ROZVINUTEĽNÉ PRIAMKOVÉ PLOCHY



Priamková plocha, ktorej sa
v každej tvoriacej priamke dotýka jediná dotyková rovina,
pričom plocha leží v okolí tejto priamky
v jednom polpriestore určenom dotykovou rovinou,
je rozvinuteľná.
Všetky body rozvinuteľnej priamkovej plochy
sú parabolické (obr. 4.12).


Rozvinuteľné priamkové plochy sú:

a) rovina b) valcová plocha c) kužeľová plocha d) plocha dotyčníc čiary e) plocha zložená zo záplat typu a) až d) (prechodová plocha).


I. Špeciálne typy rozvinuteľných priamkových plôch

1. Valcová plocha

Posúvaním oblúka čiary k v smere nenulového vektora posunutia vznikne valcová plocha (obr. 4.13).

Syntetická reprezentácia:     (k, TP(v) )

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - r(u) = (x(u), y(u), z(u), 1), u <0, 1 >

generujúci princíp trieda posunutí určená vektorom   a = (a1, a2, a3, 0), a 0

                                      v< 0, 1 >

modelovaný útvar - p(u,v) = r(u).TP(v) = (x(u)+a1v, y(u)+a2v, z(u)+a3v, 1), (u, v) < 0, 1 >2

Ak je oblúk čiary k rovinným oblúkom, k α a vektor a je smerovým vektorom roviny a,
získame plochu, ktorá je časťou roviny a (obr. 4.14).

.


                              Obr. 4.14                                                            Obr. 4.15


Ak je čiara k kružnica z roviny
α a vektor a nie je smerovým vektorom roviny α, a x α,
získame časť kružnicovej valcovej plochy, pre smer a ⊥ α časť rotačnej valcovej plochy.
Príklad valcovej plochy, ktorej riadiacou čiarou je Archimedova špirála, je na obr. 4.15.
Ak je čiara k lomenou čiarou a vektor a nie je rovnobežný so žiadnou úsečkou riadiacej lomenej čiary,
modelovaná plocha je časťou hranolovej plochy, ktorej hrany majú smer vektora a (plocha tvorená záplatami, ktoré sú časti rovín) (obr. 4.16).


               Obr. 4.16

2. Kužeľová plocha

Z oblúka čiary k získame pomocou triedy rovnoľahlostí so stredom v bode V
a s nenulovým koeficientom h kužeľovú plochu (obr. 4.17).

Syntetická reprezentácia: (k, TR(v) )

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - r(u) = (x(u), y(u), z(u), 1) u< 0, 1 >

generujúci princíp - trieda rovnoľahlostí so stredom v bode V = (xv, yv, zv, 1)
a koeficientom h 0


, v< 0, 1 >



modelovaný útvar

     p(u, v) = r(u).TR(v) = ((1-hv) x(u) + xv hv, (1-hv) y(u) + yv hv, (1-hv) z(u) + zv hv, 1), (u, v)< 0, 1 >2

Nenulový koeficient rovnoľahlosti určuje modelovanú časť plochy:

h > 1 dvojitá kužeľová plocha

h = 1 kužeľová plocha s vrcholom V

0 < h< 1 zrezaná kužeľová plocha v polpriestore medzi riadiacou čiarou k a vrcholom V

h < 0 zrezaná kužeľová plocha v opačnom polpriestore od riadiacej čiary k ako vrchol V

Ak je oblúk čiary k rovinným oblúkom ležiacim v rovine α a v tejto rovine leží aj stred V,
získame plochu, ktorá je časťou roviny α (obr. 4.18a, koeficient h < 1).

Ak je čiara k kružnica z roviny α a stred V neleží v rovine α,
získame kružnicovú kužeľovú plochu s vrcholom
V.
Ak bodom V prechádzajúca priamka kolmá na rovinu α
pretína túto rovinu v strede riadiacej kružnice k, kužeľová plocha je rotačná.



Príklad kužeľovej plochy, ktorej riadiacou čiarou je oblúk Descartovho listu je na obr. 4.19, koeficient h > 1.
Ak je čiara k lomenou čiarou a stred V nie je bodom tejto čiary,model ovanou plochou je časť ihlanovej plochy s vrcholom V
(plocha tvorená záplatami, ktoré sú časti rovín) (obr. 4.20, koeficient h=1).


