Hyperbola

Hyperbola je krivka, ktorá sa často objavuje v rôznych aplikáciách vo vede a v technike.

APLIKÁCIA

Hyperbola je jednou z kriviek, ktoré nazývame kužeľosečky. Vznikne ako rez rotačnej kužeľovej plochy vhodnou rovinou, rovnobežnou s dvoma rôznymi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.

Animácia

Hyperbola sa dá definovať niekoľkými spôsobmi:

  1. ako množina bodov euklidovskej roviny, ktoré spĺňajú jednoduchú metrickú podmienku,
  2. ako kolineárny obraz kružnice v špeciálnej stredovej kolineácii,
  3. ako graf istej bilineárnej kvadratickej formy v karteziánskej súradnicovej sústave určený analytickou rovnicou,
  4. ako rez rotačnej kužeľovej plochy vhodnou rovinou,
  5. ako perspektívny obraz kružnice v špeciálnej perspektívnej kolineácii.

Hyperbola v euklidovskej rovine

DEFINÍCIA 1.
Hyperbola je množina bodov P euklidovskej roviny, ktorých rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov F1 a F 2 je stály.
Body F 1 a F 2 sa nazývajú ohniská hyperboly, stred S úsečky FF 2 1¯ sa nazýva stred hyperboly.

h = { P E 2 ; | | P F 1 ¯ | - | P F 2 ¯ | | = const , F , F 2 1 E 2 }

hyp01

Pre dva ľubovoľné body P, Q na rôznych vetvách hyperboly platí

| P F 1 ¯ | - | P F 2 ¯ | = | Q F 1 ¯ | - | Q F 2 ¯ | = const

Ak sa bod P pohybuje tak, že rozdiel vzdialeností |P F1¯ |-| PF2 ¯| zostáva nemenný, pohybuje sa po hyperbole.

Animácia

Nech je daná hyperbola so stredom S a ohniskami F1 a F 2.

hyp02

Vzdialenosť stredu a ohnísk F 1 alebo F2 sa nazýva lineárna excentricita hyperboly a označuje sa e.

Hyperbola je súmerná podľa priamky prechádzajúcej bodmi F1 and F 2, ktorá sa nazýva hlavná os hyperboly.

Nech A a B sú body, v ktorých hlavná os pretína hyperbolu. Stred S hyperboly je stredom úsečky AB¯ .

Priamka prechádzajúca bodom S kolmo na priamku AB je vedľajšia (imaginárna) os hyperboly.

Hyperbola je súmerná podľa vedľajšej osi, a teda aj podľa svojho stredu.

Nech C a D sú body vedľajšej osi hyperboly vo vzdialenosti b od stredu hyperboly.

Priesečníky hyperboly s jej hlavnou osou, body A, B a body C, D sa nazývajú vrcholy hyperboly.

Nech 2a je dĺžka úsečky AB¯ a 2b je dĺžka úsečky CD¯ .

Čísla a a b sa nazývajú hlavná a vedľajšia polos hyperboly.

Trojuholník SBC je pravouhlý a platí

Geometrická rovnica hyperboly
e 2 = a 2 + b 2

Animácia

Charakteristický rovnobežník KLMN hyperboly má strany prechádzajúce vrcholmi hyperboly rovnobežne s osami hyperboly.

Asymptoty hyperboly
sú uhlopriečky charakteristického rovnobežníka hyperboly, priamky a, a2 1 prechádzajúce stredom hyperboly a približujúce sa k obom vetvám hyperboly so vzrastajúcou vzdialenosťou od jej vrcholov.

Asymptoty definujeme ako dotyčnice hyperboly v jej nevlastných bodoch.

Fokálna kružnica f(O,e ) hyperboly je kružnica so stredom v strede hyperboly a polomerom rovnajúcim sa lineárnej excentricite. Fokálna kružnica pretína asymptoty vo vrcholoch charakteristického rovnobežníka.



Priamky prechádzajúce ľubovoľným bodom M hyperboly a jedným z ohnísk F1 alebo F2 sa nazývajú sprievodiče bodu M. Dĺžky úsečiek F 1M¯ a F 2M¯ na týchto priamkach určujú vzdialenosti bodu M od ohnísk hyperboly, ich rozdiel je stály a rovná sa 2a.

| M F 1 ¯ | - | M F 2 ¯ | = 2 a

Sprievodiče bodu M hyperboly tvoria dva uhly so spoločným vrcholom v bode M - vnútorným uhlom sprievodičov nazývame ten uhol, v ktorom neleží stred hyperboly, vo vonkajšom uhle sprievodičov ležia hlavné vrcholy hyperboly, body A a B.

hyp03

Každá úsečka MN určená koncovými bodmi M, N na hyperbole sa nazýva tetiva hyperboly. Fokálna tetiva prechádza ohniskami kolmo na hlavnú os hyperboly.

