Lineárne diferenciálne rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientami, so špeciálnou pravou stranou

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu a partikulárne riešenie pre dané začiatočné podmienky:

1.y4y+4y=e2xx,y[1]=e2,y[1]=2e2

2. y4y+3y=(x+1)ex,y[0]=732,y[0]=6132

3. y2y+y=4ex,y[1]=e,y[1]=3e

4. y+4y=sinx+cosx,y[0]=517,y[0]=2017

Riešenie:

1. Rovnica y4y+4y=e2xx je LDR 2. rádu s pravou stranou s konštantnými koeficientami. Riešme najprv homogénnu rovnicu pre xR{0}.

y 4 y + 4 y = 0

Charakteristická rovnica tejto diferenciálnej rovnice je

r 2 4 r + 4 = 0

Diskriminant charakteristickej rovnice je D=(4)24.4=0, rovnica má jeden dvojnásobný koreň r=(4)2=2.

Všeobecným riešením diferenciálnej rovnice bez pravej strany je funkcia

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 e r x + c 2 x e r x = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x , c 1 , c 2 R , x R { 0 }

Jedno riešenie diferenciálnej rovnice s pravou stranou g(x)=e2xx nájdeme metódou variácie konštánt. Nahradíme konštanty c1,c2 vo všeobecnom riešení rovnice bez pravej strany neznámymi spojitými funkciami c1(x),c2(x), ktoré vyjadríme pomocou vzorcov

c 1 ( x ) = W 1 W d x , c 2 ( x ) = W 2 W d x

kde determinanty W,W1,W2

W = | y 1 y 2 y 1 y 2 | = | e 2 x x e 2 x 2 e 2 x ( 1 + 2 x ) e 2 x | = e 4 x
W 1 = | 0 y 2 g ( x ) y 2 | = | 0 x e 2 x e 2 x x ( 1 + 2 x ) e 2 x | = e 4 x
W 2 = | y 1 0 y 1 g ( x ) | = | e 2 x 0 2 e 2 x e 2 x x | = 1 x e 4 x

a funkcie majú tvar

c 1 ( x ) = e 4 x e 4 x d x = d x = x
c 2 ( x ) = e 4 x x e 4 x d x = 1 x d x = ln | x |

Jedno riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia

y = x e 2 x + x e 2 x ln | x | , x ( , 0 ) alebo ( 0 , )

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia vyjadrená ako súčet všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu bez pravej strany a jedného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x x e 2 x + x e 2 x ln | x | = e 2 x ( c 1 + x ( c 2 1 ) + x ln | x | ) , .

pre c1,c2R, definovaná na intervale (,0), alebo na intervale (0,).

Partikulárne riešenie určené začiatočnými podmienkami y[1]=e2,y[1]=2e2 nájdeme dosadením týchto podmienok do všeobecného riešenia y a jeho derivácie

y = e 2 x ( 2 c 1 + 2 c 2 x + c 2 2 x 1 + 1 x 2 + 2 x ln | x | ) .

e 2 = e 2 ( c 1 + c 2 1 + 2 ln | 1 | ) c 1 + c 2 = 2
2 e 2 = e 2 ( 2 c 1 + 3 c 2 2 + 2 ln | 1 | ) 2 c 1 + 3 c 2 = 3

Riešením sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi dostávame hodnoty konštánt, číslac1=2,c2=0. Partikulárne riešenie potom zapíšeme v tvare

y P = e 2 x ( c 1 + x ( c 2 1 ) + x ln | x | ) = e 2 x ( 2 x + x ln | x | ) , x ( 0 , ) .
obr1
Obr 1: Sústava integrálnych kriviek

2. Rovnica y4y+3y=(x+1)ex je LDR 2. rádu s pravou stranou s konštantnými koeficientami. Riešme najprv homogénnu rovnicu pre xR.

y 4 y + 3 y = 0

Charakteristická rovnica tejto diferenciálnej rovnice je

r 2 4 r + 3 = 0

Diskriminant charakteristickej rovnice je D=(4)24.3=4, rovnica má dva reálne korene r1,2=(4)±42,r1=3,r2=1.

Všeobecným riešením diferenciálnej rovnice bez pravej strany na R je funkcia

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x = c 1 e 3 x + c 2 e x

pre konštanty c1,c2R.