                    Obr. 4.19                                                                  Obr. 4.20

3. Plocha dotyčníc čiary

Posúvaním bodov riadiacej čiary v smere vektorov dotyčníc čiary v týchto bodoch vznikne plocha dotyčníc čiary (obr. 4.21).

Syntetická reprezentácia: (k, TT(u, v))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - r(u) = (x(u), y(u), z(u), 1) , u < 0, 1 >

generujúci princíp - trieda posunutí určená vektorom

, (u,v)< 0, 1 >2, h 0

modelovaný útvar - p(u, v) = r(u).TT(u,v) = (x(u) + hva1(u), y(u) + hva2(u), z(u) + hva3(u), 1), (u, v)< 0, 1 >2

Ak je oblúk čiary k rovinným oblúkom, k α,

vektor dotyčnice(u) v každom bode oblúka je smerovým vektorom roviny α

a modelovaná plocha je časťou roviny α (obr. 4.22).

Pre priestorovú riadiacu čiaru sú vektory dotyčníc nekolineárne vektory (obr. 4.23).

Ak je riadiacou čiarou skrutkovica, získame jedinú rozvinuteľnú skrutkovú plochu,

plochu dotyčníc skrutkovice (obr. 4.24).


                      Obr.4.23                                                                           Obr. 4.24


4. Všeobecná rozvinuteľná priamková plocha

Priamkovú plochu možno určiť dvoma riadiacimi čiarami (u-parametrické čiary plochy),
pričom každá tvoriaca priamka plochy (v-parametrická čiara) prechádza jedným bodom každej z riadiacich čiar.
Pre vhodne zvolené dvojice bodov na riadiacich čiarach
(vhodná parametrizácia bodových funkcií reprezentujúcich riadiace čiary)
získame rozvinuteľnú priamkovú plochu.
Generujúcim princípom v syntetickej reprezentácii všeobecnej rozvinuteľnej priamkovej plochy je
lineárna interpolácia (obr.4. 25).

Syntetická reprezentácia:    ({1k, 2k}, I(v) )

Analytické reprezentácie:     1r(u) = (1x(u), 1y(u), 1z(u), 1),

                                           2r(u) = (2x(u), 2y(u), 2z(u), 1),     u< 0, 1 >

mapa záplaty plochy   M = ( 1r(u), 2r(u) )

generujúci princíp - lineárna interpolácia     I(v) = (1-v    v)

modelovaný útvar

    p(u, v) = M . IT(v) = ( 1x(u)(1-v) + 2x(u)v, 1y(u)(1-v) + 2y(u)v, 1z(u)(1-v) + 2z(u)v, 1), (u, v) < 0, 1 >2

Valcové plochy získame z dvojice zhodných riadiacich čiar 1k a 2k, z ktorých jedna vznikla posunutím druhej.
Pre kužeľové plochy a plochy dotyčníc čiar sú čiary 1k a 2k rovnoľahlé (obr. 4.26),
príp. jedna z čiar je určená konštantnou bodovou funkciou, je to bod - vrchol kužeľovej plochy.
Prechodová plocha (typ e.) určená elipsou a uzavretou lomenou čiarou na obr. 4.27 je plocha tvorená
štyrmi rôznymi trojuholníkmi (časti dotykových rovín) a štyrmi rôznymi časťami kužeľových plôch.



                                                         Obr. 4.26                                      Obr. 4.27

Tvoriacu priamku rozvinuteľnej priamkovej plochy určíme pomocou dotykovej roviny,
ktorá sa plochy v danej priamke dotýka.
Čiara 1k má v bode 1P oskulačnú rovinu 1ω, v ktorej leží jej dotyčnica 1t v bode 1P.
Dotyčnica 1t je zároveň priamkou dotykovej roviny τ plochy
(τ je množinou dotyčníc všetkých čiar plochy prechádzajúcich daným bodom).
Bod 2P čiary 2k určujúci s bodom 1P tvoriacu priamku l = 1P 2P
nájdeme ako dotykový bod dotyčnice 2t ku čiare 2k,
ležiacej v oskulačnej rovine 2ω a zároveň v dotykovej rovine τ.
Priamky 1t, 2t sú priesečnice roviny τ s oskulačnými rovinami 1ω, 2ω
a môžu mať len neprázdny prienik, spoločný vlastný alebo nevlastný bod.
Ich vzájomnú polohu určuje poloha oskulačných rovín 1ω, 2ω.