Vzájomná poloha priamky a hyperboly

Klasifikácia:
  1. priamka sa dotýka hyperboly v jedinom bode,
  2. priamka pretína hyperbolu v dvoch rôznych bodoch,
  3. priamka nemá žiadne spoločné body s hyperbolou.

hyp04

Priamka t je dotyčnica hyperboly v bode T. Priamka p je sečnica hyperboly v bodoch P a Q. Priamka r je nesečnica hyperboly.
Priamky prechádzajúce stredom hyperboly a ležiace v tom istom uhle tvorenom asymptotami hyperboly ako vedľajšia (imaginárna) os hyperboly nepretínajú hyperbolu.

Dotyčnica hyperboly

DEFINÍCIA 2.
Priamka t je dotyčnicou hyperboly v bode T, ak je osou vonkajšieho uhla sprievodičov bodu dotyku T.

hyp05

POZNÁMKA: Dotyčnica hyperboly neobsahuje žiadne vnútorné body hyperboly.

Animácia

VETA 1.
Päty kolmíc vedených ohniskami F1 a F 2 hyperboly na jej dotyčnice ležia na kružnici so stredom v strede hyperboly a polomerom rovnajúcim sa hlavnej polosi hyperboly. Kružnica v(S, a) sa nazýva vrcholová kružnica.

hyp06

Animácia

VETA 2.
Body súmerné s jedným ohniskom hyperboly podľa jej dotyčníc ležia na kružnici so stredom v druhom ohnisku a polomerom rovnajúcim sa dvojnásobku hlavnej polosi. Kružnica g 1(F, 2a2 ) sa nazýva riadiaca kružnica prislúchajúca ohnisku F1 .

hyp07

Animácia

Riadiaca kružnica prislúchajúca ohnisku F 2 má stred v ohnisku F1 a taký istý polomer rovnajúci sa dvojnásobku hlavnej polosi hyperboly, g=( F1, 2a) 2.

APLIKÁCIA

VETA 3.
Existujú dve rôzne dotyčnice hyperboly prechádzajúce ľubovoľným vonkajším bodom hyperboly alebo rovnobežné s ľubovoľným smerom, okrem smeru určeného asymptotami hyperboly.
Dôsledok 1.
Dotykové body dvoch rovnobežných dotyčníc hyperboly tvoria úsečku, ktorej koncové body ležia na hyperbole, a ktorej stred je stred hyperboly.

Sečnica hyperboly

Priamka, ktorá nie je dotyčnicou hyperboly, nemá smer jej asymptôt a má s hyperbolou spoločný aspoň jeden bod, pretína hyperbolu aj v ďalšom spoločnom bode. Každá priamka prechádzajúca stredom hyperboly a pretínajúca hyperbolu v dvoch rôznych bodoch, sa nazýva priemer. Vzdialenosť priesečníkov hyperboly s jej ľubovoľným priemerom sa mení v intervale [a, ], kde a je hlavná polos hyperboly.

DEFINÍCIA 3.
Dva priemery hyperboly nazývame združené priemery, keď pre ne platí: dotyčnice hyperboly v koncových bodoch jedného priemeru sú rovnobežné s druhým.

hyp08

POZNÁMKA: Hlavná a vedľajšia os hyperboly sú jediným párom združených priemerov hyperboly, ktoré sú na seba kolmé .

Hyperbola ako kolineárny obraz kružnice

Stredová kolineácia je určená stredom S a osou o (ktorá je množinou všetkých samodružných bodov zobrazenia), a dvojicou odpovedajúcich si bodov Ω Ω', kde Ω je spoločný bod dotyčníc kružnice v bodoch, ktoré sa zobrazia do nevlastných bodov hyperboly, teda jeho obraz Ω' je stred hyperboly. Uvedené dotyčnice kružnice sa zobrazia do asymptôt hyperboly. Tetiva kružnice AB prechádzajúca bodom Ω sa zobrazí na hlavnú os hyperboly prechádzajúcu bodom Ω' a obsahujúcu hlavné vrcholy A' a B'.

