Projektívna transformácia, ktorej množina samodružných bodov je bodovo
invariantná vlastná priamka (os kolineácie o = α ∩ α'),
jeden vlastný bod priestoru (stred kolineácie S neležiaci v rovine α, ani
v α')
a (nie bodovo) invariantná každá priamka trsu priamok so stredom v bode S, sa nazýva stredová kolineácia (obr. 1.18).
Je jednoznačne určená osou o, dvojicou odpovedajúcich si bodov A, A'
(α = oA , α' =
oA') a stredom S, pre ktorý platí S ∈ AA'.
Obraz ľubovoľného bodu B roviny α je bod B' roviny α',
ktorý nájdeme podľa nasledujúcich pravidiel:
1. Všetky dvojice navzájom si odpovedajúcich bodov v stredovej kolineácii tvoria priamky, ktoré
prechádzajú stredom kolineácie S, AA' ∩ BB'
∩ ... = S, B'
∈ BS.
2. Každá priamka roviny α pretína os kolineácie o vo svojom
samodružnom bode, ktorým musí prechádzať aj jej kolineárny obraz.
Ak sa priamka a z roviny α zobrazí do priamky a' z roviny α',
potom a ∩ a' = 1
= 1', pričom 1 = 1' ∈ o.
Nech a = AB, obraz a' tejto priamky musí prechádzať
bodom 1=1' na osi kolineácie.
3. Na základe zachovania incidencie je obrazom priamky a = AB priamka a' = A'B', ktorá je určená svojimi dvoma rôznymi bodmi A' a 1=1'. Platí B' = BS ∩ a'.
Priemetom kolineárne združených rovín α, α'
a stredu kolineácie S na rovinu (pričom priemetom žiadnej z rovín nie je priamka a priemetom bodu S
je vlastný bod neležiaci na priemete osi kolineácie o, získame stredovú kolineáciu v rozšírenej euklidovskej
rovine E2.
Je určená samodružnou osou kolineácie (priemet priesečnice o = α ∩ α'),
stredom (priemet stredu kolineácie S neležiaceho na osi o)
a dvojicou odpovedajúcich si bodov (priemety bodov A ∈ α, A'∈ α'
, S ∈ AA'), (obr. 1.19).
Obraz B' ľubovoľného bodu B roviny v danej stredovej kolineácii v rovine zostrojíme podľa opísaného algoritmu.
Stredová kolineácia je transformácia, ktorá zobrazuje nevlastné body rozšírenej euklidovskej roviny do bodov
vlastných (obr. 1.20).
Dve priamky jedného smeru (a||b) sa zobrazia do rôznobežiek (a' x
b'), pričom ich spoločný nevlastný bod U
sa zobrazí do vlastného bodu U ', priesečníka obrazov priamok (U '=a'
∩b').
Priamky smeru osi kolineácie sa zobrazujú opäť do priamok tohto smeru (c || c' || o).
Obrazom nevlastnej priamky u roviny je vlastná priamka u' patriaca
smeru osi kolineácie, ktorá sa nazýva úbežnica.
Stred útvaru O sa nezobrazí do stredu O' obrazu tohto útvaru.
Kolineárnym obrazom kružnice môže byť ktorákoľvek kužeľosečka - elipsa, parabola, hyperbola (resp- kružnica). Množina M bodov kružnice, ktoré sa v danej stredovej kolineácii zobrazia do nevlastných bodov, je množinou priesečníkov kružnice s úbežnicou.
Kolineácia kružnice a elipsy
K = {S, o,
O ⇾ O'}, k ∩ u
= ∅,
k ⇾ e = ?
Keď sa všetky body kružnice zobrazia do vlastných bodov, kolineárnym obrazom kružnice je elipsa (obr. 1.21).
Stred O kružnice k sa zobrazí do vnútorného bodu O' jej obrazu, elipsy e.
