Príklad 1. Riešte diferenciálne rovnice
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) , nájdite partikulárne riešenie po začiatočné podmienky
h) , nájdite partikulárne riešenie po začiatočné podmienky
ch) , nájdite partikulárne riešenie po začiatočné podmienky
i) , nájdite partikulárne riešenie po začiatočné podmienky
Riešenie:
a) Funkcia tan x na pravej strane diferenciálnej rovnice je spojitá funkcia pre , preto všeobecným riešením danej diferenciálnej rovnice pre dané x je funkcia
čo je
Obr. 1: Sústava integrálnych kriviek |
b) , funkcia na pravej strane je definovaná a spojitá pre tie reálne čisla x, pre ktoré je , teda .
Všeobecné riešenie danej diferenciálnej rovnice na intervale je
Obr. 2: Sústava integrálnych kriviek |
c) Rovnicu prepíšeme do rovnice tvaru
,
ktorá je diferenciálnou rovnicou prvého rádu so separovanými premennými.
Všeobecné riešenie rovnice je
Obr. 3: Sústava integrálnych kriviek |
d) Rovnica je rovnica so separovateľnými premennými, kde
sú spojité funkcie na R, pričom rovnica má riešenie , ktoré je riešením diferenciálnej rovnice.
Úpravou na diferenciálnu rovnicu so separovanými premennými dostaneme
ktorej všeobecné riešenie je
Všetky riešenia (spolu s riešením y = 0) danej diferenciálnej rovnice sú v tvare
Obr. 4: Sústava integrálnych kriviek |
e) Diferenciálnu rovnicu prepíšeme v tvare
a upravíme na rovnicu so separovanými premennými.
Funkcie sú spojité na R.
Rovnica má jediné riešenie, funkciu , ktorá je riešením danej diferenciálnej rovnice. Rovnica má riešenie
Pre platí
Riešením diferenciálnej rovnice na R sú všetky funkcie tvaru
Obr. 5: Sústava integrálnych kriviek |
f) Rovnicu tvaru prepíšeme na tvar
a označíme , čo sú funkcie spojité na R, pre . Rovnica má jediné riešenie , ktoré je aj riešením diferenciálnej rovnice, pre všetky .
Pre dostávame diferenciálnu rovnicu so separovateľnými premennými
a jej riešenie
všetky riešenia pôvodnej diferenciálnej rovnice pre môžeme zapísať v tvare
Obr. 6: Sústava integrálnych kriviek |
g) rovnica je diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými, upravíme ju na tvar
Pre obor definície riešenia platí
Partikulárne riešenie získame vypočítaním konštanty c zo začiatočných podmienok
Obr. 7: Sústava integrálnych kriviek |
h) rovnica je diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými, , ktorú upravíme na tvar
Všetky riešenia rovnice sú
Partikulárne riešenie získame vypočítaním konštanty c zo začiatočných podmienok
|
Obr. 8: Sústava integrálnych kriviek |
ch) rovnica je diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými, ktorú upravíme na tvar
Všetky riešenia rovnice sú
Partikulárne riešenie získame vypočítaním konštanty c zo začiatočných podmienok
Obr. 9: Sústava integrálnych kriviek |
i) rovnica je diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými, , ktorú upravíme na tvar
Všetky riešenia rovnice sú
Partikulárne riešenie získame vypočítaním konštanty c zo začiatočných podmienok
Obr. 10: Sústava integrálnych kriviek |