EUKLIDOVSKÉ TRANSFORMÁCIE

Geometrické transformácie euklidovského priestoru

Regulárna transformácia je prosté zobrazenie množiny M na množinu M', v ktorom každému prvku množiny M
( vzoru X ∈ M ) priradíme jediný prvok množiny M' ( obraz X'∈ M' ) podľa určeného pravidla (obr. 1.4).
Platí:

1. X Y, potom X' Y '

Dva rôzne prvky množiny M sa zobrazia do dvoch rôznych prvkov množiny M'.

2. X' Y', potom X Y

Dva rôzne prvky množiny M' sú obrazmi dvoch rôznych prvkov množiny M.

Ak sú množiny M, M' geometrické priestory, ktorých prvkami sú body, regulárne transformácie definované na množine bodov priestorov nazývame geometrické. Ak M = M', dostávame geometrickú transformáciu priestoru na seba. Obrazom geometrického útvaru v danej geometrickej transformácii je množina obrazov všetkých bodov daného geometrického útvaru. Geometrické útvary priestoru sa zobrazujú do iných geometrických útvarov toho istého priestoru. Vlastnosti geometrických útvarov, ktoré sa pri danej geometrickej transformácii útvarov zachovávajú, nazývame invariantné (nemenné) vlastnosti danej transformácie. Geometrické transformácie zachovávajú incidenciu ako invariantnú vlastnosť. Útvary, ktoré sa zobrazia samy do seba, nazývame samodružné. Ak sú všetky body útvaru v danej transformácii samodružné (invariantné), nazývame útvar bodovo samodružným. Geometrickú transformáciu budeme nazývať lineárnou, ak spĺňa nasledujúcu požiadavku: obrazom priamky je priamka a obrazom roviny je rovina. Geometrické lineárne transformácie priestoru sú analyticky vyjadrené štvorcovou regulárnou maticou, ktorú nazývame maticou transformácie T s reálnymi prvkami (pre trojrozmerný priestor je to matica rádu 4). Súradnice bodov obrazu U' geometrického útvaru U získame zo súradníc bodov vzoru U vynásobením maticou transformácie U' = U . T

Geometrické transformácie možno skladať, pričom zložením dvoch geometrických trasformácií T a T' vznikne nová zložená geometrická transformácia. Jej analytické vyjadrenie je súčin analytických vyjadrení skladaných transformácií. Skladanie transformácií nie je komutatívne (obr. 1.5), to značí, záleží na poradí, v akom sa dané transformácie vykonávajú

T . T' T' . T

1.4 Euklidovské (metrické) transformácie

Na množine bodov euklidovského priestoru je definovaná množina euklidovských (metrických) transformácií nazývaných zhodnosti. Metrické transformácie euklidovského priestoru zachovávajú okrem incidencie aj dĺžky úsečiek (metriku).

Sú to: identita, súmernosť podľa roviny - rovinová súmernosť, súmernosť podľa priamky - osová súmernosť, súmernosť podľa bodu - stredová súmernosť, otáčanie okolo priamky, posunutie, posunutá rovinová súmernosť, posunutá osová súmernosť, otočená rovinová súmernosť, skrutkový pohyb.

Niektoré z metrických transformácií sú predmetom štúdia na strednej škole. Napríklad transformácie, ktoré zachovávajú invariantnými roviny priestoru (body každej roviny sa zobrazia do bodov tej istej roviny), stredová súmernosť a posunutie. Osová súmernosť a rovinová súmernosť sú zasa trojrozmernou analógiou obdobnej transformácie v euklidovskej rovine, osovej súmernosti.

Otáčanie okolo priamky je transformácia priestoru určená osou otáčania o a orientovaným uhlom otočenia φ (obr. 1. 6). Bodu A ∉ o je priradený bod A ° - otočený bod podľa nasledujúceho pravidla:

1. | o A | = | o A°| = | AS^A | = | A° S^A | = r^A, r^A je polomer otáčania

S^A = h ∩ o, A ∈ h ⊥ o, S^A = h° ∩ o, A° ∈ h°⊥ o

Priamky h, h° tvoria rovinu α kolmú na os otáčania o, rovinu otáčania bodu A.

2. | ∡ hh° | = φ

Body A, A° ležia na kružnici k^A (kružnica otáčania) so stredom v bode S^A a polomerom r^A.

Všetky body osi otáčania sú samodružné. Os otáčania je bodovo samodružná priamka. Kladná orientácia uhla otočenia je proti smeru pohybu hodinových ručičiek.

Skrutkový pohyb je transformácia zložená z otáčania okolo priamky o (os skrutkového pohybu) o orientovaný uhol φ a posunutia určeného vektorom posunutia rovnobežným s osou skrutkového pohybu (obr 1.7).
Bodu A ∉ o je priradený bod A^S - vyskrutkovaný bod podľa nasledujúceho pravidla:

1. A otočíme o uhol φ okolo osi o do bodu A°

2. | o A | = | o A° | = | oA^S | = r^A

2. A° posunieme do bodu A^S, a = A°A^S.

Body A, A^S ležia na skrutkovici s osou v osi skrutkového pohybu o a polomerom r^A. Všetky body osi skrutkového pohybu sa iba posunú o vektor , zobrazia sa do iných bodov osi skrutkového pohybu.

Os skrutkového pohybu je samodružná priamka, nie však bodovo samodružná.

Obrazom geometrického útvaru v metrickej transformácii je geometrický útvar zhodný so svojim vzorom. Vzťah medzi súradnicami bodov vzoru a obrazu v danej transformácii vyjadrujú rovnice transformácie. Matica lineárnej transformácie je maticou tejto sústavy rovníc.