Lokálne, viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných

Príklad 1. Nájdite všetky lokálne extrémy funkcie f(x,y)=(x1)2+2y2.

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny E2.

Nájdeme stacionárne body funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie podľa oboch premenných nulové.

f x ' ( x , y ) = 2 ( x 1 ) , f y ' ( x , y ) = 4 y

Sústava rovníc

2 x 2 = 0
4 y = 0

má jediné riešenie, bod [1,0]. Funkcia nemá inhé kritické body.

Druhé parciálne derivácie funkcie f

f x x ' ' ( x , y ) = 2 > 0 , f x y ' ' ( x , y ) = 0 , f y y ' ' ( x , y ) = 4 > 0

a pre Hessián v každom bode E2 platí

H = | 2 0 0 4 | = 8 > 0

V stacionárnom bode [1,0] má funkcia lokálne minimum, ktorého hodnota je f(1,0)=0.

obr1
Obr 1: Časť grafu funkcie a dotyková rovina v bode lokálneho minima

Príklad 2. Nájdite všetky lokálne extrémy funkcie f(x,y)=x3y2(6xy).

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny E2.

Nájdeme stacionárne body funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie podľa oboch premenných nulové.

f x ' ( x , y ) = 3 x 2 y 2 ( 6 x y ) x 3 y 2 = x 2 y 2 ( 18 4 x 3 y )
f y ' ( x , y ) = 2 x 3 y ( 6 x y ) x 3 y 2 = x 3 y ( 12 2 x 3 y )

Sústava rovníc

x 2 y 2 ( 18 4 x 3 y ) = 0
x 3 y ( 12 2 x 3 y ) = 0

má nekonečne veľa riešení, sú to body priamky y=0 a body priamky x=0.

Pre x0,y0 sa dá sústava napísať v tvare

18 4 x 3 y = 0
12 2 x 3 y = 0

Odpočítaním druhej rovnice od prvej rovnice dostávame

6 2 x = 0 2 x = 6 x = 3

a z prvej rovnice vypočítame

3 y = 18 4 x 3 y = 18 12 y = 2

Stacionárne body sú všetky body [x,0],[0,y],[3,2].

Druhé parciálne derivácie funkcie f

f x x ' ' ( x , y ) = 2 x y 2 ( 18 4 x 3 y ) 4 x 2 y 2 = 2 x y 2 ( 18 6 x 3 y )
f y y ' ' ( x , y ) = 3 x 2 y ( 12 2 x 3 y ) 6 x 2 y = 3 x 2 y ( 6 2 x 3 y )
f x y ' ' ( x , y ) = 2 x 2 y ( 18 4 x 3 y ) 3 x 2 y 2 = x 2 y ( 36 8 x 9 y )

V bodoch [x,0]a[0,y] platí

f x x ' ' ( x , 0 ) = f y y ' ' ( x , 0 ) = f y y ' ' ( x , 0 ) = 0
f x x ' ' ( 0 , y ) = f y y ' ' ( 0 , y ) = f y y ' ' ( 0 , y ) = 0

Pre Hessián v týchto bodoch platí

H = | 0 0 0 0 | = 0

a o existencii extrému musíme rozhodnúť pomocou definície. V ľubovoľnom ɛokolí bodu [0,0] platí pre hodnoty funkcie f v bodoch X=[±ɛ,±ɛ] z okolia (pre malé hodnoty ɛ>0)

f ( 0 , 0 ) = 0 , f ( ɛ , ɛ ) = ɛ 5 ( 6 2 ɛ ) > 0 , f ( ɛ , ɛ ) = ɛ 5 ( 6 + 2 ɛ ) < 0 ,

preto funkcia nemá v bode [0,0] lokálny extrém.

V stacionárnom bode [3,2] dostávame

f x x ' ' ( 3 , 2 ) = 24 ( 18 18 6 ) = 144 < 0
f y y ' ' ( 3 , 2 ) = 54 ( 6 6 6 ) = 324 < 0
f x y ' ' ( 3 , 2 ) = 18 ( 36 24 18 ) = 108

Pre Hessián v danom bode platí

H = | 144 108 1 08 324 | = 46 656 11 664 = 34 992 > 0

a preto má funkcia v tomto bode lokálne maximum, ktorého hodnota je

f ( 3 , 2 ) = 108
obr2
Obr 2: Časť grafu funkcie a dotyková rovina v bode lokálneho extrému

Príklad 3. Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x,y)=x3+xy227x.