hyk

Hyperbola v karteziánskej súradnicovej sústave

Keď umiestnime hyperbolu do euklidovskej roviny s definovanou karteziánskou súradnicovou sústavou (O, x, y) tak, že stred hyperboly S je v začiatku súradnicovej sústavy O a ohniská F 1 a F2 ležia na zápornej a kladnej časti súradnicovej osi x, potom analytickú rovnicu hyperboly môžeme vyjadriť nasledujúcim spôsobom.
VETA 4.
Rovnica hyperboly s ohniskami F 1=(-e, 0) a F= (e,0) 2 je

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ,

kde a je hlavná polos, b vedľajšia polos, a platí e2 =a2+b 2.

hyp09

Dôkaz: Nech P=( xP,y P) je ľubovoľný bod hyperboly. Potom platí

| F P 1 | - | F 2 P | = 2 a

z čoho vyplýva

( x P + e ) 2 + y P 2 - ( x P - e ) 2 + y P 2 = 2 a

( x P + e ) 2 + y P 2 = 2 a + ( x P - e ) 2 + y P 2

Umocnením dostávame

x P 2 + 2 e x P + e 2 + y P 2 = 4 a 2 + 4 a ( x P - e ) 2 + y P 2 + x P 2 - 2 e x P + e 2 + y P 2

4 e x P - 4 a 2 = 4 a ( x P - e ) 2 + y P 2

e x P - a 2 = a ( x P - e ) 2 + y P 2

a po umocnení dostávame

e 2 x P 2 - 2 e a 2 x P + a 4 = a 2 ( x P 2 - 2 e x P + e 2 + y P 2 )

a 4 - a 2 e 2 = ( a 2 - e 2 ) x P 2 + a 2 y P 2

a 2 ( a 2 - e 2 ) = ( a 2 - e 2 ) x P 2 + a 2 y P 2

Keďže e2 =a2+ b2, potom e2 -a2=b 2, a rovnicu možno zapísať v tvare

- a 2 b 2 = - b 2 x P 2 + a 2 y P 2

Po vydelení rovnice výrazom a2 b2 dostávame požadovanú rovnicu hyperboly

1 = x P 2 a 2 - y P 2 b 2

Naopak, ak súradnice ľubovoľného bodu P=(x,y ) vyhovujú rovnici

x2 a2- y2b 2=1

platí

| F P 1 | + | F 2 P | = 2 a

a bod leží na hyperbole s ohniskami F=( -e,0), F2= (e,0)1

POZNÁMKA: Ak a a b sú kladné čísla, rovnica uvedená vo vete sa nazýva rovnicou hyperboly v stredovom tvare, pričom stred hyperboly je v začiatku súradnicovej sústavy O a hlavná os hyperboly je v horizontálnej polohe v súradnicovej osi x. Rovnica hyperboly s tým istým stredom a vertikálnou hlavnou osou v súradnicovej osi y má tvar

- x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

hyp010

VETA 5.
Nech je hyperbola so stredom S v začiatku súradnicovej sústavy, hlavnou polosou a, vedľajšou polosou b a s osami v súradnicových osiach x a y posunutá tak, že stred je v bode S=(m,n ). Rovnica posunutej hyperboly je v stredovom tvare

( x - m ) 2 a 2 - ( y - n ) 2 b 2 = 1, ak je hlavná os horizontálna ;

- ( x - m ) 2 b 2 + ( y - n ) 2 a 2 = 1, ak je hlavná os vertikálna.

hyp011

Určiť vzájomnú polohu priamky a hyperboly daných rovnicami znamená nájsť súradnice ich spoločných bodov, ktoré vyhovujú rovniciam oboch geomerických útvarov. Súradnice priesečníkov priamky a hyperboly sú riešením sústavy rovníc o dvoch neznámych x a y.

Rovnica sečnice hyperboly

Ak je rovnica priamky v tvare

y = k x + q

a rovnica hyperboly v stredovom tvare je

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

po dosadení za y dostávame z druhej rovnice

x 2 a 2 - ( k x + q ) 2 b 2 = 1

b 2 x 2 - a 2 ( k x + q ) 2 - a 2 b 2 = 0

( b 2 - a 2 k 2 ) x 2 - 2 a 2 k q x - a 2 q 2 - a 2 b 2 = 0

z čoho dostávame riešenie predstavujúce súradnice dvoch priesečníkov

x 1,2 = a 2 k q a b b 2 + q 2 - a 2 k 2 b 2 - a 2 k 2

y 1 = k x 1 + q , y 2 = k x 2 + q

Rovnica dotyčnice hyperboly

VETA 6.
Priamka y=kx+q je dotyčnicou hyperboly x2 a2-y 2b2= 1 iba vtedy, ak platí

b 2 + q 2 - a 2 k 2 = 0

Dôkaz: Ak má mať kvadratická rovnica, ktorej riešením sú súradnice priesečníkov priamky a hyperboly, jediné riešenie, diskriminant tejto rovnice musí byť nulový, preto platí uvedená nerovnosť.

