Usporiadaná dvojica (U,G),

v ktorej U je množina útvarov - neprázdne podmnožiny rozšíreného euklidovského priestoru

a G je množina generujúcich princípov aplikovateľných na prvky množiny U,

sa nazýva kreatívny priestor K.

Geometrické útvary z množiny U sú súvislé podmnožiny priestoru :

 0 - rozmerný (0-parametrický) útvar - bod, ktorý je analyticky reprezentovaný štvoricou svojich homogénnych súradníc, A=(xa, ya, za, 1) - vlastný bod, resp. P=(xp, yp, zp, 0) - nevlastný bod

1 - rozmerný (1-parametrický) útvar - čiara, príp. oblúk čiary, ktorý je analyticky reprezentovaný bodovou funkciou jednej reálnej premennej

r(u)=(x(u), y(u), z(u), h(u)), pre u ∈<0, 1>= WR

(úsečka, otvorená alebo uzavretá lomená čiara, oblúk krivky, polpriamka, priamka, kužeľosečka, skrutkovica, interpolačná krivka, a pod.)

2 - rozmerný (2-parametrický) útvar - plocha, príp. časť, záplata (list) plochy, ktorý je analyticky reprezentovaný bodovou funkciou dvoch reálnych premenných

r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v), h(u, v)), pre (u, v)∈<0, 1> x <0, 1>=W² R²

(rovinný útvar, napr. trojuholník, štvoruholník, kruh, kužeľosečka s vnútornými bodmi, mnohosteny, jednoduché plochy a ich časti - guľová, valcová, hranolová, ihlanová,
kužeľová,
anuloid, kvadratické plochy, skrutková plocha, interpolačná plocha, a pod.)

3 - rozmerný (3-parametrický) útvar - masív, príp. bunka masívu, ktorý je analyticky reprezentovaný bodovou funkciou troch reálnych premenných

r(u, v, w)=(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w), h(u, v, w)), pre (u, v, w)∈<0, 1>x<0, 1>x<0, 1>=W³ R³

(elementárne telesá, napr. kocka, hranol, kužeľ, valec, ihlan, polguľa, guľa, paraboloid s vnútornými bodmi, dvojdielny hyperboloid s vnútornými bodmi, a pod.)

4 - parametrický útvar - animácia, príp. sekvencia animácie, ktorý je analyticky reprezentovaný bodovou funkciou štyroch reálnych premenných

r(u, v, w, t)=(x(u, v, w, t), y(u, v, w, t), z(u, v, w, t), h(u, v, w, t)),

pre (u, v, w, t)∈<0, 1>x<0, 1>x <0, 1>x<0, 1>= W⁴ R⁴

(pohyb útvaru v priestore a čase, príp. teleso, ktorého body sú určené okrem svojej polohy ďalším atribútom, napr. teplotou, a pod.).

Nesúvislé (diskrétne) podmnožiny sú usporiadané množiny:

            postupnosť                                              sieť                                              mriežka bodov

 

      postupnosť                                       sieť                                 mriežka oblúkov čiar

            postupnosť                                             mriežka záplat plôch

usporiadaná postupnosť buniek masívov, a pod.

Diskrétne usporiadané množiny geometrických útvarov sú analyticky reprezentované mapami - maticami M,
ktorých prvky sú analytické reprezentácie jednotlivých geometrických útvarov v danom poradí.
Z útvarov budeme modelovať nové útvary, prvky množiny U, pomocou generujúcich princípov.

Generujúce princípy z množiny G sú:

Geometrické transformácie

Aplikovaním geometrickej transformácie na útvar vytvoríme útvar takého istého rozmeru ako mal pôvodný, t.j. bod sa zobrazí do bodu, čiara do čiary, atď.
V závislosti od typu geometrickej transformácie sa môže zachovať veľkosť útvaru a zmeniť len jeho poloha v priestore (euklidovské transformácie),
alebo sa zmení poloha aj tvar (afinné, príp. projektívne transformácie).
Napríklad z kružnice sme pomocou osovej afinity získali elipsu,
pomocou stredovej kolineácie dokonca ktorúkoľvek z kužeľosečiek.
Podobne z guľovej plochy možno aplikovaním afinnej transformácie vytvoriť elipsoid
a ak ju podrobíme projektívnej transformácii, niektorú z kvadratických plôch - elipsoid, paraboloid, hyperboloid.
Geometrické transformácie sú analyticky reprezentované regulárnymi štvorcovými maticami s reálnymi prvkami rádu 4.

