Rekonštrukcia útvaru daného priemetmi (určenie jeho tvaru a veľkosti), alebo nájdenie priemetu útvaru určeného rozmermi a metrickými vlastnosťami svojich prvkov,
sa realizuje pomocou konštrukcií zahrnujúcich základné úlohy nazývané metrické.
Možno ich rozdeliť do dvoch hlavných skupín - úlohy o dĺžke úsečky a úlohy o veľkosti uhla.
Metrické vlastnosti sa vzťahujú len na vlastné prvky priestoru E³,
preto v prípadoch, keď nedôjde ku nedorozumeniu, budeme používať pojem euklidovskej geometrie "rovnobežnosť".
Priamky (roviny), ktoré majú spoločný nevlastný bod (spoločnú nevlastnú priamku), budeme nazývať rovnobežné priamky (roviny).

Dĺžka úsečky

Kolmým priemetom úsečky je úsečka, ktorej dĺžka je menšia alebo rovná dĺžke pôvodnej úsečky.
Na priamkach rovnobežných s priemetňou sa dĺžka úsečky pri kolmom (rovnobežnom) premietaní neskresľuje.
Dĺžku úsečky na priamkach vo všeobecnej polohe vzhľadom na priemetne možno určiť viacerými konštrukciami.

I. Skopenie premietacej roviny

Úsečka (ako časť priamky) sa premieta do priemetne v premietacej rovine kolmej na priemetňu (obr. 2.36), AB κ, κ ⊥ π, AB λ, λ ⊥ ν.
Otočenie premietacej roviny o uhol 90° do priemetne okolo priesešnice s priemetňou (stopa roviny) nazývame sklopenie roviny.
Premietacie priamky bodov A a B sa sklopia do priamok kolmých na priemet roviny a na nich ležia sklopené body (A) a (B) v takej vzdialenosti od stopy roviny,
akú majú od priemetne (súradnice z_A, z_B pri sklopení do pôdorysne π, y_A , y_B pri sklopení do nárysne ν).
Samodružná priamka pri sklopení - stopa roviny je časťou oboch rovín, sklápanej premietacej roviny aj priemetne, do ktorej sklápame.
Sklopené útvary budeme kresliť čiarkovane a označovať menom v zátvorke. Platí | AB | = | (A)(B) |.
Premietaciu rovinu možno sklopiť aj do ľubovoľnej roviny rovnobežnej s niektorou priemetňou (π' alebo ν').
Vzdialenosť sklopeného bodu na sklopenej premietacej priamke od jeho priemetu je rozdielom príslušných súradníc sklápaného bodu a roviny π' alebo ν', do ktorej sklápame.

II. Otočenie úsečky do polohy rovnobežnej s priemetňou

Dĺžku úsečky možno určiť aj otočením úsečky okolo osi kolmej na jednu priemetňu do polohy rovnobežnej s druhou priemetňou, v ktorej sa úsečka zobrazuje neskreslene (Obr. 2.37).
Os otáčania prechádza jedným koncovým bodom úsečky, ktorý je invariantný v danej transformácii.
Všetky ostatné body úsečky sa otáčajú po kružniciach (so stredmi na osi otáčania) v rovinách kolmých na os otáčania do roviny rovnobežnej s priemetňou.
Vytvoria časť rotačnej kužeľovej plochy, jej dve tvoriace úsečky, ⁰A⁰B a ⁰A⁰B', resp. ⁰A' ⁰B sa zobrazujú neskreslene

| AB | = | ⁰A₁ ⁰B₁ | = | ⁰A₁⁰B₁' |, príp. | AB | = | ⁰A₂ ⁰B₂ | = | ⁰A₂' ⁰B₂ |

III. Transformácia priemetne - bokorys

Iným riešením úlohy nájsť dĺžku úsečky je použitie novej tretej priemetne, rovnobežnej s danou úsečkou, do ktorej sa bude úsečka zobrazovať neskreslene.
Tretie priemetňa - bokorysňa (kolmá na ) pretína pôdorysňu v osi y_1,3, pričom tretie priemety budú združené s prvými priemetmi v smere kolmom na túto os (Obr. 2.38).
Vzdialenosť tretieho priemetu bodu od osi y_1,3 sa rovná vzdialenosti jeho nárysu od osi x_1,2 (vzdialenosť bodu od pôdorysne - súradnica z).
Podobne možno pridať štvrtú priemetňu (kolmú na ν), ktorá pretína nárysňu v osi z_2,4. Druhé a tretie priemety bodov budú združené v smere kolmom na túto os,
vzdialenosť štvrtého priemetu od osi z_2,4 sa rovná vzdialenosti prvého priemetu od osi x_1,2 (vzdialenosť bodu od nárysne - súradnica y).

| AB | = | A₃B₃ | = | A₄B₄ |.

Podobne možno riešiť aj úlohu zostrojiť priemety úsečky danej dĺžky, ktorá leží na danej priamke.

V kolmej axonometrii sa dĺžky úsečiek na súradnicových osiach x, y, z premietnutých do axonometrickej priemetne skresľujú, zobrazujú sa skrátené.
Súradnice bodov nemožno nanášať neskrátené priamo na priemety osí.
Sklopením premietacej roviny každej z osí do axonometrickej priemetne ρ určíme sklopené osi (x), (y), (z), na ktorých sú súradnice neskreslené.
Trojuholník ZPO (obr. 2.39) leží v premietacej rovine κ osi z. Je pravouhlý, PO ^ OZ (POp, OZ = z) a jeho prepona PZ leží v axonometrickej priemetni
(je pri sklopení samodružná). Bod (O) je vrchol pravého uhla nad preponou PZ,
leží na Talesovej kružnici zostrojenej nad priemerom PZ a na sklopenej premietacej priamke kolmej na PZ.
Jednotková úsečka j na sklopenej osi (z) = (O)(Z) sa premieta do úsečky j_z z.
Obdobne nájdeme priemety jednotkovej úsečky na súradnicových osiach x, y.
Mierku skrátenia dĺžok na príslušných súradnicových osiach vyjadrujú redukčné uhly (obr. 2.39).
Zostrojíme ich vo zvolených vrcholoch V^X, V^Y, V^Z, z ktorých opíšeme oblúky s polomerom rovnajúcim sa jednotke dĺžky j = | V^xX | = | V^yY | = | V^zZ|.
Tetivy týchto oblúkov majú dĺžky priemetov jednotkových úsečiek postupne na priemetoch súradnicových osí x, y, z v danej kolmej axonometrii, j_x, j_y, j_z.
Súradnice každého bodu A = [x_A, y_A, z_A] vieme v príslušnom redukčnom uhle skrátiť
a potom priamo prenášať na axonometrické priemety súradnicových osí.
V trimetrii je každý redukčný uhol iný, v dimetrii sú zhodné dva z nich a v izometrii sú zhodné všetky tri.

Veľkosť uhla

Ak je uhol dvoch geometrických útvarov pravý, hovoríme, že útvary sú na seba kolmé.
Pravý uhol dvoch priamok sa premieta ako pravý len pri zvláštnej polohe priamok vzhľadom na priemetňu.
Spádové priamky roviny sa len v jednom zo svojich priemetov zobrazujú ako kolmice na stopu (príp. hlavné priamky) roviny.
Priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na všetky priamky tejto roviny.
Je preto kolmá aj na hlavné priamky prvej osnovy (a pôdorysnú stopu) roviny
a tento pravý uhol sa zobrazuje v pôdorysni ako pravý.
Je však kolmá aj na hlavné priamky druhej osnovy (a nárysnú stopu) roviny, pričom tento uhol sa zobrazuje ako pravý v náryse (obr. 2. 40).

A₁ ∈ k₁, k₁ ⊥ p₁^α (p₁),         A₂ ∈ k₂, k₂ ⊥ n₂^α (n₂)

Rovina α prechádzajúca daným bodom R kolmo na danú priamku k je jednoznačne určená svojimi hlavnými priamkami p a n.

R ∈ α ⊥ k, α = (p, n), p ⊥ k, n ⊥ k, p ∩ n = R

V ortogonálnej axonometrii určíme axonometrický pôdorys k₁ kolmice na rovinu (teda na stopu p^α) pomocou ortocentra trojuholníka 12O.
Výška na stranu 12 p^α je OW = v⁰, A₁ ∈ k₁ || v⁰.
Axonometrický priemet k kolmice na rovinu sa premieta ako kolmica na priesečnicu roviny s axonometrickou priemetňou, axonometrickú stopu roviny r^α (obr. 2.40).

P = p^α ∩ XY, N = n^α ∩ XZ, r^α = r ∩ α = PN, A ∈ k, k ⊥ r^α

Uhol priamky (roviny) s priemetňou sa nazýva odchýľka priamky (roviny) od priemetne.
Odchýľku priamky od priemetne určíme sklopením príslušnej premietacej roviny priamky (obr. 2.41).
Sklopenú priamku je najvýhodnejšie určiť pomocou stopníkov, z ktorých je vždy jeden samodružný (ležiaci v priemetni, do ktorej sklápame).

| a π | = | a₁(a) | = φ         | a ν | = | a₂ (a) | = ψ

Odchýľku roviny od pôdorysne určuje spádová priamka prvej osnovy, odchýľku od nárysne spádová priamka druhej osnovy (obr. 2.42).

| α π | = | ¹s π | = | ¹s₁(¹s) | = φ         | α ν | = | ²s ν | = | ²s₂(²s) | = ψ

Uhol dvoch priamok sa zobrazí v skutočnej veľkosti iba vtedy, keď sú obe priamky rovnobežné s priemetňou.
Veľkosť uhla dvoch rôznobežných priamok zistíme otočením roviny určenej danými priamkami do roviny rovnobežnej s priemetňou, prípadne priamo do priemetne.