Jedno riešenie diferenciálnej rovnice s pravou stranou g(x)=(x+1)ex nájdeme metódou variácie konštánt. Nahradíme konštanty c1,c2 vo všeobecnom riešení rovnice bez pravej strany neznámymi spojitými funkciami c1(x),c2(x), ktoré vyjadríme pomocou vzorcov

c 1 ( x ) = W 1 W d x , c 2 ( x ) = W 2 W d x

kde determinanty W,W1,W2

W = | y 1 y 2 y 1 y 2 | = | e 3 x e x 3 e 3 x e x | = 2 e 4 x
W 1 = | 0 y 2 g ( x ) y 2 | = | 0 e x ( x + 1 ) e x e x | = ( x + 1 )
W 2 = | y 1 0 y 1 g ( x ) | = | e 3 x 0 3 e 3 x ( x + 1 ) e x | = e 2 x ( x + 1 )

Funkcie majú tvar

c 1 ( x ) = ( x + 1 ) 2 e 4 x d x = 1 2 ( x + 1 ) e 4 x d x = 1 32 ( 4 x + 5 ) e 4 x
c 2 ( x ) = e 2 x ( x + 1 ) 2 e 4 x d x = 1 2 ( x + 1 ) e 2 x d x = 1 8 ( 2 x + 3 ) e 2 x

Jedno riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia

y = 1 32 ( 4 x + 5 ) e x + 1 8 ( 2 x + 3 ) e x = 1 32 e x ( 4 x + 7 ) , x R .

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia vyjadrená ako súčet všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu bez pravej strany a jedného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou

y = c 1 e 3 x + c 2 e x + 1 32 e x ( 4 x + 7 ) , x R , c 1 , c 2 R .

Partikulárne riešenie určené začiatočnými podmienkami y[0]=732,y[0]=6132 nájdeme dosadením týchto podmienok do všeobecného riešenia y a jeho derivácie

y = 3 c 1 e 3 x + c 2 e x 1 32 e x ( 4 x + 3 )
7 32 = c 1 + c 2 + 7 32 c 1 + c 2 = 0
61 32 = 3 c 1 + c 2 3 32 3 c 1 + c 2 = 2

Riešením sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi dostávame hodnoty konštánt, číslac1=1,c2=1. Partikulárne riešenie potom zapíšeme v tvare

y P = e 3 x e x + 1 32 e x ( 4 x + 7 ) , x R .
obr2
Obr 2: Sústava integrálnych kriviek

3. Rovnica y2y+y=4ex je LDR 2. rádu s konštantnými koeficientami so špeciálnou pravou stranou.

Ak má funkcia na pravej strane rovnice tvar g(x )=eaxP (x), kde a je reálne číslo a P(x) je polynóm stupňa m, potom má diferenciálna rovnica partikulárne riešenie v tvare yP=xk eaxP (x). Číslo k udáva násobnosť koreňa a charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnice bez pravej strany, ktorá danej rovnici prislúcha. P(x) je neznámy polynóm toho istého stupňa, ako polynóm P(x). Jeho koeficienty určíme metódou neurčitých koeficientov. Riešme najprv homogénnu rovnicu pre xR,

y 2 y + y = 0

Charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice je kvadratická rovnica

r 2 2 r + 1 = 0

Diskriminant rovnice je D=(2)24.1=0, koreň rovnice r=1 je dvojnásobným koreňom, preto jej riešením je lineárna kombinácia funkcií y1=ex,y2=xex

y = c 1 e x + c 2 x e x , x R , c 1 , c 2 R .

Jedno riešenie diferenciálnej rovnice so špeciálnou pravou stranou je v tvare

y P = x 2 e x A , preto ž e P ( x ) = 4 , teda P (x) = A , a = 1 , k = 2 ,

Hodnotu konštanty A určíme zderivovaním a dosadením do pôvodnej rovnice

y P ' = 2 x e x A + x 2 e x A = A e x ( x 2 + 2 x )
y P ' ' = A e x ( x 2 + 2 x ) + A e x ( 2 x + 2 ) = A e x ( x 2 + 4 x + 2 )
A e x ( x 2 + 4 x + 2 ) 2 A e x ( x 2 + 2 x ) + x 2 e x A = 4 e x
2 A e x = 4 e x A = 2

