Kužeľosečky

RNDr. Dagmar Szarková

Obsah

Úvod

1. Definície, označenia a ohniskové konštrukcie kužeľosečiek

1.1. Elipsa

Pojmy a ich označenie

Ohnisková konštrukcia elipsy

Hyperoskulačné kružnice elipsy

1.2. Hyperbola

Pojmy a ich označenie

Ohnisková konštrukcia hyperboly

Hyperoskulačné kružnice hyperboly

1.3. Parabola

Pojmy a ich označenie

Ohnisková konštrukcia paraboly

Hyperoskulačné kružnice paraboly

2. Bod a kužeľosečka

3. Priamka a kužeľosečka

Vety o dotyčniciach

Úlohy o elipse: {R,¹F,²F,a}, {s,¹F,²F,a}

Úlohy o parabole: {¹t,¹T,²t,²T}, {M,V,s}

4. Ďalšie vlastnosti a konštrukcie kužeľosečiek

4.1. Elipsa

Zástavková (trojuholníková) konštrukcia elipsy {a,b}

Prúžková konštrukcia elipsy {A,B,M}

Rytzova konštrukcia elipsy {KL,MN}

4.2. Hyperbola

Úlohy o hyperbole {¹as,²as,M}

 

Koniec stránky – zdrojový tvar textu kuzelosečky.doc – Word97

 

Úvod

          Kužeľosečky sú rovinné krivky druhého stupňa, ktoré delíme na

a)   regulárne kužeľosečky: elipsa, parabola hyperbola;

b)   singulárne kužeľosečky: bod, priamka, dve priamky.

Všetky typy kužeľosečiek môžeme získať ako rezy kužeľovej plochy rovinou.

a)   Ak rezová rovina neprechádza vrcholom, rezom kužeľovej plochy je regulárna kužeľosečka.

b)   Ak je rezová rovina vrcholová (prechádza vrcholom), rezom kužeľovej plochy je singulárna kužeľosečka.

          V analytickej geometrii ste sa zoznámili s rovnicami kužeľosečiek. Pre zopakovanie si uvedieme definície, dôležité pojmy a ich označovanie. Osvojíme si ohniskové konštrukcie, ktoré vychádzajú z definícií, ako i ďalšie konštrukcie, ktoré umožňujú narysovať kužeľosečky rýchlejšie ako bodové ohniskové konštrukcie. Uvedieme tiež úlohy, ktoré technik v praxi najčastejšie potrebuje.

 

1.     Definície, označenia a ohniskové konštrukcie kužeľosečiek

1.1.  Elipsa

Definícia:  Elipsa je množina všetkých bodov v rovine E₂, ktoré majú od dvoch rôznych bodov ¹F, ²F stály súčet vzdialeností rovný 2a, pričom 2a>|¹F²F|.

 

(1)               Symbolický zápis:  elipsa = {XÎ E₂; |X¹F|+|X²F|=2a, 2a>|¹F²F|}                             

 

<Späť na Obsah, Bodová konštrukcia elipsy>

 

Pojmy a ich označenie (obr.1)

¹F, ²F – ohniská

¹o – hlavná os (¹o=¹F²F)

²o – vedľajšia os (os úsečky ¹F²F)

 S – stred

 A, B – hlavné vrcholy

 C, D – vedľajšie vrcholy

 a – dĺžka hlavnej polosi          a=|AS|=|BS|

 b – dĺžka vedľajšej polosi       b=|CS|=|DS|

 e – excentricita                       e=|¹FS|=|²FS|

 D¹FSC - charakteristický trojuholník

 

 

 

       Dĺžky a, b reprezentujú konštanty v rovnici elipsy

        

       so stredom S(m;n) .

       Vzťah medzi dĺžkami a, b vyjadruje Pytagorova veta

            a²=b²+e².

 

<Späť na Obsah>

Zahradnícka konštrukcia elipsy:

 

Ohnisková konštrukcia elipsy (obr.2)

          Dané sú ohniská ¹F, ²F a úsečka KL dĺžky 2a, 2a>|¹F²F|. Zostrojme elipsu ako množinu bodov s vlastnosťou (1).

            Úsečku KL je vhodné umiestniť na os ¹o tak, aby sa jej stred stotožnil so stredom úsečky ¹F²F, potom krajné body K, L sa stotožnia s hlavnými vrcholmi A, B elipsy. Bod 1 a ďalšie pomocné body volíme medzi bodmi ¹F a S.

