Stredová kolineácia roviny α na rovinu α'

Projektívna transformácia, ktorej množina samodružných bodov je bodovo invariantná vlastná priamka (os kolineácie o = α ∩ α'),
jeden vlastný bod priestoru (stred kolineácie S neležiaci v rovine α, ani v α')
a (nie bodovo) invariantná každá priamka trsu priamok so stredom v bode S, sa nazýva stredová kolineácia (obr. 1.18).
Je jednoznačne určená osou o, dvojicou odpovedajúcich si bodov A, A' (
α = oA , α' = oA') a stredom S, pre ktorý platí SAA'.

Obraz ľubovoľného bodu B roviny α je bod B' roviny α', ktorý nájdeme podľa nasledujúcich pravidiel:

1. Všetky dvojice navzájom si odpovedajúcich bodov v stredovej kolineácii tvoria priamky, ktoré prechádzajú stredom kolineácie S, AA'BB' ... = S, B' BS.

2. Každá priamka roviny α pretína os kolineácie o vo svojom samodružnom bode, ktorým musí prechádzať aj jej kolineárny obraz.
Ak sa priamka a z roviny α zobrazí do priamky a' z roviny α', potom aa' = 1 = 1', pričom 1 = 1'o. Nech a = AB, obraz a' tejto priamky musí prechádzať bodom 1=1' na osi kolineácie.

3. Na základe zachovania incidencie je obrazom priamky a = AB priamka a' = A'B', ktorá je určená svojimi dvoma rôznymi bodmi A' a 1=1'. Platí B' = BS a'.

Priemetom kolineárne združených rovín α, α' a stredu kolineácie S na rovinu (pričom priemetom žiadnej z rovín nie je priamka a priemetom bodu S
je vlastný bod neležiaci na priemete osi kolineácie o, získame stredovú kolineáciu v rozšírenej euklidovskej rovine E2.
Je určená samodružnou osou kolineácie (priemet priesečnice o = α ∩ α'),
stredom (priemet stredu kolineácie S neležiaceho na osi o)
a dvojicou odpovedajúcich si bodov (priemety bodov A ∈ α, A'∈ α' , SAA'), (obr. 1.19).
Obraz B' ľubovoľného bodu B roviny v danej stredovej kolineácii v rovine zostrojíme podľa opísaného algoritmu.

Stredová kolineácia je transformácia, ktorá zobrazuje nevlastné body rozšírenej euklidovskej roviny do bodov vlastných (obr. 1.20).
Dve priamky jedného smeru (a||b) sa zobrazia do rôznobežiek (a' x b'), pričom ich spoločný nevlastný bod U sa zobrazí do vlastného bodu U ', priesečníka obrazov priamok (U '=a' b').
Priamky smeru osi kolineácie sa zobrazujú opäť do priamok tohto smeru (c || c' || o).
Obrazom nevlastnej priamky u roviny je vlastná priamka u' patriaca smeru osi kolineácie, ktorá sa nazýva úbežnica.
Stred útvaru O sa nezobrazí do stredu O' obrazu tohto útvaru.

Kolineárnym obrazom kružnice môže byť ktorákoľvek kužeľosečka - elipsa, parabola, hyperbola (resp- kružnica). Množina M bodov kružnice, ktoré sa v danej stredovej kolineácii zobrazia do nevlastných bodov, je množinou priesečníkov kružnice s úbežnicou.



Kolineácia kružnice a elipsy

K = {S, o, OO'}, ku = ∅, ke = ?

Keď sa všetky body kružnice zobrazia do vlastných bodov, kolineárnym obrazom kružnice je elipsa (obr. 1.21).
Stred O kružnice k sa zobrazí do vnútorného bodu O' jej obrazu, elipsy e.
Priemeru KL kružnice kolmému na os kolineácie
a tetive MN rovnobežnej s osou o kolineárne odpovedajú
združené priemery elipsy K'L' a M'N' || o so spoločným bodom Ω', stredom elipsy.
Priemeru PQ || o odpovedá tetiva elipsy P'Q' || o.
(Rytzovou konštrukciou možno určiť osi a veľkosti polosí elipsy e.)


Kolineácia kružnice a paraboly

K = {S, o, T T'}, Tu || o, k u = M = {T}, kp = ?

Keď sa jeden bod kružnice zobrazí do nevlastného bodu (úbežnica je dotyčnicou kružnice), kolineárnym obrazom kružnice je parabola (Obr. 1.22).
Priemer r kružnice k prechádzajúci bodom T kolmo na os kolineácie sa zobrazí do priamky r' (určenej smerom T' a samodružným bodom 1=1'),
ktorá má smer osi kolineárnej paraboly p. Na tejto priamke leží aj bod paraboly Q', obraz bodu Q kružnice. Dotyčnica paraboly v bode Q' má smer osi kolineácie.
Priemeru AB kružnice, AB || o a dotyčniciam tA, tB v bodoch A, B odpovedajú kolineárne:
tetiva A'B' || o prechádzajúca bodom O'r' (obraz O) a dotyčnice paraboly tA', tB' prechádzajúce svojimi samodružnými bodmi na osi o.
Dvoma dotyčnicami s bodmi dotyku je parabola určená jednoznačne a pomocou definície dotyčnice paraboly a známej veľkosti sprievodičov bodov dotyku A, B možno zostrojiť ohnisko, riadiacu priamku, aj vrchol paraboly.

Kolineácia kružnice a hyperboly

K = {S, o, U U'}, U u || o, ku = M = {U, V}, kh = ?

Keď sa 2 body U, V kružnice zobrazia do nevlastných bodov (úbežnica je sečnicou kružnice), obrazom kružnice je hyperbola, kužeľosečka s dvoma nevlastnými bodmi (obr. 1.23).
Dotyčnice hyperboly v jej nevlastných bodoch - asymptoty, musia mať v kolineácii za vzory dotyčnice kružnice k v bodoch U, V.
Ich priesečník Ω sa zobrazí do stredu hyperboly Ω'. Os uhla asymptôt 1a' a 2a' je os hyperboly 1o', ktorej vzor je priamka 1o = 3Ω.
Jej priesečníky A, B s kružnicou sa zobrazia do hlavných vrcholov A', B' hyperboly. Pomocou charakteristického obdĺžnika hyperboly potom určíme vrcholy vedľajšie a ohniská.

Kružnica aj hyperbola prechádzajú samodružnými bodmi 4 a 5 na osi kolineácie.

Príklad 1.3: Nájdite obraz ABC v stredovej kolineácii K = {S, o, U U'}, (obr. 1.24).

Riešenie: Samodružný bod 1=1' priamky AB a smer nevlastného bodu U' určujú kolineárny obraz priamky AB, na ktorom ležia body A'B', pričom A' AS, B'BS.
Úsečka A'B' obsahuje nevlastný bod U', preto sa zobrazí ako dvojica polpriamok. Obraz priamky BC, určený samodružným bodom 2=2' a bodom B', obsahuje bod C' z priamky SC. Úsečka A'C' obsahuje nevlastný bod V', ktorého vzorom je bod V, priesečník úsečky AC s úbežnicou u prechádzajúcou bodom U rovnobežne s osou kolineácie.
Obraz A'B'C' trojuholníka ABC v danej kolineácii sa rozpadne na dve časti, spojené nevlastnou úsečkou U' V' na nevlastnej priamke roviny.