PRIESTOROVÉ ČIARY



1. Cylindrická skrutkovica

Cylindrická skrutkovica je priestorová krivka, ktorá vznikne cylindrickým skrutkovým pohybom bodu.
Cylindrický skrutkový pohyb je trieda geometrických transformácií zložená z triedy otáčaní okolo osi o
a triedy posunutí v smere vektora kolineárneho s osou otáčaní o.

Syntetická reprezentácia:      (A, TS(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A = (a, 0, 0, 1)

generujúci princíp -

cylindrický skrutkový pohyb s osou v súradnicovej osi z
určený vektorom posunutia a = (0, 0, v0, 0) v smere osi,
kde v0 je redukovaná výška závitu

, u ∈ < 0, 1 >

modelovaný útvar

 r(u) = A. TS(u) = (acos αu, asin αu, av0u,1)

u ∈ < 0, 1 >, a 0 je polomer skrutkovice, os otáčania o = z je os skrutkovice
α = 2π pre jeden závit skrutkovice (ľavotočivej (obr. 3.24), príp. pravotočivej,
podľa orientácie uhla otáčania a),
α = 2kπ , k 0 pre k závitov
v0 je redukovaná výška závitu, vz je výška závitu, vz = 2πv0


Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:

jeden závit skrutkovice - r(u) = (acos 2πu, asin 2πu, 2πv0u,1)

r´(u) = 2π(-asin 2πu, acos 2πu, v0, 0)         ∣r´(u)∣ = 2π = 2πd

r´´(u)= -4π2(acos 2πu, asin 2πu, 0, 0)         r´´´(u)= -8π3a(-sin 2πu, cos 2πu, 0, 0)

[r´(u) r´´(u) r´´´(u)]=64π6a2 v0

r´(u) x r´´(u)= 8π3a(v0 sin 2πu, -v0 cos 2πu, a, 0)         ∣ r´(u) x r´´(u)∣ = 8π3ad


Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), u ∈ < 0, 1 >

t(u) = (-asin 2πu, acos 2πu, v0, 0)/d         b(u) = (v0 sin 2πu, -v0 cos 2πu, a, 0)/d

n(u) = (cos 2πu, sin 2πu, 0, 0)

1k(u)=a/d2         1r(u)=d2/a         2k(u)=v0/d2

Rektifikácia dĺžky závitu skrutkovice (obr. 3.25)

Jeden závit skrutkovice sa rozvinie do prepony pravouhlého trojuholníka,
ktorého odvesny majú dĺžky vz (výška závitu skrutkovice)
a 2πa (dĺžka riadiacej kružnice rotačnej valcovej plochy, na ktorej je skrutkovica navinutá).

Uhol φ, ktorý zvierajú všetky dotyčnice skrutkovice s rovinou kolmou na os skrutkového pohybu,
sa nazýva spád skrutkovice. Skrutkovica je čiara konštantného spádu.

tg φ = vz / 2πa = vo / a

Smerová kužeľová plocha skrutkovice je rotačná kužeľová plocha, ktorej tvoriace priamky sú rovnobežné s dotyčnicami skrutkovice,
vrchol je bod W na osi skrutkovice a riadiaca kružnica s polomerom a (polomer skrutkovice) leží v rovine ρ kolmej na os skrutkovice.
Vzdialenosť vrchola od roviny riadiacej kružnice je rovná redukovanej výške závitu skrutkovice v0 = |Wρ |.
Dotykové roviny smerovej kužeľovej plochy sú rovnobežné s oskulačnými rovinami skrutkovice.
Konštrukcia sprievodného Frenet - Serretovho trojhranu v danom bode BS ľavotočivej skrutkovice je na obr. 3.26.
Nech je os o skrutkovice rovnobežná s osou z.
Prvým priemetom skrutkovice je kružnica s1.
Časť smerovej kužeľovej plochy sa v pôdoryse premieta ako kruh s hraničnou kružnicou k1 = s1 o polomere a.
Nárys časti smerovej kužeľovej plochy je trojuholník s vrcholom W2 na osi o2 , |W2x1,2| = v0 .
V bode BS skrutkovice zostrojme oskulačnú rovinu ω.
Rovina obsahuje dotyčnicu t skrutkovice v bode BS,
(spádová priamka prvej osnovy určujúca uhol roviny ω s pôdorysňou - spád φ skrutkovice )
a normálu n (hlavná priamka prvej osnovy kolmá na dotyčnicu).
Dotyčnicu skrutkovice nájdeme pomocou smerovej kužeľovej plochy, ktorej tvoriaca priamka l (prechádzajúca vrcholom W)
je rovnobežná s hľadanou dotyčnicou t.
Binormála b skrutkovice je kolmá na oskulačnú rovinu ω, rektifikačná rovina ρ je kolmá na pôdorysňu.


