Lineárne diferenciálne rovnice 1. rádu

Príklad 1. Riešte diferenciálne rovnice

a) y2y=4x

b) y+y=cosx

c) yytanx=1cosx

d) (1+ex)yy=ex,y(1)=1

e) y2xy=xex2,y(0)=1

f) yy=e2x,y(0)=1

g) y+2x+1y=(x+1)2,y(0)=15

h) ycotx=sin2x,y(π2)=0

ch) xyy=x2,y(1)=2

i) y2yx=x3cosx,y(π)=π2

Riešenie.

a) Rovnica y2y=4x je LDR 1. rádu s pravou stranou.

Riešime najprv homogénnu rovnicu pre xR

y 2 y = 0

1 y y 2 = 0 , y 0
1 y d y 2 d x = c 1
ln | y | 2 x = c 1
ln | y | ln c 2 = 2 x
ln | y | c 2 = 2 x | y | c 2 = e 2 x

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = c e 2 x , x R , c R

a zahŕňa aj vylúčené partikulárne riešenie y=0 pre c=0.

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) e 2 x

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) e 2 x + 2 c ( x ) e 2 x

do pôvodnej rovnice

c ( x ) e 2 x + 2 c ( x ) e 2 x 2 c ( x ) e 2 x = 4 x

c ( x ) e 2 x = 4 x

c ( x ) = 4 x e 2 x

c ( x ) = 4 x e 2 x d x
c ( x ) = e 2 x ( 2 x + 1 )

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar jedného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = e 2 x ( 2 x + 1 ) e 2 x = 2 x + 1

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = c e 2 x + 2 x + 1 , x R , c R .
obr1
Obr 1: Sústava integrálnych kriviek

b) Rovnica y+y=cosx je LDR 1. rádu s pravou stranou.

Riešime najprv homogénnu rovnicu na R

y + y = 0

1 y y + 1 = 0 , y 0
1 y d y + d x = c 1
ln | y | + x = c 1
ln | y | ln c 2 = x
ln | y | c 2 = x | y | c 2 = e x

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = c e x , x R , c R

a zahŕňa aj vylúčené partikulárne riešenie y=0 pre c=0.

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) e x

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) e x c ( x ) e x

do pôvodnej rovnice

c ( x ) e x c ( x ) e x + c ( x ) e x = cos x

c ( x ) e x = cos x

c ( x ) = e x cos x

c ( x ) = e x cos x d x
c ( x ) = 1 2 e x ( sin x + cos x )

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar jedného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = 1 2 e x ( sin x + cos x ) e x = 1 2 ( sin x + cos x )

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = c e x + 1 2 ( sin x + cos x ) , x R , c R .
obr2
Obr 2: Sústava integrálnych kriviek

c) Rovnica yytanx=1cosx je LDR 1. rádu s pravou stranou.

Riešime najprv homogénnu rovnicu pre x(π2,π2), na ktorom sú funkcie tanxacosx definované a spojité, cosx0

y y tan x = 0
1 y y tan x = 0 , y 0

1 y d y + tan x d x = c 1

ln | y | + ln | cos x | = ln c 2
ln | y | = ln c 2 ln | cos x |
ln | y | = ln c 2 | cos x |

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = c cos x , x J = ( π 2 , π 2 ) , c R

a zahŕňa aj vylúčené partikulárne riešenie y=0 pre c=0.

Jedno riešenie LDR 1. rádu na J nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na J a taká, že jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) cos x

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) cos x + c ( x ) sin x cos 2 x

do pôvodnej rovnice

c ( x ) cos x + c ( x ) sin x cos 2 x c ( x ) cos x tan x = 1 cos x

c ( x ) cos x = 1 cos x
c ( x ) = 1 c ( x ) = x

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar jedného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = x cos x

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = c cos x + x cos x = c + x cos x , x ( 2 k + 1 ) π 2 , c R .

obr3
Obr 3: Sústava integrálnych kriviek

d) Rovnica (1+ex)yy=ex je LDR 1. rádu, máme nájsť jej všeobecné riešenie a partikulárne riešenie pre začiatočnú podmienku y(1)=1.

Riešime homogénnu rovnicu pre xR, kde je funkcia ex definovaná a spojitá

( 1 + e x ) y y e x = 0
y y e x 1 + e x = 0

y d y e x 1 + e x d x = c 1

1 2 y 2 ln ( 1 + e x ) = c 1
y 2 2 ln ( 1 + e x ) 2 c 1 = 0

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany sa dá napísať v implicitnom tvare

y 2 ln ( 1 + e x ) 2 + c = 0 , x R , c R .

