Definícia: Čiara (oblúk čiary) je každá súvislá neprázdna podmnožina priestoru, k , ktorá je spojitým obrazom reálneho intervalu I R.
Analytickou reprezentáciou čiary je bodová funkcia

definovaná, spojitá a aspoň raz diferencovateľná na I.

Hodnotou bodovej funkcie pre a ∈ I je bod čiary určený štvoricou homogénnych súradníc

Číslo a ∈ I nazývame parametrická - krivočiara súradnica bodu čiary, ktorá vyjadruje jeho polohu na čiare (Obr. 3.1). Funkcie x(u), y(u), z(u), h(u) nazývame súradnicové funkcie.

Ak je I uzavretý interval, hovoríme o oblúku čiary. Pri počítačovom spracovaní je vhodné kvôli jednotnosti zápisu voliť parametrizáciu oblúka čiary na intervale I=<0,1>.
Bodovou funkciou je definovaná orientácia oblúka čiary k, začiatočný bod má krivočiaru súradnicu 0, koncový bod 1.
Pretože zobrazovať môžeme len vlastné body priestoru (vzhľadom na konečné rozmery nákresne), hodnota štvrtej súradnicovej funkcie h(a)
sa bude v základnom tvare analytických reprezentácií zobrazovaných oblúkov rovnať 1.

Bodová funkcia je indukovaná vektorovou funkciou r(u) = (x(u), y(u), z(u), 0) jednej premennej definovanou na I, ktorej hodografom je čiara k.
Hodnoty vektorovej funkcie sú polohové vektory bodov čiary, r(a) = (x(a), y(a), z(a), 0), a ∈ I.

Analytická reprezentácia čiary - bodová funkcia r(u) = (x(u), y(u), z(u), h(u)) pre u ∈ I je ekvivalentná s inými vyjadreniami čiary

Ak existujú reálne čísla a, b ∈ I, a b, pre ktoré platí r(a)= r(b),
bod oblúka čiary určený krivočiarou súradnicou "a" a bod určený krivočiarou súradnicou "b" sú totožné a P(a) = P(b) nazývame dvojnásobný bod čiary (Fig. 3.2).
Ak existuje n takýchto reálnych čísel z intervalu I, bod sa nazýva n-násobný.
Oblúk čiary sa nazýva uzavretý, ak P(0)=P(1).

Derivácia bodovej funkcie r´(u) = (x´(u), y´(u), z´(u), 0)

je funkcia (vektorová) vyjadrujúca pre a ∈ I smerový vektor dotyčnice oblúka čiary v bode P(a)

Jeho orientácia je zhodná s orientáciou oblúka čiary v bode P(a). Bod čiary, v ktorom sa mení orientácia vektora dotyčnice, sa nazýva bod vratu (kuspidálny bod).

Priamka, určená bodom P(a) a smerovým vektorom r´(a) sa nazýva dotyčnica.

Ak r´(a) = 0, bod P(a) je singulárny.

Vlastnosti čiary vyjadrené v jej regulárnych bodoch pomocou derivácií bodovej funkcie, veľkostí vektorov r´(a), r´´(a), prípadne r´´´(a),
nazývame vnútorné (geometrické) vlastnosti. Pri ich výpočtoch budeme používať karteziánske súradnice vektorov.

Nech P(a) pre a ∈ I je regulárny bod oblúka čiary s analytickou reprezentáciou r(u) na intervale I.

Jednotkový vektor dotyčnice t(a) v regulárnom bode P(a) oblúka čiary vyjadríme vzťahom

Jednotkový vektor binormály b(a) je vektor, ktorý získame ako vektorový súčin vektorov prvej a druhej derivácie funkcie r(u) v gulárnom bode P(a) oblúka čiary

Priamka určená bodom P(a) a smerovým vektorom b(a) sa nazýva binormála.

Jednotkový vektor (hlavnej) normály n(a) v regulárnom bode P(a) ooblúka čiary je vektorový súčin jednotkových vektorov binormály a dotyčnice

n(a) = b(a) x t(a)

Priamka určená bodom P(a) a smerovým vektorom n(a) sa nazýva hlavná normála.

V každom regulárnom bode oblúka čiary P(a) existujú tri na seba kolmé jednotkové vektory

t(a) ⊥ b(a) ⊥ n(a) ⊥ t(a)

určujúce tri kolmé priamky, t ⊥ b ⊥ n ⊥ t , so spoločným bodom P(a). Každé dve z nich určujú rovinu.
Všetky roviny prechádzajúce dotyčnicou t sú dotykové roviny oblúka čiary v bode P(a).
Oskulačná rovina ω je určená dotyčnicou a normálou, ω = tn.
Rektifikačná rovina ρ je určená dotyčnicou a binormálou, ρ = tb.
Normála a binormála určujú normálovú rovinu ν = nb.
Roviny ω, ρ a ν sú na seba kolmé, majú spoločný bod P(a) a každé dve sa pretínajú v spoločnej priamke.

