Zobrazenie kužeľových (valcových) plôch a kužeľov (valcov)

Kužeľová (valcová) plocha je jednoznačne určená riadiacou krivkou (najčastejšie kružnicou) a hlavným vrcholom, ktorý je vlastným bodom V (nevlastným bodom V, smerom) všetkých tvoriacich priamok plochy. Priemet plochy určíme priemetmi riadiacej kružnice a priemetmi úsečiek v tvoriacich priamkach plochy, ktoré sú zdanlivým obrysom plochy (obr. 2.65).

 

Nech je daný pôdorys bodu L plochy. Bodom L prechádza tvoriaca priamka plochy h. Nárys dvojice tvoriacich priamok h a h´, ktoré majú spoločný pôdorys h1 = h1´ nájdeme pomocou priesečníkov priamok s riadiacou kružnicou plochy, ktoré sú ich stopníkmi. Na nárysoch priamok ležia nárysy bodov L a L´. Axonometrické priemety bodov L a L´ nájdeme na axonometrických priemetoch priamok. Dotyková rovina τ v bode L kužeľovej (valcovej) plochy je určená tvoriacou priamkou h prechádzajúcou daným bodom L a dotyčnicou riadiacej kružnice plochy v spoločnom bode s tvoriacou priamkou (jedna stopa dotykovej roviny). Normála n je kolmá na dotykovú rovinu τ.

 

Rezy valcovej plochy

Smerová rovina σ valcovej plochy V je rovina prechádzajúca jej nevlastným vrcholom V.
Prienikom roviny σ a plochy V je:

1. jedna tvoriaca priamka (dotyková rovina),

2. dvojica tvoriacich priamok,

3. prázdna množina.

Rovina α, ktorá nie je smerovou rovinou kružnicovej valcovej plochy, reže plochu v elipse, príp. kružnici. Stred rezovej elipsy je bod osi valcovej plochy.

Každé dva rezy valcovej plochy rovinami α a α´, ktoré nie sú smerovými rovinami plochy, sú vo vzťahu osovej afinity s osou v priesečnici rovín α a α´. Smer afinity určujú tvoriace priamky plochy a dvojicou odpovedajúcich si bodov sú stredy rezov, priesečníky osi plochy s rezovými rovinami (obr. 2. 72).

Rovnobežným priemetom oboch rezov do ľubovoľnej priemetne v smere, ktorý nie je rovnobežný so žiadnou z rovín α, α´
ani so smerom tvoriacich priamok plochy,
sú dve elipsy (príp. dve kružnice, alebo kružnica a elipsa),
medzi ktorými platí vzťah osovej afinity.
Osou osovej afinity je priemet priesečnice rovín α a α´
a smerom je smer priemetu osi plochy.
Priemety stredov rezov ležiacich na osi plochy sú
dvojicou vzor a obraz v danej osovej afinite.
Riadiaca kružnica valcovej plochy je rovinným rezom plochy
(zvyčajne niektorou z priemetní),
preto rez plochy rovinou α je afinným obrazom riadiacej kružnice.

Na obr 2.73 je rez kružnicovej valcovej plochy s riadiacou kružnicou v pôdorysni zobrazený v kolmej axonometrii a združené priemety rezu valcovej plochy s riadiacou kružnicou v nárysni.

Rezy kužeľovej plochy

Rovina prechádzajúca vrcholom V kužeľovej plochy sa nazýva vrcholová rovina.
Vrcholová rovina s má s kužeľovou plochou prienik:

1. jediný bod V,

2. jednu tvoriacu priamku (dotýka sa plochy),

3. dve tvoriace priamky.

Rovina α, ktorá nie je vrcholovou rovinou kružnicovej kužeľovej plochy K, reže plochu v kužeľosečke (prípadne kružnici, ak je rovnobežná s rovinou riadiacej kružnice plochy). Typ rezovej kužeľosečky určuje prienik kužeľovej plochy s vrcholovou rovinou σ rovnobežnou s rovinou rezu. Rezom kužeľovej plochy rovinou α je:

a) elipsa, ak prienikom je jediný bod - σ ∩ K = V a α ∩ K = e

b) parabola, ak prienikom je jediná priamka - σ ∩ K = l a α ∩ K = p

c) hyperbola, ak prienik je dvojica priamok σ ∩ K = {l, j} a α ∩ K = h

Každé dva rezy kužeľovej plochy rovinami α a α´, ktoré nie sú vrcholovými rovinami plochy, sú vo vzťahu osovej kolineácie , ktorej os je priesečnica rovín α a α´, stred je vrchol kužeľovej plochy a dvojicou odpovedajúcich si bodov je dvojica priesečníkov jednej tvoriacej priamky plochy s rovinami α a α´ (obr. 2.76).


Rovnobežným priemetom oboch rezov do ľubovoľnej priemetne v smere, ktorý nie je rovnobežný so žiadnou z rovín α a α´,
sú dve kužeľosečky (prípadne kužeľosečka a kružnica),
medzi ktorými platí vzťah stredovej kolineácie.
Stredom tejto kolineácie je priemet vrchola kužeľovej plochy,
osou je priemet priesečnice rovín α a α´.
Priemety priesečníkov jednej tvoriacej priamky plochy
s rovinami α a α´
sú dvojicami vzor a obraz v danej stredovej kolineácii.
Riadiaca kružnica kužeľovej plochy je rovinným rezom plochy
(zvyčajne niektorou z priemetní),
preto rez kužeľovej plochy rovinou α
je kolineárnym obrazom riadiacej kružnice.