1ω ∩ 2ω = r         1t 2t = R,     Rr     (obr. 4.28)

1ω ∩ 2ω = r        1t 2t = R     (obr. 4.29)

II. Rozvinutie plochy

Rozvinuteľná priamková plocha je obálka priestoru medzi riadiacimi čiarami 1k, 2k vytvorená dotykovými rovinami.
Rozvinutie plochy je izometrické zobrazenie do roviny.
Platia preň nasledujúce pravidlá:

1. zachováva dĺžku oblúkov čiar na plochách

2. zachováva uhly oblúkov čiar na plochách

3. Catalanova veta: Polomer prvej krivosti čiary plochy a polomer prvej krivosti jej rozvinutia do roviny je v každom bode daný pomerom ,
kde φ je uhol oskulačnej roviny ω čiary v danom bode s dotykovou rovinou τ, do ktorej čiaru rozvíjame, (obr. 4. 30).

Trojuholník PSS0 má pravý uhol vo vrchole S - stred prvej krivosti v bode P čiary k ležiacej v rovine ω.
Odvesna PS trojuholníka má dĺžku rovnajúcu sa polomeru prvej krivosti 1r čiary
a zviera uhol φ s preponou PS0 z roviny τ.
Dĺžka prepony sa rovná polomeru prvej krivosti 1ρ0 v bode P rozvinutej čary k0 do roviny τ.
Body S, S0 sú stredmi oskulačných kružníc h, h0 čiar k,
k0 v spoločnom bode P,
ich polomery sú polomery prvých krivostí 1ρ, 1ρ0.

τ ∩ ω = t     τ ω = φ      SS0 t

Pre φ = 0 0 sa čiara k rozvinie do svojej oskulačnej roviny v danom bode P,
do rovinnej čiary k0 so zhodným polomerom prvej krivosti 1ρ = 1ρ0 .

Pre φ = 900 sa čiara k rozvinie do svojej dotyčnice t,
ležiacej v dotykovej rovine τ kolmej na oskulačnú rovinu ω v bode P, s polomerom prvej krivosti 1ρ 0 = .

Časť rozvinuteľnej priamkovej plochy rozvinieme do jednej z dotykových rovín τ, ktorá sa plochy dotýka v priamke l = 1P 2P, 1P1k, 2P2k.

Nech sú čiary 1k, 2k rovinnými čiarami ležiacimi v rovinách 1ω, 2ω.

Pre rozvinutie plochy platí:

1. dĺžka úsečky na tvoriacej priamke sa zachováva     d = |1P 2P|

2. uhly riadiacich čiar s tvoriacou priamkou sa zachovávajú     1α = | 1k l | = |1t l |     2α = | 2k l | = | 2t l |

3. Catalanova veta

1φ = 1ω τ    1ρ0 = 1ρ cos 1φ    2φ = 2ω τ     2ρ0 = 2ρ cos 2 φ

1ρ 0 , 2ρ 0 sú polomery prvých krivostí rozvinutých riadiacich čiar 1k0, 2k0 do roviny τ v bodoch 1P, 2P.
Na normálach týchto čiar (kolmých na dotyčnice 1t, 2t) ležia stredy krivostí 1S, 2S,
ktoré sú stredmi oskulačných kružníc v daných bodoch, 1h(1S, 1r0), 2h(2S, 2r0).

 

Rozvinutá krivka môže byť v danom bode (obr. 4.31):

a) konkávna a nachádza sa v tej istej polrovine od dotyčnice ako rozvinutá časť plochy Φ
oblúk 2k v okolí bodu 2P
- uhol 2φ rovín 2ω a τ je zhodný s uhlom polrovín (2t 2P´) 2ω a (2t 1P) τ obaľujúcich plochu Φ

b) konkávna a nachádza sa v opačnej polrovine od dotyčnice ako rozvinutá časť plochy Φ
oblúk 1k v okolí bodu 1P
- uhol 1φ rovín 1ω a τ je doplnok uhla 1ψ polrovín (1t 1P´)
1ω a (1t 2P) τ obaľujúcich plochu Φ, 1φ + 1ψ = π