          Body elipsy získame v prieniku kružníc: ¹kDzk={¹M,²M}, ¹k´Ç²k´={³M,⁴M}, pričom

          ¹r=|A1|, ²r=|B1|,

          ¹k(¹F;¹r), ¹k´(²F;¹r),

          ²k(²F;²r), ²k´(¹F;²r).

Každý z bodov ⁱM, i=1,...,4 spĺňa vlastnosť:

          |ⁱM¹F|+|ⁱM²F|=2a,

je teda bodom elipsy. Vhodnou voľbou ďalších pomocných bodov a opakovaním konštrukcie získame nové štvorice bodov elipsy.

          Z konštrukcie vyplýva, že elipsa je súmerná podľa osí ¹o, ²o i podľa stredu S.

 

 

          Je užitočné osvojiť si konštrukciu kužeľosečiek pomocou hyperoskulačných kružníc, ktorú technici veľmi často používajú.

Hyperoskulačné kružnice nám nahrádzajú oblúky kužeľosečiek v malom okolí ich vrcholov. (obr.3)

          Ak skombinujeme ohniskovú konštrukciu kužeľosečky s hyperoskulačnými kružnicami, získame veľmi dobrý základ pre dorysovanie kužeľosečky pomocou krívidla.

 

<Späť na Obsah>

 

Hyperoskulačné kružnice elipsy (obr.3)

Úloha č. 1:  Zostrojte elipsu, ktorá je daná dĺžkou hlavnej polosi a a dĺžkou vedľajšej polosi b, pomocou hyperoskulačných kružníc.

 

Riešenie: (obr.3)

Priesečníky E a G kružníc k(A,b) a l(C,a) určujú priamku, ktorá pretína osi ¹o, ²o v stredoch ¹O, ²O  hyperoskulačných kružníc  pre vrcholy A a C.

Kružnicové oblúky

¹h(¹O;| ¹OA|), ²h(²O; |²OC|), a ¹h´, ²h´,

ktoré sú ich obrazmi v stredovej súmernosti so stredom S, umožnia rýchle narysovanie elipsy pomocou krividla.

Kružnicové oblúky ¹h, ¹h´, sú celé znútra, oblúky ²h, ²h´, celé zvonka elipsy.

 

<Späť na Obsah, alebo naposledy čítaný text>

 

1.2.  Hyperbola

Definícia: Hyperbola je množina všetkých bodov v rovine E₂, ktoré majú od dvoch rôznych bodov ¹F, ²F stály rozdiel vzdialeností rovný 2a, pričom 0<2a<|¹F²F|.

 

(2)               Symbolický zápis:  hyperbola = {XÎ E ₂; ||X¹F|–|X²F||=2a, 0<2a<|¹F²F|}                     

 

<Späť na Obsah, Bodová konštrukcia hyperboly>

 

Pojmy a ich označenie (obr.4)

¹F, ²F – ohniská

       ¹o – hlavná os (¹o=¹F²F)

       ²o – vedľajšia os (os úsečky ¹F²F)

        S – stred

        A, B – hlavné vrcholy

        a – dĺžka hlavnej polosi               a=|AS|=|BS|

        b – dĺžka vedľajšej polosi           b=|CS|=|DS|

        e – excentricita                            e=|¹FS|=|²FS|

        D IAS – charakteristický trojuholník

        ˙ IJGH – charakteristický obdĺžnik

       ¹as, ²as – asymptoty

          Body C, D na vedľajšej osi nepatria hyperbole. Sú stredmi protiľahlých strán charakteristického obdĺžnika IJHG, ktorý umožní ľahko zostrojiť asymptoty hyperboly:

¹as=IS, ²as=JS.

 

Rovnica

vyjadruje hyperbolu so stredom S(0;0) a hlavnou osou ¹o v x-ovej súradnicovej osi.

Asymptoty uvedenej hyperboly majú rovnice 

         

Rovnica          

        

vyjadruje hyperbolu so stredom  S(m;n) a hlavnou sou ¹o rovnobežnou s x-ovou súradnicovou osou.

       Z charakteristického trojuholníka IAS hyperboly vyplýva vzťah, ktorý vyjadruje Pytagorova veta: e²= a²+b².

