Priemety rovinných útvarov

 

Pri zostrojovaní priemetov rovinných útvarov určených ich metrickými vlastnosťami a pri určovaní skutočného tvaru a veľkosti (pri rekonštrukcii) rovinného útvaru
daného združenými priemetmi používame konštrukciu otáčania roviny daného útvaru do roviny rovnobežnej s priemetňou, príp. do priemetne.
Priemety bodov roviny α a priemety otočených bodov otočenej roviny α0 tvoria v priemetni dvojice bodov odpovedajúcich si v osovej afinite.
Osou tejto afinity je priemet osi otáčania (množina všetkých samodružných bodov), priesečnice otáčanej roviny α a roviny,
do ktorej otáčame (priemetňa, príp. rovina rovnobežná s priemetňou), teda stopa, príp. hlavná priamka roviny α.
Smer osovej afinity je kolmý na os otáčania. Bod a otočený bod ležia v rovine kolmej na os,
ktorá sa premieta do príslušnej priemetne ako priamka kolmá na priemet osi otáčania,
obsahujúca priemety bodu aj otočeného bodu roviny α.
Pri otáčaní roviny stačí uvedenou konštrukciou zostrojiť jeden otočený bod danej roviny.
Osová afinita (pozri kap. 1.5) je určená osou afinity - os otáčania, smerom afinity - smer kolmý na os afinity
a dvojicou odpovedajúcich si bodov - priemet bodu a otočeného bodu roviny a.

 

Príklad 1.: Zostrojte združené priemety pravidelného šesťuholníka ležiaceho v rovine α = ASP, keď A je vrchol a S stred útvaru (obr. 2.49).

Riešenie: Pôdorysná stopa roviny α je priamka PP´, kde P´ je stopník priamky a = AS. Okolo stopy pα otočíme rovinu α do pôdorysne. Bod S sa otočí v rovine otáčania kappa;S, kolmej na π, do bodu S0. Priamka a = AS sa otočí do priamky a0 = P´0S0, ktorej priemet nájdeme pomocou samodružného bodu P´ = P´0 a bodu S0. Otočený bod A0 leží na otočenej priamke a0 a v priemete je to afinný obraz priemetu bodu A. Smer afinity je kolmý na os otáčania, ktorá je aj osou afinity. Otočený šesťuholník A0B0C0D0E0F0 so stredom S0 sa zobrazuje v skutočnom tvare a veľkosti. Jeho pôdorys nájdeme pomocou osovej afinity, k vrcholom B0 až F0 nájdeme afinné obrazy B1 až F1. Samodružné body priamok, pomocou ktorých nájdeme pôdorysy bodov, sú stopníkmi priamok roviny a (ležia na pôdorysnej stope roviny) a ich nárysy sú na osi x1,2. Nárysy vrcholov šesťuholníka ležia na nárysoch príslušných priamok.

 

Príklad 2.: Zistite veľkosť trojuholníka ABC určeného združenými priemetmi všetkých troch vrcholov (obr. 2.51).

Riešenie:
Vrcholy trojuholníka ABC určujú rovinu a trojuholníka, ktorú otočíme do roviny rovnobežnej s nárysňou.
Osou otáčania je priamka n = ν´ ∩ α , hlavná priamka II. osnovy roviny α .
Bod A na osi otáčania je samodružný.
Bod C sa otočí do bodu C0 v rovine otáčania κ kolmej na os otáčania.
Dvojica bodov C2 a C0 je dvojicou odpovedajúcich si bodov v osovej afinite s osou v priamke n2
a smerom kolmým na os určeným priemetom κ2 roviny otáčania bodu C.
Afinným obrazom úsečky B2C2 je otočená úsečka C0B0.
Prechádza samodružným bodom na osi afinity, pričom bod B0 leží na priamke sB zo smeru afinity.
Trojuholník A0B0C0 je zhodný s trojuholníkom ABC.

Kolmým priemetom kružnice je:

a) úsečka, ak kružnica leží v rovine kolmej na priemetňu,

b) kružnica, ak kružnica leží v rovine rovnobežnej s priemetňou, príp. v priemetni,

c) elipsa, ak kružnica leží v inej rovine α.

Hlavná os elipsy je v priemete hlavnej priamky roviny a rovnobežnej s priemetňou (veľkosť hlavnej polosi sa rovná polomeru kružnice a = r ) a vedľajšia os je v priemete spádovej priamky roviny a kolmej na hlavnú priamku (veľkosť vedľajšej polosi je b = r cos φ, pričom φ je uhol roviny a s priemetňou).

Na obr 2.52 sú združené priemety kružnice k ležiacej v rovine a kolmej na pôdorysňu (vľavo) a nárysňu (vpravo).
Na obr 2.53 sú združené priemety kružnice k ležiacej v rovine r (axonometrická priemetňa), určenej stopami.
Prvým priemetom kružnice je elipsa s hlavnými vrcholmi v bodoch A1, B1 na pôdoryse p1 hlavnej priamky
vo vzdialenosti rovnajúcej sa polomeru r kružnice od prvého priemetu stredu S1 kružnice.
Druhým priemetom kružnice je elipsa s hlavnými vrcholmi v bodoch A´2 , B´2 na náryse n2 hlavnej priamky
vo vzdialenosti rovnajúcej sa polomeru r kružnice od druhého priemetu S2 stredu.
Body A2, B2, A´1, B´1 sú bodmi príslušných priemetov kružnice k.
Vedľajšia os pôdorysu kružnice je pôdorys spádovej priamky prvej osnovy 1s1, vedľajšia os nárysu je v priemete spádovej priamky druhej osnovy 2s2.
Dĺžky vedľajších polosí pre jednotlivé priemety určíme pomocou sklopenia premietacích rovín spádových priamok,
skrátením úsečiek    | CS | = | SD | = | C´S | = | SD´ | = r.

Axonometrickým priemetom kružnice, ktorá leží v súradnicovej rovine, je elipsa (obr. 2.54 ).
Hlavná os elipsy je priamka rovnobežná s priesečnicou príslušnej súradnicovej roviny s axonometrickou priemetňou,
so stranou axonometrického trojuholníka XY, XZ, YZ. Prechádza príslušným priemetom stredu S kružnice.
Dĺžka hlavnej polosi sa rovná polomeru r kružnice.
Vedľajšia os je rovnobežná s priemetom súradnicovej osi kolmej na rovinu kružnice - z (y, príp. x).
Ďalší bod kružnice M ( M´, príp. M´´ ) je priemetom bodu kružnice,
ktorý je vrcholom pravého uhla v trojuholníku ABM (A´B´M´,
príp. A´´B´´M´´) s preponou AB (A´B´, príp. A´´B´´).
Obrazom pravého uhla v príslušnej priemetni π ( ν, príp. μ) je uhol priemetu súradnicových osí x a y ( x a z, príp. y a z ).
Pre vedľajšie vrcholy platí

| CS | = | SD | = b ( | C´S´ | = | S´D´ | = b´, príp. | C´S´ | = | S´D´ | = b´´ ).

 

Príklad 3.: Zostrojte združené priemety dráhy pohybu bodu A, ktorý sa otáča okolo priamky a (obr. 2.56).

Riešenie:

Bod A sa otáča po kružnici k ležiacej v rovine α,
ktorá prechádza bodom A kolmo na os otáčania a.
Rovinu určíme hlavnými priamkami α = pn, kolmými na priamku a.
Priesečník roviny α s osou otáčania je stred kružnice,
a ∩ α = S.
Polomer hľadanej kružnice je vzdialenosť bodu A od osi otáčania,
r =| Aa | = | SA|.
Združenými priemetmi kružnice k sú dve rôzne elipsy,
ktoré zostrojíme ako na obr. 2.53.