Dôsledok 1.
Priamka y=kx+q nemá žiadne spoločné body s hyperbolou x2 a2- y2b2 =1 iba vtedy, keď platí nerovnosť

b 2 + q 2 - a 2 k 2 < 0

Dôkaz: Uvedená nerovnosť predstavuje podmienku, ktorá zaručuje záporné znamienko diskriminantu kvadratickej rovnice, ktorá tak nemá žiadne reálne riešenie x1, 2 vedúce ku súradniciam priesečníkov priamky a hyperboly. Priamka je preto nesečnicou hyperboly.

Hyperbola v afinnej rovine

V afinnej rovine s definovanou homogénnou súradnicovou sústavou, možno hyperbolu určiť ako kolineárny obraz kružnice v špeciálnej projektívnej transformácii.

Nech je kružnica k(O, r) so stredom v začiatku súradnicovej sústavy O a polomerom r určená bodovou funkciou

R ( u ) = ( r cos φ u , r sin φ u , 1 ) , pre u [ 0, 1 ] , φ = 2 π

Stredová kolineácia s osou v súradnicovej osi x, stredom S=(0, s, 1) a dvojicou odpovedajúcich si bodov

( 0, d , 1 ) ( 0, d - s , 0 )

je reprezentovaná maticou

T = ( d 0 0 0 d - s - 1 0 0 d )

Kolineárnym obrazom kružnice v danej kolineácii je hyperbola určená bodovou funkciou

P ( u ) = R ( u ) . T = ( r d cos φ u , r ( d - s ) sin φ u , d - r sin φ u ) =

= ( r d cos φ u d - r sin φ u , r ( d - s ) sin φ u d - r sin φ u , 1 ) , pre u [ 0, 1 ] - { u 1 , u 2 } , φ = 2 π

kde u[0, 1 ]-{u1, u2}, u1=arcsind rφ, u2=π -arcsindr φa φ=2π.

Hyperbola má vertikálnu hlavnú os v súradnicovej osi y a hlavné vrcholy

(0, r (s-d)r+ d, 1), (0, r(d-s) d-r, 1), stred Ω= (0, rd(d-s )d2-r 2, 1), a hlavnú polos a= r2(d- s)d2- r2.

hykol

Lemma 1.
Vzájomná poloha priamky a kružnice je invariantná vzhľadom na kolineárne zobrazenia, v ktorých sa kružnica zobrazí do hyperboly v tej istej polohe k obrazu danej priamky, v akej je daná priamka ku pôvodnej kružnici.
Dôsledok 2.
Dotyčnice kružnice sa zobrazia do dotyčníc hyperboly, ktorá je obrazom kružnice v danej kolineácii.
Dôsledok 3.
Priesečníky priamky a kružnice sa zobrazia do priesečníkov kolineárneho obrazu priamky a hyperboly, ktorá je obrazom kružnice v danej kolineácii.

Posledné dva dôsledky sa používajú pri konštrukcii dotyčnice hyperboly v danom smere alebo daným bodom, a pri konštrukcii priesečníkov priamky a hyperboly.

Hyperbola ako rez kužeľovej plochy

Rez rotačnej kužeľovej plochy rovinou, ktorá je rovnobežná s dvoma tvoriacimi priamkami plochy, je hyperbola s asymptotami v smere týchto priamok plochy.

rezhyp

Hyperbola ako perspektívny obraz kružnice

Hyperbolu možno definovať ako obraz kružnice v špeciálnej projektívnej transformácii - stredovej kolineácii určenej medzi dvoma rezovými rovinami kužeľovej plochy so stredom S vo vrchole V plochy. Dve rezové roviny, rovina riadiacej kružnice kolmá na os plochy a rovina rezovej hyperboly sa pretínajú v osi kolineácie oK, ktorá je množinou všetkých samodružných bodov priestoru vzhľadom na danú transformáciu.