Euklidovský priestor E3

 

Základnými geometrickými útvarmi priestoru sú body, priamky a roviny. Pomocou nich vytvárame zložitejšie geometrické útvary - čiary, plochy a telesá. Incidencia bodu a priamky, incidencia bodu a roviny, relácia "ležať medzi", zhodnosť úsečiek a zhodnosť uhlov sú základnými vzťahmi medzi základnými geometrickými útvarmi, ktoré opisuje sústava axióm vymedzujúca pojem geometrie. Euklidovský priestor vymedzuje Hilbertova axiomatická sústava. Obsahuje dvadsaťjeden axióm rozdelených do piatich skupín.

 

I. Axiómy incidencie

Opisujú relácie vzájomnej polohy bodov, priamok a rovín.

I1: Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.

I2: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.

I3: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych (neležiacich na jednej priamke) bodov.

I4: Každé tri nekolineárne body obsahuje jediná rovina.

I5: Každá rovina obsahuje aspoň jeden bod.

I6: Ak dva rôzne body priamky ležia v rovine, tak v nej ležia všetky body tejto priamky.

I7: Existuje štvorica bodov neležiacich v jednej rovine.

I8: Ak dve rôzne roviny majú spoločný jeden bod, majú spoločnú priamku, ktorá týmto bodom prechádza.

 

II. Axiómy usporiadania

Vymedzujú základný vzťah "ležať medzi", ktorý označíme znakom d. Skutočnosť, že bod C leží medzi bodmi A a B, budeme zapisovať symbolicky d(ACB).

II1: Ak platí d(ACB), potom A, B, C sú navzájom rôzne body jednej priamky a platí aj d(BCA).

II2: Ku každej dvojici rôznych bodov A, B existuje na priamke AB aspoň jeden taký bod C, že platí d(ACB).

II3: Z troch rôznych bodov A, B, C jednej priamky najviac jeden leží medzi zvyšnými dvoma, platí práve jeden zo vzťahov d (ABC) , d (ACB) , d (BAC).

II4: (Paschova axióma) Ak priamka p leží v rovine trojuholníka ABC, neprechádza ani jedným z jeho vrcholov a pretína jednu jeho stranu vo vnútornom bode, tak má spoločný bod ešte aspoň s jednou zo zvyšných dvoch strán trojuholníka (pretne ju vo vnútornom bode).

 

III. Axiómy zhodnosti

Opisujú zhodnosť úsečiek a uhlov, pomocou ktorej sa zavádza pojem zhodnosti aj pre ďalšie geometrické útvary.
Ku každej dvojici úsečiek U1, U2 je priradený práve jeden z výrokov U1 U2 , U1 U2.

Ku každej dvojici uhlov pq, rs je priradený práve jeden z výrokov pq rs, pq rs.

III1: Ak je U úsečka a polpriamka, ktorá má začiatok v bode O, potom na existuje taký bod A, že UOA.

III2: Pre každú úsečku AB platí ABBA.

Ak U1 U2, potom U2 U1. Ak U1 U a U2 U, potom U1 U2 .

III3: Ak platí d(ABC), d(A'B' C') a AB A'B', BC B'C', potom AC A'C'.

III4: Ak je daný pq a polrovina ( hA ) s hranicou h, na ktorej je zvolená polpriamka so začiatkom O, potom existuje práve jedna polpriamka so začiatkom v bode O a ležiaca v polrovine ( hA ) taká, že pq hk.

III5: Pre každý uhol platí pq qp .
Ak platí pq rs , potom platí rs pq .
Ak pq rs a rs tv , potom pq tv .

III6: Nech sú dané dva trojuholníky DABC, DA'B'C' a nech platí: ABA'B', AC A'C', BAC B'A'C'. Potom DABC DA'B'C'.

 

IV. Axiómy spojitosti

Umožňujú meranie úsečiek, ktoré musí vyhovovať určitým prirodzeným požiadavkám. Dĺžka úsečky musí byť nezávislá od miesta, na ktorom sa meranie uskutočňuje a žiadna nesmie byť nulová alebo záporná. Úsečka sa musí dať odmerať po častiach, pričom jej dĺžka sa rovná súčtu dĺžiek čiastkových úsečiek. Musí existovať aspoň jedna úsečka jednotkovej dĺžky. Archimedova axióma je výsledkom veľkého množstva skúseností z rôznych meraní a zaručuje merateľnosť úsečiek. Každej úsečke možno priradiť reálne číslo, ktoré je jej dĺžkou. Nezaručuje však, že každé reálne číslo je dĺžkou aspoň jednej úsečky. Túto skutočnosť zaručuje Cantorova axióma.

IV1: (Archimedov výrok)
Nech sú na priamke dané body A, A1 a B také, že d( A A1 B ).
Ak na priamke definujeme postupnosť bodov A1, A2, ... , Ak-1, Ak, Ak+1, ... s podmienkami:
1. d( Ak-1 Ak Ak +1)
2. Ak Ak+1 AA1
ktoré platia pre každé prirodzené číslo k, potom existuje prirodzené číslo n také, že neplatí d( A An B ).

Archimedova axióma zaručuje existenciu miery úsečiek m(U) - funkcie definovanej na množine všetkých úsečiek so špecifickými vlastnosťami (kladná, aditívna, monotónna), ktorej obor hodnôt je množina nezáporných reálnych čísel. Každá úsečka, pre ktorú platí m(J)=1, sa nazýva jednotková úsečka (alebo jednotka) miery úsečiek m(U).

IV2: (Cantorov výrok)
Nech je na priamke p daná postupnosť do seba zapadajúcich úsečiek (AkBk AiBi, i<k ) taká, že pre ľubovoľnú úsečku CD existuje v tejto postupnosti úsečka AkBk, ktorá je jej časťou, AkBk CD. Potom na priamke p existuje bod M , pre ktorý platí, že je bodom každej úsečky z danej postupnosti.

Ak m je ľubovoľná miera úsečiek a a je ľubovoľné kladné reálne číslo, Cantorova axióma zaručuje existenciu úsečky U, pre ktorú platí m(U) = a.

Pojem dĺžka úsečky AB ( vzdialenosť bodov A, B ) možno definovať po určení jednotky danej miery úsečiek m(U) ako hodnotu tejto funkcie, platí | AB | = m(AB). Vzdialenosť dvoch útvarov je najmenšia zo vzdialeností všetkých dvojíc bodov, z ktorých jeden patrí jednému a druhý druhému útvaru. Podobným spôsobom možno definovať aj veľkosť uhla.

Prvé štyri skupiny axióm tvoria absolútnu geometriu. Doplnením piatej skupiny možno vybudovať euklidovskú alebo neeuklidovskú geometriu, podľa formy jej jedinej axiómy.

 

V. Axióma rovnobežnosti

VE: (Euklidova axióma)
Bodom neležiacim na danej priamke prechádza práve jedna priamka rovnobežná s danou priamkou.

VL: (Lobačevského axióma)
Bodom neležiacim na danej priamke prechádzajú aspoň dve priamky rovnobežné s danou priamkou.

Každá rovina euklidovského priestoru je euklidovskou rovinou, ktorej axiomatická sústava je po vypustení axióm I4 až I8 zhodná s uvedenou axiomatikou. Zo sústavy axióm, ktoré sa nedajú dokázať pomocou jednoduchších tvrdení, možno vybudovať sústavu tvrdení a viet popisujúcich vlastnosti útvarov priestoru, geometriu priestoru. Mnohé z nich sú predmetom stredoškolského štúdia.

V euklidovskom priestore je daná karteziánska súradnicová sústava Oxyz(obr. 1.1).
Súradnicové osi x, y, z sú navzájom kolmé priamky (číselné osi s danými jednotkovými úsečkami) s jediným spoločným bodom, začiatkom súradnicovej sústavy O.
Rovina osí x, y je súradnicová rovina p, rovina osí y, z súradnicová rovina n a rovina osí x, z je súradnicová rovina m.
Roviny p, n, m sú navzájom kolmé roviny s jediným spoločným bodom O.
Každému bodu priestoru A Î E3
je jednoznačne priradená usporiadaná trojica reálnych čísel, ktoré vyjadrujú jeho vzdialenosti od súradnicových rovín m, n, p v danom poradí.
Nazývame ich (karteziánske) súradnice bodu, A = [ xA, yA,, zA ].
Naopak, pre každú usporiadanú trojicu reálnych čísel [ xB, yB, zB ] existuje jediný bod euklidovského priestoru taký, že jeho vzdialenosti od súradnicových rovín m, n, p sa postupne rovnajú číslam xB, yB, zB.
Euklidovský priestor je afinný priestor so špeciálnymi vlastnosťami.
Axiómami spojitosti je zaručená možnosť merať úsečky, je definovaná euklidovská metrika.
Euklidovský priestor sa preto nazýva aj metrický. Jednotkou dĺžky je 1cm, uhly meriame v stupňoch, prípadne v radiánoch.

Množina všetkých zhodných, rovnobežných a zhodne orientovaných (ekvipolentných) úsečiek v E3 je vektor

a = AB = CD = EF = …, AB CD EF …, AB ­ ­ CD ­­ EF ­­

Každá z ekvipolentných úsečiek je jedným umiestnením - reprezentantom vektora B - A = AB = a .
Základným umiestnením vektora je úsečka , ktorej začiatočným bodom je začiatok súradnicovej sústavy.
Vektor nazývame polohovým vektorom bodu P.

Súčet (rozdiel) dvoch vektorov je vektor, a ± b = c.

Vektor je jednoznačne určený trojicou reálnych čísel, karteziánskymi súradnicami, ktoré získame z karteziánskych súradníc krajných bodov jeho ľubovoľného reprezentanta. Sú to karteziánske súradnice koncového bodu P jeho základného umiestnenia.

a = AB = B - A = [ xB, yB, zB] - [xA, yA, zA ] = [ xB - xA, yB - yA, zB - zA] = [a1, a2, a3 ] = OP

Ľubovoľná usporiadaná trojica reálnych čísel určuje jediný vektor v E3. 0 = [ 0, 0, 0 ] je nulový vektor.
Vektory, pre ktoré platí a = kb, k 0 ( a = kb + lc, k, l 0 ), nazývame lineárne závislé - kolineárne (komplanárne).

 

Rozšírený euklidovský priestor E3

 

Doplňme každú priamku priestoru E3 (obr. 1.2) jediným nevlastným bodom A, ktorý je spoločným bodom všetkých priamok osnovy obsahujúcej danú priamku a || b || c || ... .
Každá rovina a = ap priestoru E3 sa takto doplní množinou nevlastných bodov všetkých svojich priamok
B Î p
, A Î a, priamkou l = AB,
a stane sa tak rozšírenou euklidovskou rovinou E2.
Všetky roviny tej istej osnovy v E3 sa doplnia tou istou priamkou.
Množina všetkých bodov pridaných k priestoru E3 bude nevlastná rovina l, a priestor, ktorý získame, nazývame rozšírený euklidovský priestor E3.
Každá priamka nevlastnej roviny l je nevlastná priamka l a každý bod je nevlastný bod A, B.
Ostatné body, priamky a roviny priestoru E3 sa nazývajú vlastné - P, c, a.
Rozšírený euklidovský priestor E3 je modelom projektívneho priestoru.

Každé dve rôzne roviny v E3 sú rôznobežné a ich spoločná priamka (priesečnica) je vlastná alebo nevlastná priamka priestoru.
Každé dve rôzne priamky v E3 sú rôznobežné alebo mimobežné, ich prienikom je množina obsahujúca jediný spoločný bod - vlastný alebo nevlastný (priesečník), alebo je prázdna.

Pridané nevlastné útvary priamky a roviny priestor E3 "uzavrú", čím stráca zmysel pojem usporiadania pôvodného euklidovského priestoru (axiómy II. skupiny). Metriku euklidovského priestoru tiež nemožno uplatniť na pridané nevlastné prvky E3. Množina všetkých vlastných bodov E3 si zachováva svoju afinnú štruktúru, metrické vlastnosti platné v E3.
Túto skutočnosť využijeme a s množinou vlastných bodov priestoru E3 budeme pracovať ako s podmnožinou invariantnou vzhľadom na metrické transformácie priestoru. Všetky známe vzťahy a operácie definované pre útvary priestoru E3 budú platiť aj pre vlastné útvary priestoru E3, pričom pri výpočtoch budeme používať karteziánske súradnice bodov útvarov.

Homogénna sústava súradníc v projektívnom priestore E3 je rozšírením karteziánskej súradnicovej sústavy v euklidovskom priestore E3 (obr. 1.3).

Homogénnymi súradnicami bodu A = [xa, ya, za] euklidovského priestoru E3 sa nazýva každá usporiadaná štvorica reálnych čísel ( a1, a2, a3, a4 ), a4 0, pre ktorú platí:

Každý vlastný bod priestoru E3 má nenulovú súradnicu a4.
Základný tvar homogénnych súradníc vlastného bodu A je usporiadaná štvorica

( xa, ya, za, 1).

Pojem nevlastný bod priamky budeme často nahrádzať pojmom smer, rovnobežné priamky majú spoločný smer - incidujú s tým istým nevlastným bodom. Je preto žiadúce, aby bol nevlastný bod reprezentovaný ľubovoľným smerovým vektorom ktorejkoľvek z priamok, s ktorými inciduje. Pojem vektor, známy z euklidovského priestoru, budeme používať
aj v priestore E3. Jeho definícia ako množina všetkých ekvipolentných úsečiek nám umožní určiť jeho homogénne súradnice.

Ktorýkoľvek reprezentant vektora a je orientovaná úsečka určená krajnými bodmi, a = BC, ktoré sú vlastnými bodmi priestoru. Homogénne súradnice vektora a získame ako rozdiel homogénnych súradníc krajných bodov zvolenej úsečky v základnom tvare. Homogénne súradnice vektora reprezentujúceho nevlastný bod U budú homogénnymi súradnicami tohto bodu. Všetky kolineárne vektory reprezentujú ten istý nevlastný bod.

a = C - B = ( xc, yc, zc, 1 ) - ( xb, yb, zb, 1 ) = ( xc - xb, yc - yb, zc - zb, 1 ) = ( xu, yu, zu, 0 )

Homogénnymi súradnicami nevlastného bodu z E3 je každá usporiadaná štvorica reálnych čísel
( xu, yu, zu, 0 ) = k( a1, a2, a3, 0 ), kde čísla a1, a2, a3 sú karteziánske súradnice jeho zvoleného reprezentanta.