Priemeru KL kružnice kolmému na os kolineácie
a tetive MN rovnobežnej s osou o kolineárne odpovedajú
združené priemery elipsy K'L' a M'N' || o so spoločným bodom
Ω', stredom elipsy.
Priemeru PQ || o odpovedá tetiva elipsy P'Q' || o.
(Rytzovou konštrukciou možno určiť osi a veľkosti polosí elipsy e.)
Kolineácia kružnice a paraboly
K = {S, o, T
⇾ T'},
T ∈ u || o, k ∩
u = M = {T},
k ⇾ p = ?
Keď sa jeden bod kružnice zobrazí do nevlastného bodu (úbežnica je dotyčnicou kružnice),
kolineárnym obrazom kružnice je parabola (Obr. 1.22).
Priemer r kružnice k prechádzajúci bodom T kolmo na os kolineácie sa
zobrazí do priamky r' (určenej smerom T' a samodružným
bodom 1=1'),
ktorá má smer osi kolineárnej paraboly p.
Na tejto priamke leží aj bod paraboly Q', obraz bodu Q kružnice.
Dotyčnica paraboly v bode Q' má smer osi kolineácie.
Priemeru AB kružnice, AB || o a dotyčniciam tA, tB
v bodoch A, B odpovedajú kolineárne:
tetiva A'B' || o prechádzajúca bodom
O' ∈ r' (obraz O) a dotyčnice paraboly tA', tB'
prechádzajúce svojimi samodružnými bodmi na osi o.
Dvoma dotyčnicami s bodmi dotyku je parabola určená jednoznačne a pomocou definície dotyčnice paraboly a
známej veľkosti sprievodičov bodov dotyku A, B možno zostrojiť ohnisko, riadiacu priamku, aj vrchol paraboly.
Kolineácia kružnice a hyperboly
Keď sa 2 body U, V kružnice zobrazia do nevlastných bodov (úbežnica je sečnicou kružnice),
obrazom kružnice je hyperbola, kužeľosečka s dvoma nevlastnými bodmi (obr. 1.23). Kružnica aj hyperbola prechádzajú samodružnými bodmi 4 a 5 na osi kolineácie.
Príklad 1.3: Nájdite obraz ∆ABC v stredovej kolineácii
K = {S, o, U ⇾
U'}, (obr. 1.24).
Riešenie: Samodružný bod 1=1' priamky AB a smer
nevlastného bodu U'
určujú kolineárny obraz priamky AB, na ktorom ležia body A'B', pričom A' ∈
AS, B' ∈ BS.
K = {S, o, U ⇾
U'}, U ∈
u || o, k ∩ u = M
= {U, V}, k ⇾ h = ?
Dotyčnice hyperboly v jej nevlastných bodoch - asymptoty, musia mať v kolineácii za vzory dotyčnice kružnice k v bodoch U, V.
Ich priesečník Ω sa zobrazí do stredu hyperboly Ω'.
Os uhla asymptôt 1a' a 2a' je os hyperboly 1o',
ktorej vzor je priamka 1o = 3Ω.
Jej priesečníky A, B s kružnicou sa zobrazia do hlavných vrcholov A', B' hyperboly.
Pomocou charakteristického obdĺžnika hyperboly potom určíme vrcholy vedľajšie a ohniská.
Úsečka A'B' obsahuje
nevlastný bod U', preto sa zobrazí ako dvojica polpriamok.
Obraz priamky BC, určený samodružným bodom 2=2' a bodom B',
obsahuje bod C' z priamky SC. Úsečka A'C' obsahuje nevlastný bod
V', ktorého vzorom je bod V, priesečník úsečky
AC s úbežnicou u prechádzajúcou bodom U rovnobežne s osou kolineácie.
Obraz A'B'C' trojuholníka ABC v danej kolineácii sa rozpadne na dve časti,
spojené nevlastnou úsečkou U' V'
na nevlastnej priamke roviny.