Partikulárne riešenie rovnice bude určené vhodnou konštantou c0, ktorú získame dosadením začiatočnej podmienky y(1)=1 do všeobecného riešenia LDR 1. rádu.

1 ln ( 1 + e ) 2 + c =
c = ln ( 1 + e ) 2 1
y P : y 2 ln ( 1 + e x ) 2 + ln ( 1 + e ) 2 1 = 0
y P : y 2 ln ( 1 + e x ) 2 ( 1 + e ) 2 1 = 0 , x R .
obr4
Obr 4: Sústava integrálnych kriviek

e) Rovnica y2xy=xex2,y(0)=1 je LDR 1. rádu s pravou stranou.

Riešime najprv homogénnu rovnicu pre xR, kde sú funkcie p(x)=2xag(x)=xex2 definované a spojité

y 2 x y = 0
1 y y 2 x = 0 , y 0
1 y d y 2 x d x = c 1
ln | y | x 2 = ln c 2
ln | y | c 2 = x 2 | y | c 2 = e x 2

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = c e x 2 , x R , c R

a zahŕňa aj vylúčené partikulárne riešenie y=0 pre c=0.

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že

jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) e x 2

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) e x 2 + 2 x c ( x ) e x 2

do pôvodnej rovnice

c ( x ) e x 2 + 2 x c ( x ) e x 2 2 x c ( x ) e x 2 = x e x 2

c ( x ) = x
c ( x ) = x d x c ( x ) = x 2 2

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar jedného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = x 2 2 e x 2

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = c e x 2 + x 2 2 e x 2 , x R , c R .

Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(0)=1 je určené konštantou

1 = c e 0 + 1 2 e 0 c = 1 2

y P = 1 2 e x 2 + x 2 2 e x 2 = 1 2 e x 2 ( 1 + x 2 ) , x R .

obr5
Obr 5: Sústava integrálnych kriviek

f) Rovnica yy=e2x je LDR 1. rádu, máme nájsť jej všeobecné riešenie a partikulárne riešenie pre začiatočnú podmienku y(0)=1.

Riešime homogénnu rovnicu pre xR, kde je funkcia e2x definovaná a spojitá

y y = 0
1 y y 1 = 0 , y 0

1 y d y d x = c 1

ln | y | x = ln c 2
ln | y | c 2 = x | y | c 2 = e x

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany sa dá napísať v implicitnom tvare

y = c e x , x R , c R

a zahŕňa aj vylúčené partikulárne riešenie y=0 pre c=0.

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že

jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) e x

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) e x + c ( x ) e x

do pôvodnej rovnice

c ( x ) e x + c ( x ) e x c ( x ) e x = e 2 x

c ( x ) = e 2 x . e x
c ( x ) = e x d x c ( x ) = e x

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar jedného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = e x . e x = e 2 x

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = c e x + e 2 x , x R , c R .

Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(0)=1 je určené konštantou

1 = c e 0 + e 0 c = 0

y P = e 2 x , x R .

obr6
Obr 6: Sústava integrálnych kriviek

g) Rovnica y+2x+1y=(x+1)2,y(0)=15 je LDR 1. rádu s pravou stranou so začiatočnou podmienkou.

Riešime najprv homogénnu rovnicu pre xR{1}, na ktorom je funkcia 2x+1 definovaná a spojitá

y + 2 x + 1 y = 0
1 y y + 2 x + 1 = 0 , y 0
1 y d y + 2 x + 1 d x = c 1
ln | y | + 2 ln | x + 1 | = ln c 2
ln | y | = ln c 2 ln ( x + 1 ) 2
ln | y | = ln c 2 ( x + 1 ) 2

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = c ( x + 1 ) 2 , x R { 1 } , c R

a zahŕňa aj vylúčené partikulárne riešenie y=0 pre c=0.

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že

jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) ( x + 1 ) 2

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) ( x + 1 ) 2 2 c ( x ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) 4 = c ( x ) ( x + 1 ) 2 c ( x ) ( x + 1 ) 3

do pôvodnej rovnice

c ( x ) ( x + 1 ) 2 c ( x ) ( x + 1 ) 3 + 2 x + 1 c ( x ) ( x + 1 ) 2 = ( x + 1 ) 2

c ( x ) ( x + 1 ) 2 = ( x + 1 ) 2
c ( x ) = ( x + 1 ) 4
c ( x ) = ( x + 1 ) 4 d x c ( x ) = 1 5 ( x + 1 ) 5

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar jedného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = ( x + 1 ) 5 5 ( x + 1 ) 2 = 1 5 ( x + 1 ) 3

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = c ( x + 1 ) 2 + 1 5 ( x + 1 ) 3 , x R { 1 } , c R .

Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(0)=15 je určené konštantou

1 5 = c ( 0 + 1 ) 2 + 1 5 ( 0 + 1 ) 3 c = 0

y P = 1 5 ( x + 1 ) 3 , x R { 1 } .
obr7
Obr 7: Sústava integrálnych kriviek pre x < 1
obr7
Obr 7: Sústava integrálnych kriviek pre x > 1

h) Rovnica ycotx=sin2x je LDR 1. rádu s pravou stranou so začiatočnou podmienkou y(π2)=0.

Riešime najprv homogénnu rovnicu pre xkπ,kZ, pre ktoré je funkcia cotx definovaná a spojitá, resp. nájdeme riešenie na intervale (0,π)

y cot x = 0

d y cot x d x = c 1
y ln | sin x | = c 1
y = ln | sin x | + c

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = ln | sin x | + c , x ( 0 , π ) , c R .

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že

jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = ln | sin x | + c ( x )

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = cos x | sin x | + c ( x )

do pôvodnej rovnice

cos x | sin x | + c ( x ) cot x = sin 2 x

c ( x ) = sin 2 x
c ( x ) = sin 2 x d x c ( x ) = x 2 1 4 sin 2 x + c

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar jedného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = ln | sin x | + x 2 1 4 sin 2 x

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany

a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = ln | sin x | + x 2 1 4 sin 2 x + c , x ( 0 , π ) , c R .

Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(π2)=0 je určené konštantou

0 = ln | sin π 2 | + π 2 2 1 4 sin π + c c = π 4

y P = ln | sin x | + x 2 1 4 sin 2 x π 4 , x ( 0 , π ) .
obr8
Obr 8: Sústava integrálnych kriviek pre x ≠ kπ, kZ

ch) Rovnica xyy=x2,y(1)=2 je LDR 1. rádu s pravou stranou so začiatočnou podmienkou, v upravenom tvare dostaneme

y 1 x y = x

Riešime najprv homogénnu rovnicu pre xR, pre ktoré je funkcia x2 definovaná a spojitá

1 y y 1 x = 0

1 y d y 1 x d x = c 1
ln | y | ln | x | = c 1
ln | y | ln c 2 = ln | x |

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = c x , x R , c R .

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že

jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) x

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) x + c ( x )

do pôvodnej rovnice

c ( x ) x + c ( x ) 1 x c ( x ) x = x

c ( x ) = x
c ( x ) = x d x c ( x ) = x 2 2 + c

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar všeobecného riešenia pôvodnej LDR 1. rádu.

y P = ( x 2 2 + c ) x

Všeobecné riešenie LDR 1. rádu je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany

a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice

y = x 3 2 + c x , x R , c R .

Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(1)=2 je určené konštantou

2 = 1 2 c c = 5 2

y P = x 3 2 5 2 x , x R .
obr8
Obr 9: Sústava integrálnych kriviek

ch) Rovnica y2yx=x3cosx,y(π)=π2 je LDR 1. rádu s pravou stranou so začiatočnou podmienkou.

Riešime najprv homogénnu rovnicu pre xR{0}, pre ktoré sú funkcie 1xax3cosx definované a spojité

1 y y 2 x = 0

1 y d y 2 x d x = c 1
ln | y | 2 ln | x | = c 1
ln | y | ln c 2 = ln x 2

teda všeobecné riešenie rovnice bez pravej strany je

y = c x 2 , x 0 , c R .

Jedno riešenie LDR 1. rádu na R nájdeme metódou variácie konštanty.

Nahradíme konštantu c funkciou c(x), ktorá je definovaná a spojitá na R a taká, že

jedným riešením pôvodnej LDR 1. rádu je funkcia

y = c ( x ) x 2

Dosadením tejto funkcie a jej derivácie

y = c ( x ) x 2 + 2 c ( x ) x

do pôvodnej rovnice

c ( x ) x 2 + 2 c ( x ) x 2 x c ( x ) x 2 = x 3 cos x

c ( x ) = x cos x
c ( x ) = x cos x d x c ( x ) = x sin x + cos x + c

získame neznámu funkciu c(x) a po dosadení tejto funkcie aj tvar všeobecného riešenia

y = x 3 sin x + x 2 cos x + c x 2

ktoré je súčtom všeobecného riešenia rovnice bez pravej strany a jedného nájdeného riešenia pôvodnej rovnice pre xR,cR.

Partikulárne riešenie, ktoré vyhovuje začiatočnej podmienke y(π)=π2 je určené konštantou

π 2 = π 3 sin π + π 2 cos π + c π 2 c = 2

y P = x 3 sin x + x 2 cos x + 2 x 2 , x R .

obr10
Obr 10: Sústava integrálnych kriviek