ROVINNÉ ČIARY

 1. Úsečka

Úsečka vznikne posúvaním bodu v smere daného vektora (obr. 3.4).


Syntetická reprezentácia:      (A, Tp(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A = (xA, yA, zA,1)

generujúci princíp - trieda posunutí určená vektorom
                                a = (a1, a2, a3, 0)

    , pre u ∈ <0,1>

modelovaný útvar - r(u) = A.TP(u) = (xA + ua1, yA+ ua2, zA+ ua3,1), u ∈<0,1>

Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:

r´(u) = (a1, a2, a3, 0)      

r´´(u) = 0       r´(u) x r´´(u) = 0        ∣r´(u) x r´´(u)∣ = 0       r´´´(u) = 0

Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), u ∈ < 0, 1 > neexistuje.

           b(u) = 0           n(u) = 0

1k(u) = 0            1ρ =           2k(u) = 0

Všetky body úsečky sú inflexné body, každá rovina prechádzajúca úsečkou je jej oskulačnou rovinou.
Úsečka (priamka) je čiara nulovej prvej i druhej krivosti.

2. Kružnicový oblúk (kružnica)

Kružnicový oblúk vznikne otáčaním bodu okolo priamky o uhly z intervalu < 0, α >. Pre α = 2π vznikne kružnica (obr. 3.5).


Syntetická reprezentácia:      (A, TOz(u))

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - A = (a, 0, 0, 1), a 0

generujúci princíp - trieda otáčaní okolo súradnicovej osi z
                                 o uhly z intervalu < 0, α >

    , pre u ∈ < 0, 1 >

modelovaný útvar - r(u) = A.TOz (u) = (acos αu, asin αu, 0, 1)

u ∈< 0, 1 >, a 0 je polomer kružnice

Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:

r´(u) = α(-asin αu, acos αu, 0, 0)     ∣ r´(u) ∣ =

r´´(u)= -α2( acos αu, asin αu, 0, 0)

r´´´(u)= -α3(-asin αu, acos αu, 0, 0)

r´(u) x r´´(u) = (0, 0, α3a2, 0)             ∣ r´(u) x r´´(u) ∣ = α3a2              [r´(u) r´´(u) r´´´(u)]=0

Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), u ∈ < 0, 1 >

t(u) = (-sin αu, cos αu, 0, 0)             b(u) = (0, 0, 1, 0)             n(u) = ( -cos αu, -sin αu, 0, 0)

1k(u) = 1/a             1ρ(u) = a             2k(u) = 0

Kružnica je rovinná čiara, ktorá je sama sebe oskulačnou kružnicou v každom svojom bode, polomer kružnice je polomerom prvej krivosti.

Rektifikácie dĺžky oblúka kružnice


Kochańského (stredový uhol oblúka AB je 180°), (obr. 3.6)

1. A ∈ t, t ⊥ AB

2. | AST| = 30°, |TA0| = 3.|SA| = 3a

3. |AB| = |A0B| = πa

 

D'Ocagneova (stredový uhol oblúka AB je v intervale (30°, 60°)), (obr. 3.7).

1. |A1| = |12| = |2B|

2. S1 ∩ AB = 1T        (S2 ∩ AB = 2T)

3. A ∈ 1l, 1l // S1        (B ∈ 2l, 2l // S2)

4. 1l ∩ B1T = A0, |A0B|=|AB|        (2l ∩ A2T = B0, |AB0| = |AB)


Sobotkova (stredový uhol oblúka AB je v intervale (0°, 30°), (obr. 3.8.)

1. A ∈ t, t ⊥ AS

2. |AT| = 3.|AS|

3. TB ∩ t = B0, |AB0| = |AB|


3. Elipsa

Elipsu získame ako afinný obraz kružnice (obr. 3.9).

Syntetická reprezentácia:     (k, TA)

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - kružnica k

q(u) = (acos αu, asin αu, 0, 1)

u ∈ < 0, 1 >, α = 2π pre celú kružnicu, a 0

generujúci princíp - osová afinita s osou v súradnicovej osi x a dvojicou odpovedajúcich si bodov

                (0, a, 0, 1) ⇾ (0, b, 0, 1) v smere vektora s = (0, b-a, 0, 0), b 0

modelovaný útvar - r(u) = q(u).TA = (acos αu, bsin αu, 0, 1)

u ∈ < 0, 1 >, α = 2π pre celú elipsu, a > b, a je hlavná, b vedľajšia polos

Vnútorné vlastnosti modelovaného útvaru:

r´(u) = α(-asin αu, bcos αu, 0, 0)      ∣r´(u)∣ =a

r´´(u) = -α2(acos αu, bsin αu, 0, 0)      r´´´(u)= -α3(-asin αu, bcos αu, 0, 0)

[r´(u) r´´(u) r´´´(u)] = 0      r´(u) x r´´(u) = (0, 0, α3ab, 0)     ∣r´(u) x r´´(u)∣ = α3ab

Frenet-Serretov trojhran v bode P(u), u ∈ < 0, 1 >

t(u) = (-asin αu, bcos αu, 0, 0)/d      b(u) = (0, 0, 1, 0)      n(u) = (bcos αu, -asin αu, 0, 0)/d

1k(u) = ab/d3      1ρ(u) = d3/ab      2k(u) = 0

4. Parabola

Parabolu získame ako kolineárny obraz kružnice (obr. 3.10).


Syntetická reprezentácia:       (k, TK)

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - kružnica k

q(u) = (acos αu, asin αu, 0, 1)

u ∈ < 0, 1 >, a 0, α = 2π pre celú kružnicu

generujúci princíp - stredová kolineácia
s osou v súradnicovej osi x,
stredom S = (0, s, 0, 1)
a dvojicou odpovedajúcich si bodov

U = (0, a, 0, 1) ⇾ U´ = (0, a-s, 0, 0), s 0

modelovaný útvar

r(u) = q(u).TK = (acos αu, (a-s)sin αu, 0, 1-sin αu) =
u ∈ < 0, 1 > - {1/4}, α = 2π pre celú parabolu, α = -π pre oblúk AB

Nevlastným bodom paraboly je bod P(1/4).

Bod V = (0, -a, 0, 1) sa zobrazí do vrchola paraboly


V´ = V.TK = (0, s-a, 0, 2) = (0, (s-a)/2, 0, 1) = r(3/4) =

Nevlastný priesečník R dotyčníc kružnice k v samodružných bodoch A, B sa zobrazí do vlastného bodu R´,
v ktorom sa pretínajú dotyčnice kolineárnej paraboly k´.

5. Hyperbola

Hyperbolu získame ako kolineárny obraz kružnice (obr. 3.11).

Syntetická reprezentácia: (k, TK)

Analytické reprezentácie:

riadiaci útvar - kružnica k

q(u) = (acos αu, asin αu, 0, 1)

u ∈ < 0, 1 >, a 0, α = 2π pre celú kružnicu

generujúci princíp

stredová kolineácia s osou v súradnicovej osi x,
stredom S = (0, s, 0, 1)
a dvojicou odpovedajúcich si bodov

Y = (0, d, 0, 1) ⇾ Y´ = (0, d-s, 0, 0), d < a, d 0, s 0

modelovaný útvar

r(u) = q(u).TK = (adcos αu, a(d-s)sin αu, 0, -asin αu+d) =

u ∈ < 0, 1 > - {u1, u2}, .

Nevlastné body hyperboly sú P(u1), P(u2).
Bod A = (0, -a, 0, 1) sa kolineárne zobrazí do vrchola hyperboly ,
bod B = (0, a, 0, 1) do druhého (nezobrazeného) vrchola .