Priesečníky priamok s jednoduchými plochami

 

Vzájomnú polohu priamky a ľubovoľnej plochy určíme podľa algoritmu pozostávajúceho z troch krokov.
Nech Φ je plocha, ktorej prienik s priamkou a je hľadaná množina bodov.

1. Priamkou a vedieme ľubovoľnú rovinu α , a α

2. Zostrojíme rez plochy Φ rovinou α , α ∩ Φ = k

3. Nájdeme spoločné body priamky a a rezovej čiary k , a ∩ k = {A, B,...} = M

Ak je množina M prázdna, priamka nemá s plochou žiadne spoločné body.
Priamka je dotyčnicou plochy v bode množiny M, ak je táto množina jednoprvková.
Všetky body viacprvkovej množiny M sú priesečníky priamky s danou plochou.
Počet priesečníkov priamky s plochou (maximálny možný) sa rovná stupňu plochy.
Vzhľadom na krok 2. a 3. postupujeme pri voľbe roviny a v kroku 1. tak,
aby sme úlohu vyriešili jednoducho a dostatočne presne.
Jednou z možností je využitie premietacej roviny priamky a.
Rez k sa potom premieta v jednom priemete ako úsečka,
kým v druhom priemete ľahko zistíme priesečníky rezu a danej priamky.
Úloha sa však nedá vždy uspokojivo vyriešiť (rezová čiara môže byť napr. hyperbola a pod.).
Inou možnosťou je voliť rovinu alpha; tak, aby rez plochy Φ touto rovinou bola jednoduchá čiara,
napr. priamka, kružnica a pod.

 

Priamka a guľová plocha

Každá rezová rovina α reže guľovú plochu v kružnici.
Rez premietacou rovinou priamky a sa v príslušnom priemete zobrazí ako úsečka.
Na obr. 2.83 je v Mongeovej projekcii rovina α druhou premietacou rovinou priamky a, nárys rezu guľovej plochy rovinou α je úsečka, pôdorys elipsa.
Spoločné body Q, T priamky a a kružnice k (v priemete priamky a1 a elipsy k1) nájdeme sklopením roviny α do nárysne.
Viditeľnosť priamky vzhľadom na guľovú plochu je určená viditeľnosťou rezovej kružnice k.
V ortogonálnej axonometrii je rovina α kolmá na axonometrickú priemetňu, ktorú vedieme stredom S guľovej plochy.
Sklopením roviny α do axonometrickej priemetne ρ zistíme vzájomnú polohu rezovej kružnice k
(v axonometrickom priemete úsečka, stred K leží v priemetni ρ) a priamky a.
Sklopená priamka (a) je určená axonometrickým stopníkom R = (R) = a ∩ ρ a sklopeným pôdorysným stopníkom (Pa).
Bod Pa má od axonometrickej priemetne takú istú vzdialenosť ako bod P, ktorý leží na súradnicovej osi x.
Určíme ju sklopením premietacej roviny súradnicovej osi x.

| Pρ | = | P(P) | = | Pa(Pa) | = | Pa ρ |

Priamka a hranolová, valcová plocha

Rezová rovina α rovnobežná s tvoriacimi priamkami hranolovej, príp. valcovej plochy reže plochu v dvojici tvoriacich priamok (dotyková rovina sa dotýka v jednej priamke).
Ich priesečníky s danou priamkou a sú hľadané body prieniku.
Pri hranolových plochách je vhodné voliť rovinu α v premietacej rovine priamky a (obr. 2.84).
Pri valcových plochách (obr. 2.85) je rovina α rovnobežná s osou plochy (premietacia rovina môže rezať valcovú plochu v elipse).
Okrem priamky a určíme v rovine α priamku r rovnobežnú s osou valcovej plochy
a pretínajúcu danú priamku a v bode R.

R ∈ a, R ∈ r, r || o, α = a x r

 

Priamka a ihlanová, kužeľová plocha

Rezová rovina α prechádzajúca vrcholom ihlanovej, príp. kužeľovej plochy reže plochu v dvojici tvoriacich priamok (dotyková rovina sa dotýka v jednej priamke).
Daná priamka a sa s nimi pretína v bodoch, ktoré má spoločné s plochou.
Pri ihlanových plochách je vhodné voliť rovinu α v premietacej rovine priamky a (obr. 2.86).
Pri kužeľových plochách (kde môže byť rezom ktorákoľvek kužeľosečka) je rovina α vždy vrcholovou rovinou, α = aV.
Ďalšia priamka roviny α prechádza vrcholom V rovnobežne (obr. 2.87), príp. rôznobežne s danou priamkou a .

V ∈ v, v || a ( v ∩ a = R), α = a || v (α = a x v)