Euklidovské transformácie

Euklidovské - metrické transformácie zachovávajú velkosť útvaru, menia iba jeho polohu v priestore.
Vzťah medzi súradnicami bodov vzoru a obrazu v danej transformácii vyjadrujú rovnice transformácie.
Matica lineárnej transformácie je maticou tejto sústavy rovníc:

(x, y, z, 1) ⇾ (x´, y´, z´, 1)

x´ = f(x, y, z),

y´ = g(x, y, z),

z´ = h(x, y, z)

A´ = A .T


identita

x´ = x

y´ = y

z´ = z

A´ = A .TI




rovinová súmernosť podľa súradnicovej roviny π = xy

x´ = x

y´ = y

z´ = -z

A´ = A .TSπ




osová súmernosť podľa súradnicovej osi z

x´ = - x

y ´ = - y

z´ = z

A´ = A .TSz




stredová súmernosť podľa začiatku súradnicovej sústavy O

x´ = - x

y´ = - y

z´ = -z

A´ = A .TSO




otáčanie okolo osi z o uhol φ

x´= x cosφ - y sinφ

y ´= x sinφ + y cosφ

z´= z

A´= A .TOz




posunutie o vektor (m, n, p, 0)

x ´= x + m

y ´= y + n

z´= z + p

A´= A .TP




posunutá rovinová súmernosť podľa súradnicovej roviny π
s posunutím o vektor (0, c, 0, 0)

x ´= x

y ´= y

z´= -z + c

A´= A . TPSπ




posunutá osová súmernosť podľa súradnicovej osi z s posunutím o vektor (c,0,0,0)

x´= - x + c

y´ = - y

z´ = z

A´ = A . TPSz


otočená rovinová súmernosť podľa súradnicovej roviny μ okolo súradnicovej osi x o uhol φ

x´ = - x

y´ = y cosφ - z sinφ

z´ = y sinφ + z cosφ

A´ = A . TOSμ


skrutkový pohyb okolo osi z s posunutím o vektor (0,0,v,0) pre uhol otočenia φ

x ´ = x cosφ - y sinφ

y ´ = x sinφ + y cosφ

z´ = z +v

A´ = A . TS

 

Determinant matice TM každej metrickej transformácie má hodnotu ±1, platí |TM|2 = 1.

 

Afinné transformácie priestoru

Afinné transformácie nezachovávajú veľkosti úsečiek a uhlov.
Špeciálnu množinu afinných transformácií tvoria podobnosti, zachovávajúce veľkosť uhlov.
Každá euklidovská transformácia je afinnou transformáciou (podobnosťou) v .

rovnoľahlosť s daným stredom O a nenulovým koeficientom rovnoľahlosti s (zmena mierky)

x´ = sx      x´ = x

y´ = sy      y´ = y

z´ = sz     z´ = z

h = 1      h ´=

A´ = A . TR = (sx, sy, sz, 1) = s(x, y, z, )



Zložením rovnoľahlostí na súradnicových osiach x, y a z so stredmi v začiatku súradnicovej sústavy
a koeficientami a, e, i (nenulové mierky na súradnicových osiach v danom poradí)
dostaneme afinnú transformáciu, ktorá už nie je podobnosťou.

mierky na súradnicových osiach x, y a z s koeficientami a, e, i v danom poradí

x´ = ax

y´ = ey

z´ = iz

h = 1

A´ = A . TR = (ax, ey, iz, 1)




všeobecná afinná transformácia

| TA| 0, je maticou sústavy rovníc


A = (x, y, z, 1 ) ⇾

Koeficienty a až i, m, n, p, s 0 majú zrejmý geometrický význam

a, e, i nenulové mierky na súradnicových osiach x, y, z

s koeficient rovnoľahlosti do stredu v začiatku súradnicovej sústavy

m, n, p súradnice vektora posunutia

b, c, f, d, g, h koeficienty všeobecnej afinnej transformácie.

osová afinita medzi rovinou π = xy a rovinou π´ = xA´ s osou v osi x
a odpovedajúcou si dvojicou bodov A(a, b, 0, 1) ⇾ A'(d, e, f, 1), b 0, f 0,
so smerom afinity určeným priamkou s = AA' so smerovým vektorom  

x´ = bx + (d - a)y

y ´ = ey

z´ = fy + bz

h´ = b

A´ = A . TA = (bd, be, bf, b) = b(d, e, f, 1)

 

 

Projektívne transformácie

Projektívnou transformáciou rozšíreného euklidovského priestoru E3 je každá lineárna geometrická transformácia priestoru na seba.
Nazýva sa kolineácia. Okrem incidencie zachováva dvojpomer štyroch bodov na priamke.
Všetky uvedené euklidovské a afinné transformácie sú kolineáciami so špeciálnymi vlastnosťami a invariantnými prvkami.

projektívna transformácia

s 0, |TK | 0 je matica sústavy rovníc

 

h

 

stredová kolineácia medzi rovinou π = xy a rovinou π´ = xA´ s osou o = x v súradnicovej osi x,
so stredom v bode S = (s1, s2, s3, 1), a dvojicou odpovedajúcich si bodov

A = (a, b, 0, 1) ⇾ A´ = (x´, y´, c, 1), s3 0, b0, cs3

(x, y, z, 1) ⇾ (x´, y´, z´, h´)

x´ = bx + dy + gz

y´ = ey + kz

z´ = cy + iz

h´ = hb



A´ = A .Tk = (ab2 + bd, be, bc, b) = b(ab + d, e, c, 1)

d = , e = b - 1 + , g , k , i = b -