Afinná transformácia, ktorej samodružnými prvkami je bodovo invariantná vlastná priamka - množina všetkých samodružných bodov transformácie (os afinity o = α ∩ α')
a (nie bodovo) samodružná každá priamka jednej osnovy priamok (smer afinity s ∦ α, s ∦ α '), sa nazýva osová afinita.

Osová afinita je jednoznačne určená osou o a dvojicou odpovedajúcich si bodov A a A' ( α = oA, α' =oA').
Priamku s = AA' nazývame smer afinity s (obr. 1.8).

Obraz ľubovoľného bodu B ∈ α je bod B' ∈ α', ktorý nájdeme podľa nasledujúcich pravidiel:

1. Bod B' leží na priamke s^B zo smeru afinity s prechádzajúcej bodom B, B' ∈ s^B || s. Všetky spojnice navzájom si odpovedajúcich bodov v osovej afinite sú priamkami jednej osnovy určenej smerom s, AA' || BB' || CC' || ... || s.

2. Každá priamka roviny a pretína os afinity o vo svojom samodružnom bode, ktorým musí prechádzať aj jej afinný obraz.
Ak sa priamka a zobrazí do priamky a' ∈ α', potom a ∩ a' = 1 = 1', kde 1 = 1' ∈ o.
Nech a = AB, obraz a' tejto priamky v danej afinite musí prechádzať bodom 1=1' na osi afinity. Priamky smeru osi afinity majú nevlastné samodružné body.

3. Osová afinita zachováva incidenciu, preto obrazom priamky a = AB musí byť priamka a' = A'B', určená svojimi dvoma rôznymi bodmi A' a 1=1'. Afinným obrazom bodu B je bod B' = a' ∩ s^B.

Priemetom afinne združených rovín α, α' a smeru afinity s na rovinu,
pričom priemetom žiadnej z rovín α, α' nie je priamka a priemetom smeru s = AA' a osi afinity o sú dve rôznobežné priamky,
získame osovú afinitu v rozšírenej euklidovskej rovine E².
Je určená samodružnou osou afinity (priemet priesečnice o = α ∩ α')
a dvojicou odpovedajúcich si bodov (priemety bodov A ∈ α, A' ∈ α') v smere afinity (priemet s = AA') (obr 1.9).
Podľa opísaného algoritmu zostrojíme afinný obraz B' ľubovoľného bodu B roviny.

Priamka u zo smeru osi afinity prechádzajúca bodom A má samodružný nevlastný bod 1, ktorý je zároveň bodom jej obrazu u'. Bodom A' (obrazom bodu A) prechádza priamka u' v smere osi afinity o (obr. 1.10).

Dve priamky (b || d) jedného smeru sa v osovej afinite zobrazia opäť do priamok jedného smeru (b' || d'),
rôznobežné priamky (a x b) do rôznobežiek (a' x b'), pričom priesečník obrazov (B') je obrazom priesečníka vzorov (B).
Stred útvaru (S) sa zobrazí do stredu obrazu útvaru (S').
Nezachovávajú sa ani uhly ani dĺžky úsečiek (obr. 1.11).

Na priamkach jedného smeru sa však úsečky rovnako skracujú, prípadne predlžujú (|AD| = |BC|, |A'D'| = |B'C'|).
Iba na priamkach zo smeru osi afinity ostávajú dĺžky úsečiek zachované v pôvodnej veľkosti (|AC| = |A'C'|).

Afinným obrazom kružnice je elipsa (prípadne kružnica).

Osová afinita A nech je určená osou o a dvojicou odpovedajúcich si bodov O a O'.

A ={o, O ⇾ O', s = OO'}

Obrazom kružnice k so stredom O je elipsa e so stredom O'. Každým dvom kolmým priemerom kružnice k afinne odpovedajú združené priemery elipsy e (obr. 1.12).

Existuje dvojica kolmých priemerov kružnice AB ⊥ CD, ktoré sa afinne zobrazia do osí prechádzajúcich vrcholmi elipsy A'B' ⊥ C'D'.
Samodružné body týchto priemerov ležia na Tálesovej kružnici prechádzajúcej stredmi afinne združených kriviek.
Body O a O' sú vrcholy pravých uhlov nad spoločnou preponou na osi afinity o, ktorou je úsečka 12 (obr. 1.13).
Stred Tálesovej kružnice je bod S, priesečník osi úsečky OO' s osou afinity o.

Ku každej elipse možno nájsť osovú afinitu, v ktorej je vzorom danej elipsy kružnica.

Elipsa určená hlavnými vrcholmi, e = (AB ⊥ CD)

¹A = {¹o = AB, C ⇾¹C}, ² A = {²o = AB, C ⇾ ²C} (obr. 1.14)

Elipsa určená združenými priemermi, e = (PQ, RS)

¹A= {¹o = PQ, R ⇾ ¹R}, ²A = {²o = PQ, R ⇾ ²R} (obr.1.15)

Príklad 1.2: Zostrojte dotyčnice elipsy určenej vrcholmi, ktoré sú rovnobežné s danou priamkou m.

e = (AB ⊥ CD), ¹t || m = ?, ²t || m = ?

Riešenie:
V osovej afinite A = {o = AB, C ⇾ C'} sa daná elipsa e zobrazí do kružnice k (smer afinity je kolmý na os afinity).
Priamke m odpovedá v danej osovej afinite priamka m', určená samodružným bodom na osi afinity a obrazom R' jedného bodu R priamky m (R' určíme pomocou smeru afinity a obrazu priamky RC).
Dotyčnice kružnice k rovnobežné s priamkou m' vieme nájsť (body dotyku ¹T', ²T' sú priesečníky kolmice h prechádzajúcej stredom O kružnice na priamku m', ¹T' ∈ ¹t' || m', ²T' ∈ ²t' || m').
Obrazy priamok ¹t' a ²t' v danej osovej afinite nájdeme pomocou ich samodružných bodov na osi afinity a pomocou ich smeru, 1=1' ∈ ¹t || m, 2=2' ∈ ²t || m.
Dotykové body ¹T ∈ ¹t a ²T ∈ ²t ležia na priamkach smeru afinity (obr. 1.17).