preto partikulárne riešenie je yP=2x2ex,xR.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia vyjadrená ako súčet všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu bez pravej strany a jedného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou

y = c 1 e x + c 2 x e x + 2 x 2 e x , x R , c 1 , c 2 R

Partikulárne riešenie určené začiatočnými podmienkami y[1]=e,y[1]=3e nájdeme dosadením týchto podmienok do všeobecného riešenia y a jeho derivácie

y = c 1 e x + c 2 e x + c 2 x e x + 2 x 2 e x + 4 x e x = e x ( 2 x 2 + 4 x + c 2 x + c 2 + c 1 )
e = e ( c 1 + c 2 + 2 ) c 1 + c 2 = 1
3 e = e ( 6 + 2 c 2 + c 1 ) c 1 + 2 c 2 = 3

Riešením sústavy dvoch rovníc s dvoma neznámymi dostávame hodnoty konštánt, číslac1=1,c2=2. Partikulárne riešenie potom zapíšeme v tvare

y P = e x 2 x e x + 2 x 2 e x , x R .
obr3
Obr 3: Sústava integrálnych kriviek

4. Rovnica y+4y=sinx+cosx je LDR 2. rádu s konštantnými koeficientami so špeciálnou pravou stranou.

Ak má funkcia na pravej strane rovnice tvar g( x)=eax [P(x) cosbx+Q(x) sinbx], kde a, b sú reálne čísla a P(x), Q(x) sú polynómy, potom má diferenciálna rovnica partikulárne riešenie v tvare yP= xkeax [P( x)cosbx+Q (x)sinbx ]. Číslo k udáva násobnosť komplexného koreňa a + i b charakteristickej rovnice diferenciálnej rovnice bez pravej strany, ktorá danej rovnici prislúcha. Ak číslo a + i b nie je koreňom (komplexným) charakteristickej rovnice, potom k=0. Koeficienty neznámych polynómov P (x),Q (x) určíme metódou neurčitých koeficientov. Riešme najprv homogénnu rovnicu pre xR,

y + 4 y = sin x + cos x

Charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice je kvadratická rovnica

r 2 + 4 r = 0

Diskriminant rovnice je D=(4)2=16, korene rovnice sú r1=0,r2=4, preto jej riešením je lineárna kombinácia funkcií y1=1,y2=e4x

y = c 1 + c 2 e 4 x , x R , c 1 , c 2 R .

Jedno riešenie diferenciálnej rovnice so špeciálnou pravou stranou je v tvare

y P = x 0 e 0 ( A sin x + B cos x ) , preto ž e g ( x ) = sin x + cos x

Hodnoty konštánt A a B určíme zderivovaním a dosadením do pôvodnej rovnice

y P = A cos x B sin x
y P = A sin x B cos x
A sin x B cos x + 4 ( A cos x B sin x ) = sin x + cos x
sin x ( A 4 B ) + cos x ( 4 A B ) = sin x + cos x

Zo sústavy rovníc nájdeme riešenie, koeficienty A a B

A 4 B = 1
4 A B = 1

výraz B=4A1 z druhej rovnice dosadíme do prvej rovnice

A 4 ( 4 A 1 ) = 1 17 A = 3 A = 3 17 , B = 4 .3 17 1 = 5 17

preto partikulárne riešenie je

y P = 3 17 sin x 5 17 cos x , x R .

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia vyjadrená ako súčet všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu bez pravej strany a jedného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou

y = c 1 + c 2 e 4 x + 3 17 sin x 5 17 cos x , x R , c 1 , c 2 R .

Partikulárne riešenie určené začiatočnými podmienkami y[0]=517,y[0]=2017 nájdeme dosadením týchto podmienok do všeobecného riešenia y a jeho derivácie

y = 4 c 2 e 4 x + 3 17 cos x + 5 17 sin x
5 17 = c 1 + c 2 5 17 c 1 + c 2 = 0
20 17 = 4 c 2 + 3 17 c 2 = 1 4 , c 1 = 1 4

Partikulárne riešenie má potom tvar

y P = 1 4 1 4 e 4 x + 3 17 sin x 5 17 cos x , x R .
obr4
Obr 4: Sústava integrálnych kriviek