 


Kolmým priemetom elipsy na rotačnej kužeľovej ploche do roviny kolmej na os plochy je elipsa, ktorej jedným ohniskom je priemet vrchola plochy (obr. 2.77). Nárys rezu je úsečka A2B2, ktorej hraničné body sa premietajú do hlavných vrcholov pôdorysu rezu, ležiacich na spádovej priamke prvej osnovy roviny rezu. Stred rezu je v strede úsečky AB. Na hlavnej priamke prvej osnovy prechádzajúcej stredom O rezu ležia vedľajšie vrcholy C a D pôdorysu rezovej elipsy. V1 je ohnisko pôdorysu rezovej elipsy. V pôdoryse je viditeľný celý rez.

Na obr. 2.78 je zobrazený eliptický rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou α v kolmej axonometrii. Axonometrický priemet rezu je určený združenými priemermi AB, CD. Priemer AB leží na spádovej priamke prvej osnovy 1s rezovej roviny α . Vrcholová rovina σ=V1s reže kužeľovú plochu v dvoch tvoriacich priamkach, ktoré pretínajú priamku 1s v bodoch A, B rezu. Stred O úsečky AB je stredom rezu. Hlavná priamka p prvej osnovy roviny rezu je združeným priemerom priemetu rezu. Rovina σ = Vp reže kužeľovú plochu v priamkach CV a DV, pričom body C a D ležia na priamke p. Viditeľnosť určíme pomocou priesečníkov E, F obrysových tvoriacich priamok s rovinou rezu.

Pri zostrojovaní parabolického rezu rotačnej kužeľovej plochy K prechádza rezová rovina rovnobežne s jednou tvoriacou priamkou plochy. Rovnobežná vrcholová roviny kužeľovej plochy je jej dotykovou rovinou. Na obr. 2.79 je zostrojený parabolický rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou α v Mongeovej projekcii. Vrcholová rovina σ || α sa dotýka rotačnej kužeľovej plochy v obrysovej tvoriacej priamke v náryse. Pôdorysná stopa roviny σ je dotyčnicou kružnice k. Pôdorysná stopa roviny α pretína kružnicu k v začiatočnom a koncovom bode oblúka rezovej paraboly. Nárys roviny rezu, priamka α2 pretína obrysovú tvoriacu úsečku druhého priemetu zobrazenej časti kužeľovej plochy v bode M2, ktorý je najvyšším bodom druhého priemetu rezu, jeho pôdorys leží na pôdoryse spádovej priamky prvej osnovy 1s1 roviny rezu, ktorá sa premieta do osi pôdorysu rezu. Vrchol kužeľovej plochy sa do pôdorysu premieta do ohniska prvého priemetu rezu. Využitím vlastnosti subtangenty možno zostrojiť dotyčnice pôdorysu rezovej paraboly v bodoch K, L.

Axonometrický priemet (obr. 2.80) parabolického rezu rotačnej kužeľovej plochy rovinou α kolmou na nárysňu určíme pomocou spádovej priamky prvej osnovy 1s, ktorá má smer osi rezovej paraboly a s plochou sa pretína v bode M, ktorý je najvzšším bodom priemetu oblúka rezovej paraboly. Dotyčnice v spoločných bodoch K, L rezovej paraboly a riadiacej kružnice kužeľovej plochy určíme pomocou vlastnosti subtangenty, ich priesečník R leží na priamke 1s. Bod, v ktorom sa mení viditeľnosť rezovej čiary je priesečník obrysovej priamky plochy s rezovou rovinou.

Kolmý priemet hyperboly na rotačnej kužeľovej ploche do roviny kolmej na os plochy je hyperbola, ktorej jedno ohnisko je priemet vrchola plochy.

Na obr. 2.81 je v Mongeovej projekcii zobrazený hyperbolický rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou α. Vrcholová rovina σ prechádza vrcholom V plochy rovnobežne s rezovou rovinou α a jej prienik s plochou je dvojica tvoriacich priamok, ktoré sú rovnobežné s asymptotami 1a, 2a rezovej hyperboly. Spádová priamka 1s prvej osnovy roviny rezu sa premieta do osi pôdorysu rezu, jej priesečníky A, B s plochou sú v pôdoryse vrcholy oblúkov hyperboly, v náryse je A2 najvyšší bod priemetu jedného oblúka, B2 je najnižší bod druhého. Pôdorys vrchola kužeľovej plochy je ohniskom prvého priemetu rezu. Ďalšie body rezu K, K´, L, L´ ležia na kružniciach k, k´ a na stope pα a hlavnej priamke roviny rezu. V pôdoryse sa všetky body jedného oblúka premietajú ako viditeľné, druhý oblúk je neviditeľný.
V ortogonálnej axonometrii je na obr. 2.82 obdobne zostrojený hyperbolický rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou a kolmou na nárysňu. Dotykový bod E axonometrického priemetu rezu s obrysom leží na tvoriacej priamke kužeľovej plochy a nájdeme ho v náryse.