Prvky matice reprezentujú koeficienty geometrických transformácií.

q, r, t sú koeficienty projektívnych transformácií, pre afinné transformácie platí q=t=r=0

(m, n, p) sú karteziánske súradnice vektora posunutia

a, e, i 0 sú koeficienty mierky na súradnicových osiach x, y, z

s 0 je prevrátená hodnota koeficienta rovnoľahlosti so stredom v začiatku súradnicovej sústavy.

Triedy geometrických transformácií

Nekonečná množina geometrických transformácií toho istého typu sa nazýva triedou.
Aplikovaním triedy geometrických transformácií na geometrický útvar získame nový geometrický útvar, s rozmerom o 1 väčším ako bol rozmer pôvodného útvaru.
Napríklad z bodu A (0-rozmerný útvar) získame pomocou triedy otáčaní okolo osi o s uhlami otočenia z intervalu <0,2π> kružnicu (1-rozmerný útvar, obr. 1.25),
kým otáčanim úsečky AS^A (1-rozmerný útvar) vznikne celý kruh (2-rozmerný útvar).

Obr. 1.26

Skrutkovým pohybom úsečky AB okolo osi z určeným uhlom otočenia z intervalu <0,2π> pre posunutia dané vektormi z intervalu <0,a>, a=(0, 0, y, 0)
vytvoríme časť skrutkovej plochy ohraničenú oblúkmi čiar - úsečky AB, A^SB^S a závity skrutkovíc AA^S , BB^S (obr 1.26).
Podobne môžeme z čiary - kružnice k, vytvoriť napr. časť kužeľovej plochy,
ak za generujúci princíp zvolíme triedu rovnoľahlostí so stredom v ľubovoľnom vlastnom bode priestoru V a s koeficientom z intervalu <0,1> (obr. 1.27).
Aplikovaním jednotlivých rovnoľahlostí z danej triedy pre hodnoty koeficienta z daného intervalu získame súvislú množinu postupne sa zmenšujúcich
kružníc umie

                                            Obr. 1.27                                                        Obr. 1.28

Triedy geometrických transformácií sú analyticky reprezentované štvorcovými regulárnymi maticami - funkciami T(u), ktorých prvky sú reálne funkcie jednej premennej,
všetky definované, spojité a aspoň raz diferencovateľné na intervale I. Pre jednotnosť zápisu pri počítačovom spracovaní volíme I=<0,1>.

, je matica sústavy rovníc

Pre triedy afinných transformácií je q(u) = r(u) = t(u) = 0 pre každé u∈<0, 1>,
pre triedy metrických transformácií je IT(u)I² = 1 pre každé u∈<0,1>.

Z diskrétnych podmnožín priestoru môžeme metódami používanými v počítačovej grafike vytvárať geometrické útvary priestoru,
ktoré nazývame podľa aplikovaných generujúcich princípov interpolačné, príp. aproximačné útvary.
Aproximácia je generujúci princíp, pomocou ktorého získame z diskrétnych útvarov útvary súvislé - geometrické.
Zjednodušene povedané, vyplníme spojito priestor medzi danými diskrétnymi útvarmi podľa vopred stanovených kritérií,
ktorými môžu byť požadované geometrické a fyzikálne vlastnosti modelovaného útvaru.
Ak má modelovaný útvar obsahovať všetky prvky pôvodnej diskrétnej množiny - riadiaceho útvaru, hovoríme o interpolácii.
Ak táto podmienka nemusí byť splnená a riadiaci útvar je len akousi hranicou vymedzujúcou časť priestoru, v ktorom sa má modelovaný útvar nachádzať, hovoríme o aproximácii.
Analytickou reprezentáciou aproximácie (interpolácie) je matica I(u) typu 1xn,
ktorej prvky sú polynomické funkcie stupňa n-1 spĺňajúce určité predpoklady.

Modelovaný útvar je jednoznačne určený svojim výtvarným zákonom, syntetickou konštrukciou, ktorou ho možno vytvoriť z daného útvaru U aplikovaním vhodného generujúceho princípu g.

Kreatívna - výtvarná reprezentácia modelovaného útvaru V je každá usporiadaná dvojica (U, g),
v ktorej U ∈ U je riadiaci útvar
a g ∈ G je generujúci princíp taký,
že aplikovaním generujúceho princípu g na riadiaci útvar U
získame modelovaný útvar V.

Analytickú reprezentáciu modelovaného útvaru získame ako súčin analytických reprezentácií riadiaceho útvaru a generujúceho princípu z jeho syntetickej reprezentácie.
Modelované priestorové útvary zobrazujeme ručne alebo pomocou kresliaceho zariadenia na nákresňu (papier, obrazovka počítača) premietnutím v niektorej z premietacích metód.

Scéna je trojica (MU, PM, AV), ktorej prvky sú: