Priemet priamky, vzájomná poloha priamky a bodu

Priemetom priamky je množina priemetov všetkých jej bodov. Ak bod leží na priamke, jeho priemety ležia na príslušných priemetoch priamky.

A ∈a, potom A₁ ∈ a₁ a A₂ ∈a₂ a A₃ ∈ a₃

Priesečníky s priemetňami π, ν, μ sú stopníky priamky P, N, M (obr. 2.1).

Priamka rovnobežná s priemetňou má nevlastný stopník:

p || p pôdorysný P (obr. 2.2)

n || n nárysný N (obr. 2.3)

m || m bokorysný M (obr. 2.4)

Priamka p je kolmá na súradnicovú os z , priamka n na os y a priamka m na os x .

Priamka kolmá na priemetňu sa do tejto priemetne premieta ako bod (obr. 2.5).

a π, a || z, a ∩ π = P

b ν, b || y, b ∩ ν = N

c μ, c || x, c ∩ μ = m

Vzájomná poloha dvoch priamok

Rovnobežné priamky, ktoré nepatria smeru premietania, sa premietajú vo všetkých rovnobežných priemetoch ako rovnobežky.

Priesečník R dvoch rôznobežných priamok a x b má priemety v priesečníkoch priemetov priamok a , b (obr. 2.7).

Mimobežky nemajú žiadny spoločný bod. Priesečníky priemetov dvoch mimobežných priamok sú priemety dvoch rôznych bodov.

a_a ∩ b_a = E_a = F_a, E₁ a₁, F₁ b₁

a₁ ∩ b₁ = A₁ = B₁, A₂ a₂, B₂ b₂

a₂ ∩ b₂ = C₂ = D₂, C₁ a₁, D₁ b₁

Pomocou týchto priesečníkov určujeme viditeľnosť. Z pôdorysov bodov A, B je viditeľný bod A₁ (bod A má väčšiu súradnicu z ako bod B)
a z nárysov bodov C, D je viditeľný bod C₂ (bod C má väčšiu súradnicu y ako bod D) (obr. 2.8).

Priemet roviny

Rovinu najčastejšie určujeme priemetmi jej stôp - priesečníc s priemetňami.
Priesečníky roviny so súradnicovými osami sú priesečníkmi stôp roviny α v priemetňach, ktoré dané osi obsahujú (obr. 2.9).

α ∩ π = p^α             α ∩ ν = n^α             α ∩ μ = m^α

a ∩ x = p^α ∩ n^α = X             α ∩ y = p ^α ∩ m^α = Y             α ∩ z = n^α ∩ m^α = Z

Rovina kolmá na priemetňu sa do tejto priemetne premieta ako priamka.

λ ⊥ π, λ || z (obr. 2.10)             κ ⊥ ν, κ || y(obr. 2.11)             σ ⊥ μ, σ || x (obr. 2.12)

Rovina rovnobežná s jednou priemetňou je kolmá na zvyšné dve priemetne a ich priesečnicu.

π' || π, π' ⊥ ν, π' ⊥ μ, π' ⊥ z   (obr. 2.13)

π' ∩ π = p^α , pôdorys je v Mongeovej projekcii zobrazený v skutočnom tvare

ν' || ν, ν' ⊥ π, ν' ⊥ μ, ν' ⊥ y    (obr. 2.14)

ν' ∩ ν = n^α , nárys je v Mongeovej projekcii zobrazený v skutočnom tvare

μ' || μ, μ' ⊥ π, μ' ⊥ ν, μ' ⊥ x    (obr. 2.15)

μ' ∩ μ = m^α , bokorys je v Mongeovej projekcii zobrazený v skutočnom tvare

Rovina je jednoznačne určená aj priemetmi svojich troch bodov (obr. 2.16),
alebo dvojice priamok α = ab (a || b, príp. a x b ) (obr. 2.17).
Stopníky priamok a, b roviny α určia stopu roviny p^α = P^aP^b, n^α = N^aN^b, m^α = M^aM^b.

Bod a priamka roviny

Bod leží v rovine, ak leží na priamke roviny. Priamka leží v rovine, ak jej stopníky ležia na stopách roviny (obr. 2.18).

Priamka a roviny a pretína všetky priamky tejto roviny v bodoch vlastných, alebo nevlastných (obr. 2.19).

Hlavné priamky roviny tvoria tri osnovy priamok:

p || π,   p^α ⊂ π               I. osnova (obr. 2.20)

n || ν,   n^α ⊂ ν               II. osnova (obr. 2.21)

m || μ,   m^α ⊂ μ               III. osnova (obr. 2.22).

Spádové priamky roviny tvoria tri osnovy priamok:

¹s ⊥ p^α (a hlavné priamky p)               I. osnova (obr. 2.23)

²s ⊥ n^α (a hlavné priamky n)               II. osnova (obr. 2.24)

³s ⊥ m^α (a hlavné priamky m)               III. osnova (obr. 2.25).

V Mongeovej projekcii sa ¹s₁ zobrazuje ako kolmica na p₁^α (priemet pravého uhla s jedným ramenom p^α v π, druhé rameno ¹s nie je kolmé na π).
Nárys ¹s₂ nájdeme pomocou stopníkov na stopách roviny (obr. 2.23).
Axonometrický priemet spádovej priamky I. osnovy roviny α určíme pomocou axonometrického pôdorysu ¹s₁ ⊥ p₁^α.
Smer priemetu kolmice na p^α nájdeme pomocou trojuholníka O1Y, v ktorom zostrojíme dve výšky:

1 ∈ v¹ ⊥ OY, v¹ || x                            Y ∈ v^Y ⊥ z.

Ortocentrum W = v¹ ∩ v^Y je bod tretej výšky, s = OW ⊥ 1Y = p^α.
Axonometrický pôdorys spádovej priamky I. osnovy má smer s, ¹s₁ || s, určením stopníkov priamky ¹s ∈ α na stopách roviny
nájdeme axonometrický nárys ¹s₂, príp. axonometrický priemet ¹s.

Obdobne nájdeme axonometrický nárys ²s₂ (bokorys ³s₃) spádovej priamky II. (III.) osnovy pomocou trojuholníka O2X (O3Z)
a stopníkmi určíme zvyšné priemety ²s₁, ²s (obr. 2.24), ³s₁, ³s₂, ³s (obr. 2.25).
V Mongeovej projekcii je nárys ²s₂ kolmý na n₂^α, združené priemety spádovej priamky III. osnovy zostrojíme pomocou tretieho priemetu,
bokorys je kolmý na tretí priemet bokorysnej stopy roviny α.

Vzájomná poloha dvoch rovín

Pre dve rovnobežné roviny platí, že každá priamka jednej z rovín α || β je rovnobežná s druhou rovinou.
Priamka p^α (n^α, m^α) nepretína rovinu β, nemá so žiadnou priamkou roviny spoločný vlastný bod.
Priamky p^α, p^β ležia v rovine π (n^α, n^β ⊂ ν a m^α, m^β ⊂ μ) a musia byť rovnobežné.
Stopy rovnobežných rovín α || β sú rovnobežné priamky - p^α || p^β, n^α || n^β, m^α || m^β (obr. 2.26).
Roviny majú spoločnú nevlastnú priamku obsahujúcu spoločné nevlastné body stôp.

Rôznobežné roviny majú spoločnú vlastnú priamku - priesečnicu r určenú stopníkmi, ktoré sú priesečníkmi stôp rovín.
Priemety p^α a p^b ležia v π a majú spoločný bod P^r - pôdorysný stopník priesečnice r, p^α ∩ p^β = P^r.
Obdobne n^α ∩ n^β = N^r, m^α ∩ m^β = M ^r. Priesečnica obsahuje všetky tri stopníky, r=P^rN^r, M^r ∈ r (obr. 2.27).

Vzájomná poloha priamky a roviny

Ak je priamka rovnobežná s rovinou, potom v rovine existuje priamka, ktorá je s danou priamkou rovnobežná.
Ak priamka rovinu pretína, v danej rovine existuje priamka s ňou rôznobežná a ich priesečník je spoločný bod danej priamky a roviny.
Nech jeden z priemetov danej priamky a splýva s priemetom priamky k ležiacej v rovine α, ktorú nazývame krycia priamka.
Ďalší priemet priamky k nájdeme pomocou jej priesečníkov s inými priamkami roviny α , stopami, alebo dvoma rovnobežnými, príp. rôznobežnými priamkami h, l.

α = p^α n^α : a₁ = k₁     a₂ ∩ k₂ = R₂ (a_a ∩ k_a = R_a)      R₁ ∈ a₁      a ∩ α = R     (obr. 2.28a,b)

Uvedenú metódu konštrukcie priesečníka priamky s rovinou nazývame metóda krycej priamky.

α = h || l: a₂ = k₂      a₁ ∩ k₁ = R₁      R₂ ∈ a₂      a ∩ α = R     (obr. 2.29)

Priamka a rovnobežná s rovinou α je rovnobežná s krycou priamkou k.

α = p^α n^α: a₂ = k₂      a₁ || k₁      a || α         
                  a₁ = k₁      a₂ || k₂      a || α     (obr. 2.30)

α = h x l : a_a = k_a     a₁ ∩ k₁ = R₁      R_a ∈ a_a          (obr. 2.31a)
                 a₁ = k₁     a₂ ∩ k₂ = R₂      R₁ ∈ a₁      a ∩ α = R      (obr. 2.31b)

Priečky mimobežiek

Priečka mimobežiek je každá priamka, ktorá pretína dve mimobežky. Takýchto priamok existuje nekonečne veľa.
Jednoznačnosť úlohy zostrojiť priečku mimobežiek zaručíme ďalšou podmienkou.

Priečka mimobežiek ležiaca v danej rovine a

Priečka r je určená priesečníkmi mimobežiek s rovinou a.

a / b, α ∩a = A, α ∩ b = B, r = AB - priečka z roviny α      (obr. 2.32)

Priečka mimobežiek prechádzajúca daným bodom R

Priečka r je určená, okrem bodu R, priesečníkom jednej z mimobežiek s rovinou prechádzajúcou bodom R a druhou mimobežkou.

a / b, Ra = α, α ∩ b = B, r = RB, r ∩ a = A      (obr. 2.33)

Priečka mimobežiek daného smeru s

Priečka r je určená okrem svojho smeru (ktorý nie je rovnobežný so žiadnou z mimobežiek) priesečníkom jednej z mimobežiek s rovinou rovnobežnou s daným smerom a prechádzajúcou druhou mimobežkou.

a / b, s: a ⊂ α || s, a ∩ b = B, B ∈ r || s, r ∩ a = A      (obr. 2.34)

Os mimobežiek

Priečka r kolmá na obe mimobežky sa nazýva os mimobežiek. Je kolmá na rovinu rovnobežnú s oboma mimobežkami.

a / b, α || a, α || b, k ⊥ α, r || k     (obr. 2.35)

α = ab', a ∩ b' = L, b' || b         rovina α rovnobežná s oboma mimobežkami a, b

α ∩ ρ = r^α, L ∈ k, k ⊥ α            kolmica k na rovinu α určená

k ⊥ r^α, k₁ || OW                         axonometrickým priemetom a axonometrickým pôdorysom

β = ak                                          rovina β rovnobežná so smerom k osi mimobežiek

b ∩ β = B, B ∈ r || k, r ∩ a = A            os mimobežiek r, | AB | je vzdialenosť mimobežiek

Úlohu možno v Mongeovej projekcii riešiť pomerne jednoducho voľbou nových - tretích a štvrtých priemetov,
pričom tretia priemetňa prechádza priamkou a kolmo na pôdorysňu, štvrtá priemetňa kolmá na pôdorysňu je kolmá na priamku a.
Štvrtý priemet úsečky AB je zobrazený neskreslene, určuje vzdialenosť mimobežiek.