c) konvexná a nachádza sa v tej istej polrovine od dotyčnice ako rozvinutá časť plochy Φ
oblúk 1k v okolí bodu 1P´
- uhol 1φ´ rovín 1ω a τ´ je zhodný s uhlom polrovín (1t´ 1P) 1ω a (1t´ 2P´) τ´ obaľujúcich plochu Φ

d) konvexná a nachádza sa v opačnej polrovine od dotyčnice ako rozvinutá časť plochy Φ
oblúk 2k v okolí bodu 2P´
- uhol 2φ´ rovín 2ω a τ´ je doplnok uhla 2ψ
polrovín (2t´ 2P) 2ω a (2t´ 1P´) τ´ obaľujúcich plochu Φ, 2φ´ + 2ψ = π

e) má v danom bode inflexný bod (pretína dotyčnicu)
oblúk 2k v okolí bodu 2P´´, oblúk 1k v okolí bodu 1P*
- uhol 1φ = 2φ = π/2, 1ω ⊥ τ*, 2ω ⊥ τ´´.

Pre plochu dotyčníc priestorovej čiary je oskulačná rovina ω v každom bode P riadiacej čiary zhodná s dotykovou rovinou plochy, ω = τ , φ = 00 a 1ρ = 1ρ0.
Čiara k sa rozvinie do rovinnej čiary k0, pričom prvé krivosti čiar 1k, 1k0 sú v každom bode rovnaké (plochy na obr.4.23, 4.24).

Príklad 4.1: Nájdite tvoriacu priamku prechodovej plochy určenej:

a) kružnicou k v pôdorysni a kružnicou k´ v nárysni,

b) kružnicou k v rovine a kolmej na nárysňu a lomenou čiarou ABC v nárysni.

Určite polomery prvej krivosti 1ρ a 1ρ´ rozvinutých kružníc do dotykovej roviny τ v priamke l plochy.

Riešenie:

a) Dotyková rovina τ v hľadanej tvoriacej priamke l je určená dotyčnicami riadiacich čiar,
ktoré sú jej stopami (obr. 4.32). Uhly α, α´ dotyčníc t, t´ s priamkou l = LL´ (L, L´ sú body dotyku)
a dĺžku úsečky | LL´ | = d nájdeme otočením roviny τ okolo t´ (nárysná stopa roviny) do nárysne.
Sklopením spádových priamok 1s a 2s zistíme uhly 1φ = τ π , a 2φ = τ ν
oskulačných rovín (pôdorysňa π a nárysňa ν) s dotykovou rovinou τ,
do ktorej rozvinieme plochu, teda kružnice
k a k´.
Veľkosti polomerov prvej krivosti 1ρ0 a 1ρ0´ rozvinutých čiar určíme pomocou Catalanovej vety,
z polomerov prvej krivosti kružníc, ktoré sa rovnajú polomerom kružníc 1r a 1r´.

.

b) Prechodová plocha je tvorená tromi rôznymi časťami kužeľových plôch a tromi trojuholníkmi,
ktoré sú časťami dotykových rovín plochy v hraničných úsečkách kužeľových plôch (obr.4. 33).
Vrcholy I, II a III týchto trojuholníkov, ležiace na kružnici k ,
nájdeme ako dotykové body tých dotyčníc kružnice,
ktoré sa pretínajú s priamkami v stranách riadiacej lomenej čiary ABC na nárysnej stope roviny α
(sú to priesečnice oskulačnej roviny α kružnice k
s dotykovými rovinami prechodovej plochy v stranách riadiacej lomenej čiary ABC, v ktorých sú ich nárysné stopy).

Tvoriacu priamku plochy v bode Lk určíme obdobne:
dotyčnica t v bode L kružnice k sa so stopou nα pretína v bode,
ktorým prechádza priamka t´ obsahujúca jediný bod trojuholníka ABC, jeho vrchol B.
Priamka l = LB leží na kužeľovej ploche I BIII, ktorá je časťou prechodovej plochy.
Priamky t, t´ určujú dotykovú rovinu τ plochy,
do ktorej rozvinieme kružnicu k v okolí bodu L do čiary s polomerom prvej krivosti 1ρ 0 .
Jeho veľkosť zistíme pomocou Catalanovej vety,
z polomeru 1r kružnice k a uhla φ, ktorý zviera rovina kružnice α s dotykovou rovinou τ.
Je to uhol priamok , ktoré sú prvými priemetmi rovín τ a α.