2. Kónická skrutkovica

Kónický skrutkový pohyb je trieda geometrických transformácií zložená z triedy otáčaní okolo osi o (os pohybu)
a triedy rovnoľahlostí so stredom v bode V ležiacim na danej osi a koeficientom h ≠ 0.

Syntetická reprezentácia:      (A, TOR(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A = (a, 0, 0, 1)

generujúci princíp

kónický skrutkový pohyb s osou v súradnicovej osi z určený
stredom rovnoľahlosti V = (0, 0, vz,1) na osi a koeficientom h = 1

modelovaný útvar


r(u) = A.TOR(u) = ((1-u)acos αu, (1-u)asin αu, kvzu, 1)

u ∈ < 0, 1 >, a 0, k 0 je počet závitov, α=2kπ

α = 2π pre jeden závit skrutkovice

 Kónická skrutkovica je čiara ležiaca na rotačnej kužeľovej ploche s osou v osi skrutkového pohybu,
vrcholom v bode V a riadiacou kružnicou s polomerom a ležiacou v rovine kolmej na os pohybu.

3. Sférická skrutkovica

Sférický skrutkový pohyb je trieda geometrických transformácií
zložená z dvoch tried otáčaní okolo na seba kolmých osí 1o, 2o.

Syntetická reprezentácia:      (A, T00(u))

Analytické reprezentácie:

 riadiaci útvar - A = (0, 0, a,1)

 generujúci princíp - sférický skrutkový pohyb
  s osou 1o v súradnicovej osi x
  a osou 2o v súradnicovej osi z, k 0


, u ∈ < 0, 1 >

modelovaný útvar

r(u) = A.T00(u) = (asin αu sin 2kπu, -asin αu cos 2kπu, acos αu, 1)

u ∈ < 0, 1 >, a 0, k 0 je počet závitov, α = π

Sférická skrutkovica je čiara ležiaca na guľovej ploche so stredom
v priesečníku osí rotácií O = 1o ∩ 2o a polomerom a = |OA|.

Pre uhol α = 2π a k = 0,5 dostávame Vivianiho krivku s dvojnásobným bodom (a, 0, 0, 1) na súradnicovej osi x (obr. 3. 29).

4. Vivianiho krivka (obr. 3.29)

Vivianiho krivka je priestorová čiara vytvorená pohybom bodu, ktorý vzniká zložením dvoch tried otáčaní okolo na seba kolmých osí 1o, 2o.

Syntetická reprezentácia:      (A, T00(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A = (0, a, 0, 1)

generujúci princíp -

zložená trieda otáčaní okolo súradnicových osí x a z




              Obr. 3. 29


, u ∈ < 0, 1 >

 modelovaný útvar

r(u) = A.T00(u) = (-asin 2πu cos 2πu, acos2 2πu, asin 2πu, 1)

u ∈ < 0, 1 >, a 0

Vivianiho krivka je prieniková čiara
rotačnej valcovej plochy s osou v osi rovnobežnej s osou otáčania 2o a polomerom rovnajúcim sa a/2
s guľovou plochou, ktorej stred je v priesečníku osí otáčaní O = 1o ∩2o a polomer sa rovná a.
V dvojnásobnom bode krivky je spoločný priesečník oboch plôch so súradnicovou osou y, obr. 3.30.


Obr. 3.30