Pre otáčanie roviny platí:

1. Osou otáčania je priesečnica otáčanej roviny s rovinou, do ktorej otáčame (hlavná priamka alebo stopa roviny).

2. Každý bod otáčanej roviny sa pohybuje po kružnici, ktorá leží v rovine otáčania kolmej na os otáčania. Stred tejto kružnice otáčania, stred otáčania, leží na osi otáčania.

3. Polomer otáčania bodu sa rovná vzdialenosti bodu od osi otáčania.

Otáčanie roviny do pôdorysne: α = (p^α n^α), A ∈ α

π ∩ α = p^α = o - os otáčania

A ∈ κ ⊥o, κ^A ⊥ π, κ^A ⊥ α

κ^A ∩ α = ¹s, κ^A ∩ o = S^A - stred otáčania

| S^AA | = | S^A(A) | = r^A - polomer otáčania

k^A(S^A, r^A) - kružnica otáčania bodu A

k^A∩ ¹s = { A₀, A₀' }      (obr. 2.43)

Otáčanie roviny do roviny ν' rovnobežnej s nárysňou: α = (A, n)

ν' ∩ α = n = o

A ∈ λ^A ⊥ o, λ^A ⊥ ν', λ^A ⊥ α

λ^A ∩ o = S^A , λ^A ∩ α = ²s

AS^A2s, | S^AA | = | S^A(A) | = r^A

k^A(S^A, r^A)

k^A∩ ²s = { A₀, A₀' }      (obr. 2.44)

Príklad 2.1: Určte veľkosť uhla dvoch rôznobežiek a, b (obr. 2.45).

Riešenie:

Priamky určujú rovinu α = ( a, b ).
Pôdorysné stopníky P a P' priamok ležia na pôdorysnej stope roviny, okolo ktorej otáčame rovinu α do priemetne.
Stopníky sú samodružné body priamok.
Bod R sa otáča v rovine otáčania κ^R kolmej na os otáčania,
po kružnici otáčania k^R so stredom v bode S^R = κ ^R ∩ o a polomerom r = | S^RR |.
Sklopením úsečky S^RR určíme veľkosť polomeru.
Uhol priamok a₀ = P₀' R₀ a b₀ = P₀ R₀ je hľadaným uhlom rôznobežiek a, b.

Súradnicové roviny π, ν a μ sa s axonometrickou priemetňou r pretínajú v priamkach XY, XZ, YZ,
(úsečky na týchto priamkach sú stranami Pelcovho axonometrického trojuholníka),
XY je os otáčania roviny π do axonometrickej priemetne ρ (obr. 2.46).

Z daného pôdorysu a nárysu bodu možno jednoducho zostrojiť jeho axonometrický priemet (obr. 2.47).


Otočíme p okolo priamky XY do axonometrickej priemetne, nájdeme ¹O₀¹x₀¹y₀ - otočené súradnicové osi x a y.
Otočenú pôdorysňu posunieme v nákresni v smere osi z tak, aby bola mimo axonometrického trojuholníka XYZ (kvôli prehľadnosti konštrukcie) do ¹O¹x¹y a nájdeme pôdorys bodu A pomocou jeho súradníc x_A, y_A.
Rovnako otočíme nárysňu n okolo priamky XZ do axonometrickej priemetne, nájdeme ²O₀²x₀²z₀ - otočené súradnicové osi x a z.
Otočenú nárysňu posunieme v smere osi y mimo trojuholníka XYZ do ²O²x²y.
Pomocou súradníc x_A a z_A nájdeme nárys bodu A.
Axonometrický priemet bodu A je priesečník priamky prechádzajúcej bodom ¹A rovnobežne s osou z a priamky rovnobežnej s osou y a prechádzajúcej bodom ²A.

Uvedená metóda sa nazýva zárezová metóda a používa sa pri zostrojovaní názorných priemetov útvarov určených dvoma rôznymi združenými priemetmi. Pri šikmej axonometrii možno umiestnenie kolmých združených priemetov útvaru ako aj smery posunutí ¹OO, ²OO voliť celkom ľubovoľne, s ohľadom na dostatočnú názornosť získaného šikmého axonometrického priemetu. Na obr. 2.48 je zárezovou metódou zostrojený šikmý axonometrický priemet strojárskej súčiastky určenej bokorysom a nárysom. Umiestnenie je zvolené pomocou priemetov kocky .