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny E2.

Nájdeme stacionárne body funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie podľa oboch premenných nulové.

f x ' ( x , y ) = 3 x 2 + y 2 27
f y ' ( x , y ) = 2 x y

Súradnice stacionárnych bodov sú riešením sústavy

3 x 2 + y 2 27 = 0
2 x y = 0

Z druhej rovnice dostávame x=0,aleboy=0, a po dosadení do druhej rovnice

y 2 = 27 y = ± 3 3
3 x 2 = 27 x = ± 3

Stacionárne body sú

A 1 = [ 0 , 3 3 ] , A 2 = [ 0 , 3 3 ] , A 3 = [ 3 , 0 ] , A 4 = [ 3 , 0 ]

Druhé parciálne derivácie funkcie f

f x x ' ' ( x , y ) = 6 x , f x y ' ' ( x , y ) = 2 y , f y y ' ' ( x , y ) = 2 x

V bode A1=[0,33] platí

D ( 0 , 3 3 ) = | 0 6 3 6 3 0 | = 36 3

a funkcia tu nemá lokálny extrém.

V bode A2=[0,33] platí

D ( 0 , 3 3 ) = | 0 6 3 6 3 0 | = 36 3

a funkcia tu nemá lokálny extrém.

V bode A3=[3,0] platí

D ( 3 , 0 ) = | 18 0 0 6 | = 108 > 0 , f x x ' ' ( 3 , 0 ) = 18 > 0

a hodnota lokálneho minima je f(3,0)=54.

Rovnica dotykovej roviny grafu je z=54.

V bode A4=[3,0] platí

D ( 3 , 0 ) = | 18 0 0 6 | = 108 > 0 , f x x ' ' ( 3 , 0 ) = 18 < 0

a hodnota lokálneho maxima je f(3,0)=54.

Rovnica dotykovej roviny grafu je z=54.

obr4
Obr 3: Časť grafu funkcie s dotykovými rovinami v bodoch lokálnych extrémov

Príklad 4. Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie f(x,y)=x3+y3

pri väzbe x+y3=0.

Riešenie:

Hľadáme extrémy funkcie dvoch premenných v tých bodoch oboru definície (celá rovina E2), ktorých súradnice spĺňajú danú väzbu. Väzbou je určená priamka roviny E2.

Vyjadríme y z danej väzby ako funkciu x, h(x)=y=3x a dosadením to funkčného predpisu f(x,y) získame funkciu jednej premennej

f ( x , y ) = x 3 + ( 3 x ) 3 = 9 x 2 27 x + 27

ktorej lokálne extrémy nájdeme v jej stacionárnych bodoch.

f ( x ) = 18 x 27
18 x 27 = 0 x = 3 2
f ( x ) = 18 > 0

a v bode má funkcia lokálne minimum f(32)=274. Graf funkcie je krivka, ktorá je rezom plochy - grafu funkcie f(x,y) rovinou kolmou na súradnicovú rovinu xy a prechádzajúcou priamkou určenou väzbou.

Funkcia dvoch premenných f(x,y) má v bode [32,32] viazané lokálne minimum, ktorého hodnota je f(32,32)=274.

obr5
Obr 4: Časť grafu funkcie a viazaný extrém

Príklad 5. Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie f(x,y)=exy pri väzbe g1(x,y)=xy=0, a pri väzbe g2(x,y)=x+y=0.

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny E2.

Z väzby g1vyjadríme y ako funkciu premennej x

y = h ( x ) = x

a po dosadení fo funkcie f dostávame funkciu jednej premennej

f ( x , h ( x ) ) = F ( x ) = e x 2

Viazané lokálne extrémy pôvodnej funkcie f nájdeme ako lokálne extrémy funkcie jednej premennej F(x) v jej stacionárnych bodoch, v ktorých je prvá derivácia funkcie nulová

F ( x ) = 2 x e x 2 , 2 x e x 2 = 0 x = 0

Funkcia má jediný stacionárny bod x=0.

