ROTAČNÉ PLOCHY

Rotačná plocha vznikne otáčaním oblúka čiary okolo danej osi. Os otáčania o je ľubovľná priamka priestoru.
Geometrickými transformáciami (otáčanie a posúvanie) možno premiestniť priamku o do niektorej zo súradnicových osí, príp. do rovnobežnosti so súradnicovou osou.
Na obr. 4.41 je priamka o posunutá o vektor a = PO do priamky o´ prechádzajúcej začiatkom súradnicovej sústavy, potom je otočená o uhol α x okolo súradnicovej osi x do priamky o´´
a napokon je otočená okolo súradnicovej osi y o uhol α y do súradnicovej osi z.
Matica otáčania okolo ľubovoľnej priamky o je súčinom matíc reprezentujúcich jednotlivé geometrické transformácie,
matice posunutia a matíc otáčania okolo príslušných súradnicových osí x, y, z.
Pri zobrazovaní rotačných plôch v Mongeovej projekcii je vhodné voliť os otáčania rovnobežnú so súradnicovou osou z, v kolmej axonometrii totožnú so súradnicovou osou z (obr. 4.43).

Syntetická reprezentácia: (k, TOz(v))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - r(u) = (x(u), y(u), z(u), 1), u< 0, 1 >

generujúci princíp - trieda otáčaní okolo osi z o uhly z intervalu < 0, α >

TOz(v) = , v<0,1>

modelovaný útvar

p(u, v) = r(u).TOz(v)

(u, v)< 0, 1 >2, α ∈ < 0, 2π >, os otáčania je os rotačnej plochy

Rotačná plocha s osou v osi x, ktorá vznikne otáčaním oblúka Archimedovej špirály o uhly z intervalu < 0, π > je zobrazená na obr. 4.42.

1. Parametrická sieť čiar na rotačnej ploche

Sieť parametrických čiar plochy tvoria u-čiary zhodné s riadiacou čiarou k
(jednotlivé polohy čiary k pri otáčaní okolo osi o)
a v-čiary, dráhy pohybu bodov čiary k, rovnobežkové kružnice (ležia v rovinách kolmých na os otáčania). Každým bodom P plochy prechádza rovnobežková kružnica lP a otočená riadiaca čiara kP (obr. 4.43).
Rovina μ prechádzajúca osou rotačnej plochy sa nazýva meridiánová rovina. Je rovinou súmernosti plochy.
Každá rotačná plocha má nekoneč
ne veľa rovín súmerností, každý list rotačnej plochy aspoň jednu.
Rez rotač
nej plochy rovinou m nazývame meridián.
Je to rovinná čiara (dvojica rovinných čiar) súmerná podľa osi plochy.
Otáč
aním meridiánu okolo osi plochy vznikne tá istá rotačná plocha, ktorá vznikne otáčaním riadiacej čiary k.
Nahradením priestorovej čiary k vo výtvarnej reprezentácii plochy rovinným meridiánom sa parametrické viary plochy stanú rovinnými meridiánmi

(k, TOz(v)) = (m, TOz(v))

Každým bodom P plochy prechádza jedna rovnobežková kružnica PlP a jeden meridián PmP(obr. 4.44).
Dotyková rovina plochy v bode P je určená dotyčnicami k týmto čiaram, τ = lt mt.
Meridiánová rovina rovnobežná s nárysňou sa nazýva hlavná meridiánová rovina a rez rotačnej plochy touto rovinou je hlavný meridián.

Dotyčnica mt v bode P meridiánu je s osou o plochy rôznobežná alebo rovnobežná.
Dotyčnice všetkých meridiánov v bodoch ležiacich na jednej rovnobežkovej kružnici l sú priamkami dotykovej rotačnej kužeľovej (príp. valcovej) plochy,
ktorú vytvorí dotyčnica mt otáčaním okolo osi o (obr. 4.45).

Vrchol V kužeľovej plochy dotyčníc leží na osi otáčania.
Normály rotačnej plochy v bodoch rovnobežkovej kružnice l ležia na rotačnej kužeľovej ploche normál s osou v osi otáčania a vrcholom W na osi otáčania,
ktorej tvoriace priamky sú kolmé na tvoriace priamky kužeľovej plochy dotyčníc.

Dotyková valcová plocha sa dotýka rotačnej plochy v rovnobežkovej kružnici, v bodoch ktorej majú obe plochy spoločné dotykové roviny rovnobežné s osou o rotačnej plochy.
Normály rotačnej plochy v bodoch tejto rovnobežkovej kružnice tvoria rovinu kolmú na os otáčania.
Rovnobežková kružnica, v bodoch ktorej sú dotykové roviny rovnobežné s osou otáčania sa nazýva hrdlová (dotyková valcová plocha je vnútri rotačnej plochy),
príp. rovníková (dotyková valcová plocha je zvonku rotačnej plochy).

Rovnobežková kružnica, v bodoch ktorej sa plochy dotýkajú roviny kolmé na os (kružnica obsahuje parabolické body plochy) sa nazýva kráterová.
Normály rotaènej plochy v bodoch takýchto rovnobežkových kružníc ležia na rotaènej valcovej ploche normál, sú rovnobežné s osou plochy.

2. Priemet rotačnej plochy

V Mongeovej projekcii zobrazujeme rotačné plochy spravidla tak, že os otáčania je rovnobežná so súradnicovou osou z. Pôdorys zobrazenej rotačnej plochy bude medzikružie ohraničené priemetmi rovnobežkových kružníc s najmenším a najväčším polomerom (obr. 4.46). Všetky rovnobežkové kružnice sa v pôdorysoch zobrazia ako kružnice so stredom v prvom priemete osi. Nárysy týchto kružníc sú úsečky kolmé na druhý priemet osi, rovnobežné s osou x1,2. Nárys plochy je ohraničený priemetom hlavného meridiánu ležiaceho v rovine μ // ν , prípadne dvojicou úsečiek. Úsečky sú priemetmi rovnobežkových kružníc v rovinách kolmých na os otáčania a prechádzajúcich tými bodmi riadiacej čiary, ktoré sú v najmenšej a najväčšej vzdialenosti od pôdorysne. Meridián zostrojíme po jednotlivých bodoch. Každá rovnobežková kružnica pretína obe časti meridiánu v bodoch, ktorých nárysy ležia v priemete roviny kružnice, priamke rovnobežnej so súradnicovou osou x1,2.

3. Bod na ploche a dotyková rovina v bode plochy

Každým bodom T plochy prechádza rovnobežková kružnica k (rez plochy rovinou πT kolmou na os o)
a meridián mT (rez plochy meridiánovou rovinou μT prechádzajúcou osou , obr. 4.48).
Dotyková rovina τ plochy v bode T obsahuje dotyčnice kt a mt kružnice k a meridiánu mT v ich spoločnom bode T.
Prvý priemet dotyčnice kt je dotyčnica pôdorysu rovnobežkovej kružnice, druhý priemet je rovnobežný s osou x1,2 ( kt πT ).
Prvý priemet dotyčnice meridiánu mT je v prvom priemete meridiánovej roviny μT.
Pri konštrukcii jej nárysu využijeme kužeľovú plochu dotyčníc, ktorej vrchol V na osi otáčania o
nájdeme pomocou dotyčnice hlavného meridiánu v bode rovnobežkovej kružnice k.
Bod T sa po tejto kružnici otočí do bodu T 0 na hlavnom meridiáne, ktorý je v náryse zobrazený v skutočnom tvare.
Jeho dotyčnica mt 0 pretína os otáčania vo vrchole V dotykovej kužeľovej plochy.
Bodom V prechádzajú dotyčnice všetkých meridiánov plochy v bodoch rovnobežkovej kružnice k, m t = VT.
Dotyč
nica kt je hlavnou priamkou prvej osnovy roviny τ, dotyčnica mt spádovou priamkou prvej osnovy.
Normála plochy, kolmá na dotykovú rovinu, sa premieta v pôdoryse ako kolmica na priemet dotyčnice kt.
Nárys nájdeme pomocou kužeľ
ovej plochy normál.
Vrchol W na osi otáčania o zostrojíme ako priesečník normály n 0 v bode T 0 hlavného meridiánu,
ktorej pravý uhol s dotyčnicou mt 0 sa zobrazuje v náryse ako pravý. Normála n je určená bodmi W a T.

4. Priesečníky priamky s rotačnou plochou

Pri zostrojovaní priesečníkov priamky s rotačnou plochou je vhodné využiť premietaciu rovinu κ danej priamky a do nárysne.
Spoloč
né body pôdorysov priamky a a čiary, ktorá je rezom rotačnej plochy premietacou rovinou κ,
sú prvými priemetmi hľadaných prieseč
níkov, a ∩ Φ = {Q, R}. Ich nárysy ležia na náryse priamky a.
Viditeľnosť priamky vzhľ
adom na rotačnú plochu určíme podľa viditeľnosti rezovej čiary (obr. 4.50).

4. Rez rotačnej plochy rovinou a dotyčnica v bode rezovej čiary

Rez rotačnej plochy ľubovoľnou rovinou α je čiara súmerná podľa priamky 1s, ktorá je priesečnicou rezovej roviny s rovinou súmernosti σ plochy kolmou na rovinu rezu.
Priesečníky priamky 1s s plochou sú bodmi rezovej čiary ležiacimi v najväčšej a najmenšej vzdialenosti od priemetne π.
Zostrojíme ich ako prieseč
níky priamky 1s a meridiánu ms , v ktorom rovina σ reže plochu.
Meridián
ms je zhodný s hlavným meridiánom m, ktorý je v náryse zobrazený v skutočnom tvare.
Otočením meridiánu ms a priamky 1s v rovine σ do roviny m hlavného meridiánu zistíme v náryse najvyšší a najnižší bod rezu.
Všetky ďalšie body rezovej čiary nájdeme ako priesečníky rovnobežkových kružníc rotačnej plochy v rovinách iλ // π
s hlavnými priamkami ip roviny rezu α, v ktorých roviny il pretínajú rovinu rezu (obr.4.49).
Dotyčnica rezovej čiary v bode L je priesečnica roviny rezu s dotykovou rovinou τ plochy v danom bode.
Dotyková rovina je určená dotyčnicami k rovnobežkovej kružnici a k meridiánu, ktoré bodom L na ploche prechádzajú, τ = rt mt.


    Obr. 4. 49