárne závislé, potom hovoríme, že sú lineárne nezávislé.

Príklad 4. Funkcie y1=ex,y2=1 sú lineárne nezávislé riešenia diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu yy=0.

Dosadením derivácii daných funkcií do rovnice sa presvedčíme, že funkcie sú jej riešením. Tieto dve riešenia sú lineárne nezávislé, pretože neexistuje také číslo k, aby pre každé xR platilo ex=k.

Príklad 5. Funkcie y 1=e2x ,y2 =3e2x sú lineárne závislé riešenia diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu y3y+2y=0.

Dosadením derivácií daných funkcií do rovnice sa presvedčíme, že funkcie sú jej riešením.

[ e 2 x ] = 2 e 2 x , [ e 2 x ] = 4 e 2 x 4 e 2 x 3.2 e 2 x + 2. e 2 x = 0

[ 3 e 2 x ] = 6 e 2 x , [ 3 e 2 x ] = 12 e 2 x 12 e 2 x 3.6 e 2 x + 2.3 e 2 x = 0

Tieto dve riešenia sú lineárne závislé, pretože platí

y 1 = k y 2 , e 2 x = 1 3 .3 e 2 x k = 1 3 .

Funkcia y = 0 je riešením každej rovnice (L), toto riešenie nazývame triviálne riešenie. Triviálne riešenie je lineárne závislé s každým netriviálnym riešením rovnice (L).

Nutná a postačujúca podmienka lineárnej nezávislosti riešení y1=y1(x),y2=y2(x) rovnice (L) sa dá vyjadriť pomocou Wronského determinantu (wronskiánu) týchto funkcií.

Nech y1=y1(x),y2=y2(x) sú funkcie definované na intervale J, a majú na tomto intervale derivácie y1',y2'.

Determinant

| y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' |

nazývame Wronského determinant (wronskián) funkcií y1,y2 a označujeme

W ( y 1 , y 2 ) = | y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' | .

Platí:

Nech sú funkcie y1,y2 riešeniami rovnice (L) na intervale J. Tieto funkcie sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď

W ( y 1 , y 2 ) 0 pre každé xJ.

Systém dvoch lineárne nezávislých riešení rovnice (L)

y + p 1 y + p 2 y = 0

sa nazýva fundamentálny systém tejto rovnice.

Ak funkcie y1,y2 tvoria fundamentálny systém rovnice (L), potom všeobecné riešenie tejto rovnice má tvar

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 ,

kde c1 ,c2 sú ľubovoľné konštanty.

Príklad 6. Funkcie y1=ex,y2=xex tvoria fundamentálny systém riešení lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami 2. rádu y2y+y=0 na R.

Dosadením derivácií daných funkcií do rovnice sa presvedčíme, že funkcie sú jej riešením.

[ e x ] = e x , [ e x ] = e x e x 2 e x + e x = 0

[ x e x ] = e x ( 1 + x ) , [ x e x ] = e x ( 2 + x ) e x ( 2 + x ) 2 e x ( 1 + x ) + x e x = 0.

Pomocou wronskiánu daných funkcií určíme ich lineárnu závislosť alebo nezávislosť.

Pre všetky xR platí

W ( y 1 , y 2 ) = | e x x e x e x e x ( 1 + x ) | = e 2 x ( 1 + x ) x e 2 x = e 2 x 0 ,

teda funkcie y1,y2 sú lineárne nezávislé a tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (L). Jej všeobecné riešenie na R má tvar

y = c 1 e x + c 2 x e x , c 1 , c 2 R .
obr4
Obr 4: Sústava integrálnych kriviek