Pre druhú deriváciu funkcie v bode x=0 platí

F ( x ) = 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 , F ( 0 ) = 2 > 0

a funkcia má v tomto bode lokálne minimum, ktorého hodnota je

F ( 0 ) = 1

Pôvodná funkcia f(x,y) má v bode [0,0] viazané lokálne minimum, f(0,0)=1 pri väzbe g1(x,y)=xy=0.

Rovnako z väzby g2(x,y)=x+y=0vyjadríme y ako funkciu premennej x

y = k ( x ) = x

a po dosadení fo funkcie f dostávame funkciu jednej premennej

f ( x , k ( x ) ) = H ( x ) = e x 2

Viazané lokálne extrémy pôvodnej funkcie f nájdeme ako lokálne extrémy funkcie jednej premennej H(x) v jej stacionárnych bodoch, v ktorých je prvá derivácia funkcie nulová

H ( x ) = 2 x e x 2 , 2 x e x 2 = 0 x = 0

Funkcia má jediný stacionárny bod x=0.

Pre druhú deriváciu funkcie v bode x=0 platí

H ( x ) = 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 , H ( 0 ) = 2 < 0

a funkcia má v tomto bode lokálne maximum, ktorého hodnota je

H ( 0 ) = 1

Pôvodná funkcia f(x,y) má v bode [0,0] viazané lokálne maximum, f(0,0)=1 pri väzbe g2(x,y)=x+y=0.

obr6
Obr 5: Časť grafu funkcie s viazanými lokálnymi extrémami

Príklad 6. Nájdite globálne extrémy funkcie f(x,y)=x2y2 na množine M={[x,y]E2:x2+y24}.

Riešenie:

Množina M je uzavretá ohraničená oblasť, kruh s polomerom r=2 a stredom v začiatku súradnicovej sústavy, bode [0,0]. Funkcia f teda má na množine M globálne extrémy.

Lokálne extrémy funkcie vo vnútri množiny M môžu byť iba v jej stacionárnych bodoch, funkcia má v každom bode množiny M parciálne derivácie

f x ' ( x , y ) = 2 x , f y ' ( x , y ) = 2 y

a tie sú nulové iba v bode [0,0].

Určíme druhé parciálne derivácie funkcie a ich hodnoty v tomto jedinom stacionárnom bode funkcie.

f x x ' ' ( x , y ) = 2 > 0 , f x y ' ' ( x , y ) = 0 , f y y ' ' ( x , y ) = 2 < 0

Hodnota Hessiánu v každom bode množiny M, preto aj v bode [0,0], je

D ( 0 , 0 ) = | 2 0 0 2 | = 4 < 0

a funkcia f nemá v bode [0,0] lokálny extrém.

Nájdeme teraz viazané lokálne extrémy funkcie f na hranici množiny M.

Hranicou množiny M je kružnica s rovnicou x2+y2=4, ktorá určuje väzbu g(x,y)=x2+y24=0.

Vyjadríme

y 2 = 4 x 2

a dosadíme do funkcie f(x,y)

f ( x , h ( x ) ) = F ( x ) = 2 x 2 4

Funkcia F(x) má prvú deriváciu F(x)=4x, stacionárny bod je x=0, F(x)=4>0, a v bode x=0 má funkcia lokálne minimum, F(0)=4.

Z väzby vyjadríme hodnotu y v stacionárnom bode funkcie f(x,y), platí y2=402,y=±2.

Funkcia f(x,y) má v bodoch [0,2] a [0,2] viazané lokálne minimum, ktorého hodnota je

f ( 0 , 2 ) = f ( 0 , 2 ) = 4.

Ďalej vyjadríme

x 2 = 4 y 2

a dosadíme do funkcie f(x,y)

f ( g ( y ) , y ) = G ( y ) = 4 2 y 2

Funkcia G(y) má prvú deriváciu G(y)=4y, stacionárny bod je y=0, G(y)=4<0, a v bode y=0 má funkcia lokálne maximum, G(0)=4. Z väzby opäť vyjadríme hodnotu y, platí x2=402,x=±2.

Funkcia f(x,y) má v bodoch [2,0] a [2,0] viazané lokálne maximum, ktorého

hodnota je

f ( 2 , 0 ) = f ( 2 , 0 ) = 4.
obr13
Obr 6: Časť grafu funkcie s viazanými extrémami

Príklad 7. Nájdite globálne extrémy funkcie f(x,y)=cos2x+sin2y na množine M={[x,y]E2:π2xπ2,π2yπ2} a jej viazané lokálne extrémy na tejto množine pri väzbe yx=π4.

