ROTAČNÉ PLOCHY
Rotačná plocha vznikne otáčaním oblúka čiary okolo danej osi. Os otáč
ania o je ľubovľná priamka priestoru.Syntetická reprezentácia: (k, TOz(v))
Analytické reprezentácie:
riadiaci útvar - r(u) = (x(u), y(u), z(u), 1), u ∈ < 0, 1 >
generujúci princíp - trieda otáčaní okolo osi z o uhly z intervalu < 0, α >
TOz(v) = , v ∈<0,1>
modelovaný útvar
p(u, v) = r(u).TOz(v)
(u, v) ∈ < 0, 1 >2, α ∈ < 0, 2π >, os otáčania je os rotačnej plochy
Rotač
ná plocha s osou v osi x, ktorá vznikne otáčaním oblúka Archimedovej špirály o uhly z intervalu < 0, π > je zobrazená na obr. 4.42.
1. Parametrická sieť čiar na rotačnej ploche
Sieť parametrických čiar plochy tvoria u-čiary zhodné s riadiacou čiarou k
(jednotlivé polohy čiary k pri otáčaní okolo osi o)
a v-čiary, dráhy pohybu bodov čiary k, rovnobežkové kružnice (ležia v rovinách kolmých na os otáčania).
Každým bodom P plochy prechádza rovnobežková kružnica lP
a otočená riadiaca čiara kP (obr. 4.43).
Rovina μ prechádzajúca osou rotačnej plochy sa nazýva meridiánová rovina. Je rovinou súmernosti plochy.
Každá rotačná plocha má nekonečne veľa rovín súmerností, každý list rotačnej plochy aspoň jednu.
Rez rotačnej plochy rovinou m nazývame meridián.
Je to rovinná čiara (dvojica rovinných čiar) súmerná podľa osi plochy.
Otáčaním meridiánu okolo osi plochy vznikne tá istá rotačná plocha, ktorá vznikne otáčaním riadiacej čiary k.
Nahradením priestorovej čiary k vo výtvarnej reprezentácii plochy rovinným meridiánom sa parametrické v-čiary plochy stanú rovinnými meridiánmi
(k, TOz(v)) = (m, TOz(v))
Každým bodom P plochy prechádza jedna rovnobežková kružnica P ∈ lP a jeden meridián P ∈ mP(obr. 4.44).
Dotyková rovina plochy v bode P je určená dotyčnicami k týmto čiaram, τ = lt mt.
Meridiánová rovina rovnobežná s nárysňou sa nazýva hlavná meridiánová rovina
a rez rotačnej plochy touto rovinou je hlavný meridián.
Dotyčnica mt v bode P meridiánu je s osou o plochy rôznobežná alebo rovnobežná.
Dotyčnice všetkých meridiánov v bodoch ležiacich na jednej rovnobežkovej kružnici l sú priamkami dotykovej rotačnej kužeľovej (príp. valcovej) plochy,
ktorú vytvorí dotyčnica mt otáčaním okolo osi o (obr. 4.45).
Vrchol V kužeľovej plochy dotyčníc leží na osi otáčania.
Dotyková valcová plocha sa dotýka rotačnej plochy v rovnobežkovej kružnici, v bodoch ktorej majú obe plochy spoločné dotykové roviny rovnobežné s osou o rotačnej plochy.
Normály rotačnej plochy v bodoch tejto rovnobežkovej kružnice tvoria rovinu kolmú na os otáčania.
Rovnobežková kružnica, v bodoch ktorej sú dotykové roviny rovnobežné s osou otáčania sa nazýva hrdlová (dotyková valcová plocha je vnútri rotačnej plochy),
príp. rovníková (dotyková valcová plocha je zvonku rotačnej plochy).
Rovnobežková kružnica, v bodoch ktorej sa plochy dotýkajú roviny kolmé na os (kružnica o
bsahuje parabolické body plochy) sa nazýva kráterová.2. Priemet rotačnej plochy
V Mongeovej projekcii zobrazujeme rotačné plochy spravidla tak, že os otáčania je rovnobežná so súradnicovou osou z. Pôdorys zobrazenej rotačnej plochy bude medzikružie ohraničené priemetmi rovnobežkových kružníc s najmenším a najväčším polomerom (obr. 4.46). Všetky rovnobežkové kružnice sa v pôdorysoch zobrazia ako kružnice so stredom v prvom priemete osi. Nárysy týchto kružníc sú úsečky kolmé na druhý priemet osi, rovnobežné s osou x1,2. Nárys plochy je ohraničený priemetom hlavného meridiánu ležiaceho v rovine μ // ν , prípadne dvojicou úsečiek. Úsečky sú priemetmi rovnobežkových kružníc v rovinách kolmých na os otáčania a prechádzajúcich tými bodmi riadiacej čiary, ktoré sú v najmenšej a najväčšej vzdialenosti od pôdorysne. Meridián zostrojíme po jednotlivých bodoch. Každá rovnobežková kružnica pretína obe časti meridiánu v bodoch, ktorých nárysy ležia v priemete roviny kružnice, priamke rovnobežnej so súradnicovou osou x1,2.
3. Bod na ploche a dotyková rovina v bode plochy
Každým bodom
T plochy prechádza rovnobežková kružnica k (rez plochy rovinou πT kolmou na os o)4. Priesečníky priamky s rotačnou plochou
Pri zostrojovaní priesečníkov priamky s rotačnou plochou je vhodné využiť
premietaciu rovinu κ danej priamky a do nárysne.4.
Rez rotačnej plochy rovinou a dotyčnica v bode rezovej čiaryRez rotačnej plochy ľubovoľ
nou rovinou α je čiara súmerná podľa priamky 1s, ktorá je priesečnicou rezovej roviny s rovinou súmernosti σ plochy kolmou na rovinu rezu.
Obr. 4. 49