Frenet-Serretov sprievodný trojhran čiary v regulárnom bode P(a) je geometrický útvar (obr. 3.3)
jednoznačne určený ako prienik troch polpriestorov s hraničnými rovinami ω, ρ a ν a smerovými vektormi b, n, t (v danom poradí).
Hrany sú polpriamky so spoločným začiatkom vo vrchole trojhranu P(a).
Oblúk čiary v okolí bodu P(a) leží vnútri F-S trojhranu, pomocou jeho prvkov vyjadrujeme vnútorné vlastnosti čiary v okolí regulárneho bodu P(a).

Odchýlku oblúka čiary od dotyčnice v danom bode P(a) vyjadruje prvá krivosť čiary - flexia.
Je to nezáporné číslo ¹k vyjadrené vzťahom

V inflexnom bode čiary je ¹k = 0. Ak je ¹k = 0 v každom regulárnom bode oblúka čiary, ide o úsečku.
Priamka je čiara nulovej prvej krivosti.
Kružnica je čiara konštantnej prvej krivosti .

Polomer prvej krivosti v danom bode P(a) je číslo ¹ρ = 1/¹k, pre ¹k 0.
Pre ¹k = 0 hovoríme o nekonečne veľkom polomere krivosti.

V oskulačnej rovine ω čiary k v bode P(a) leží oskulačná kružnica h čiary v danom regulárnom bode.
Jej stred ¹S (stred prvej krivosti) je bod normály ležiaci na polpriamke určenej bodom P(a) a vektorom n(a)
vo vzdialenosti I ¹SP(a)I = ¹ρ od bodu P(a), teda jej polomer sa rovná polomeru prvej krivosti v danom bode.
Oskulačná kružnica oskuluje (nahrádza) v okolí bodu P(a) oblúk čiary (obr. 3.3).

Odchýlku čiary od oskulačnej roviny v danom neinflexnom bode vyjadruje P(a) druhá krivosť čiary - torzia ²k.
Je to číslo vyjadrené vzťahom

V inflexnom bode čiary je ²k = 0.
Ak je ²k = 0 v každom bode čiary, leží celá čiara v jednej oskulačnej rovine, je rovinnou čiarou.
Priamka je čiara nulovej flexie aj torzie.
Kružnica je čiara konštantnej prvej (nenulovej) aj druhej (nulovej) krivosti.
Skrutkovica je čiara konštantných nenulových krivostí.

Rektifikácia oblúka čiary je rozvinutie čiary v okolí daného bodu P(a) do rektifikačnej roviny čiary v tomto bode.
Konštrukcia, ktorou zistíme dĺžku oblúka čiary, sa tiež nazýva rektifikácia. Výpočtom možno dĺžku oblúka čiary určiť zo vzťahu

Stupeň rovinnej čiary je číslo udávajúce najväčší možný počet jej priesečníkov s priamkou.
Priamka je čiara prvého stupňa, kužeľosečky sú čiary druhého stupňa - kvadratické.
Oblúk čiary, ktorý sa s priamkou pretína najviac trikrát, je tretieho stupňa - kubický, atď.

1. (vlastný bod, trieda geometrických transformácií)

Bod je analyticky reprezentovaný štvoricou svojich homogénnych súradníc A = (x_A, y_A, z_A, 1).

Trieda geometrických transformácií je reprezentovaná štvorcovou maticou funkciou T_4x4(u), ktorá je definovaná na intervale <0,1>,
a ktorej prvky sú reálne funkcie premennej u spĺňajúce dané predpoklady (pozri Prednáška 1.).

Analytická reprezentácia modelovaného oblúka čiary je bodová funkcia definovaná na I = <0,1> a majúca požadované vlastnosti (pozri definíciu).

r(u) = (x_A, y_A, z_A, 1). T_4x4(u)

2. (oblúk čiary, geometrická transformácia)

Z daného oblúka čiary možno získať iný oblúk, pomocou geometrickej transformácie.
Oblúk čiary je analyticky reprezentovaný bodovou funkciou r(u) definovanou na I (s danými vlastnosťami).

Analytická reprezentácia geometrickej transformácie je regulárna štvorcová matica T_4x4, ktorej prvky sú reálne čísla (pozri Prednáška 1.).

Analytická reprezentácia modelovaného oblúka je bodová funkcia požadovaných vlastností na I

p(u) = r(u).T_4x4

3. (usporiadaná postupnosť bodov, aproximácia)

Analytická reprezentácia usporiadanej postupnosti n bodov je mapa M modelovaného oblúka čiary, matica typu 1 x n,
ktorej prvky sú usporiadané štvorice homogénnych súradníc daných bodov (vlastných alebo nevlastných), P_i= (x_i, y_i, z_i, h_i) v danom poradí

M = (P₀ , P_{1, …,} P_n-1 ) = ( (x₀, y₀, z₀, 1), (x₁, y₁, z₁, 0), …, (x_n-1, y_n-1, z_n-1, 1))

Aproximácia (interpolácia) je analyticky reprezentovaná maticou I(u), typu 1 x n, ktorej prvky sú vhodné polynomické funkcie Pl_i(u) stupňa n-1.
Oblúk čiary, ktorý získame z riadiaceho útvaru je analyticky reprezentovaný bodovou funkciou daných vlastností na I = < 0,1 >