Riešenie:

Nájdeme najprv lokálne extrémy funkcie na vnútre množiny M, a viazané lokálne extrémy na hranici množiny M. Prvé parciálne derivácie sú

f x ' ( x , y ) = 2 cos x sin x
f y ' ( x , y ) = 2 sin y cos y

Súradnice stacionárnych bodov spĺňajú rovnice

2 cos x sin x = 0
2 sin y cos y = 0

a sú to body

A 1 = [ 0 , 0 ] , A 2 = [ 0 , π 2 ] , A 3 = [ 0 , π 2 ] , A 4 = [ π 2 , 0 ] , A 5 = [ π 2 , 0 ]

A 6 = [ π 2 , π 2 ] , A 7 = [ π 2 , π 2 ] , A 8 = [ π 2 , π 2 ] , A 9 = [ π 2 , π 2 ]

Druhé parciálne derivácie funkcie sú

f x x ' ' ( x , y ) = 2 sin 2 x 2 co s 2 x = 2 cos 2 x
f x y ' ' ( x , y ) = 0
f y y ' ' ( x , y ) = 2 cos 2 y 2 sin 2 y = 2 cos 2 y

Hessián funkcie má tvar

D ( x 0 , y 0 ) = | 2 cos 2 x 0 0 2 cos 2 y | = 4 cos 2 x cos 2 y

V bode A1 platí D(A1)=4, funkcia nemá extrém.

V bode A2 platí D(A2)=4,fxx''(A2)=2, funkcia tu má lokálne maximum, f(A2)=2.

V bode A3 platí D(A3)=4,fxx''(A2)=2, funkcia tu má lokálne maximum, f(A3)=2.

V bode A4 platí D(A4)=4,fxx''(A2)=2, funkcia tu má lokálne minimum, f(A3)=0.

V bode A5 platí D(A5)=4,fxx''(A2)=2, funkcia tu má lokálne minimum, f(A3)=0.

V bode A6 platí D(A6)=4, funkcia nemá extrém.

V bode A7 platí D(A6)=4, funkcia nemá extrém.

V bode A8 platí D(A6)=4, funkcia nemá extrém.

V bode A9 platí D(A6)=4, funkcia nemá extrém.

obr7
Obr 7: Graf funkcie na množine M

Viazané lokálne extrémy funkcie nájdeme pomocou funkcie jednej premennej, ktorú záskame, ak z väzby vyjadríme y ako funkciu x

y = h ( x ) = x + π 4

a dosadíme do pôvodnej funkcie dvoch premenných

f ( x , h ( x ) ) = F ( x ) = cos 2 x + sin 2 ( x + π 4 ) .

Lokálne extrémy funkcie F jednej premennej nájdeme známymi metódami.

Funkcia F je definovaná na R, má v každom bode deriváciu

F ( x ) = 2 cos x sin x + 2 sin ( x + π 4 ) cos ( x + π 4 ) = sin 2 x + sin ( 2 x + π 2 )

a lokálny extrémy môže mať len v stacionárnom bode, v ktorom je F(x)=0, teda

sin 2 x = sin ( 2 x + π 2 ) x 1 = π 8 , x 2 = 3 π 8

a z väzby dostávamey1=π8+π4=3π8,y2=3π8+π4=π8.

Pretože F(x)=2cos2x+2cos(2x+π2) má v stacionárnych bodoch hodnotu

F ( π 8 ) = 2 cos π 4 + 2 cos 3 π 4 = 4 2 < 0
F ( 3 π 8 ) = 2 cos ( 3 π 4 ) + 2 cos ( π 4 ) = 4 2 > 0

v bode x=π8 je lokálne maximum, v bode x=3π8 je lokálne minimum. Hodnoty extrémov sú

F ( π 8 ) = cos 2 π 8 + sin 2 ( π 8 + π 4 ) 1 , 7071
F ( 3 π 8 ) = cos 2 ( 3 π 8 ) + sin 2 ( 3 π 8 + π 4 ) 0 , 2929
obr3
Obr 8: Časť grafu funkcie a viazané extrémy