 

 

<Späť na Obsah>

 

Ohnisková konštrukcia hyperboly (obr.5)

Dané sú ohniská ¹F, ²F a úsečka KL dĺžky 2a, 2a<|¹F²F|.  Zostrojme hyperbolu ako množinu bodov s vlastnosťou (2).

          Úsečku KL je vhodné umiestniť na priamku ¹o tak, aby sa jej stred stotožnil so stredom úsečky ¹F²F, potom krajné body K, L sa stotožnia s hlavnými vrcholmi A, B hyperboly. Bod 1 a ďalšie pomocné body volíme z vnútorných bodov na polpriamke opačnej k polpriamke ¹FS.

          Priesečníky kružníc:

 ¹kDzk={¹M,²M}, ¹k´Ç²k´={³M,⁴M}

sú bodmi hyperboly, pričom

          ¹r=|A1|, ²r=|B1|,

          ¹k(¹F;¹r), ¹k´(²F;¹r),

          ²k(²F;²r), ²k´(¹F;²r).

Každý z bodov ⁱM, i=1,...,4 spĺňa vlastnosť: ||ⁱM¹F|–|ⁱM²F||=2a, je teda bodom hyperboly.

       Z konštrukcie vyplýva, že hyperbola je súmerná podľa osí ¹o, ²o i podľa stredu S.

 

<Späť na Obsah>

 

 

Bodová konštrukcia hyperboly:

 

Hyperoskulačné kružnice hyperboly (obr.6)

 

Kolmice na asymptoty prechádzajúce vrcholmi charakteristického obdĺžnika pretínajú hlavnú os ¹o v strede ¹O, ²O  hyperoskulačných kružníc.

Kružnicové oblúky

¹h(¹O;|¹OA|), ²h(²O;|²OB|)

sú celé znútra oblúka hyperboly (obr.6).

 

<Späť na Obsah>

 

1.3.  Parabola

Definícia:  Parabola je množina všetkých bodov v rovine E₂, ktoré majú rovnaké vzdialenosti od danej priamky d a od daného bodu F, pričom FĎd.

(3)               Symbolický zápis:  parabola = {XÎ E₂; |Xd|=|XF|, FĎd}

 

Pojmy a ich označenie (obr.7)

F – ohnisko

d – riadiaca priamka   

p – parameter paraboly           p=|Fd|

o – os                         FÎo Ů o^d

V – vrchol                   VÎo Ů |Vd|=|VF|

 

 

         <Späť na Obsah, Bodová konštrukcia paraboly>

 

 

 

 

 

 

Ohnisková konštrukcia paraboly (obr.8)

       Dané je ohnisko F a riadiaca priamka d.

Na polpriamke VF zvoľme bod 1. Body paraboly sú v prieniku pomocnej kružnice

¹k(F;|1d|), s priamkou ¹l prechádzajúcou bodom 1 a rovnobežnou s riadiacou priamkou d

             ¹kǹl={¹M,²M}.

Body ¹M, ²M spĺňajú vlastnosť (3) , preto sú bodmi paraboly.

Voľbou ďalších pomocných bodov z polpriamky VF a opakovaním konštrukcie popísanej pre pomocný bod 1 získame ďalšie dvojice bodov paraboly.

          Parabola je súmerná podľa osi o, ako vyplýva z konštrukcie jej bodov ¹M, ²M

 

          Parabola s osou o rovnobežnou s  x-ovou súradnicovou osou a s vrcholom V(m;n) má rovnicu

(y–n)²= 2p(x–m),

resp. (y–n)²=–2p(x–m), ak ohnisko je vľavo od vrchola.

 

<Späť na Obsah>

 

Hyperoskulačná kružnica paraboly (obr.8)

       Hyperoskulačná kružnica  h(O;p=|Fd|) pre vrchol paraboly má stred O na osi o a polomer rovný dĺžke parametra p paraboly, leží celá znútra oblúka paraboly.

 

<Späť na Obsah>

 

 

Parabolu s riadiacou priamkou d a ohniskom F možno vnímať tiež ako množinu stredov všetkých kružníc, ktoré sa dotýkajú priamky d a prechádzajú bodom F (obr.9).

 

 

<Späť na Obsah>

 

 

 

 

 

 

 

2.      Bod a kužeľosečka

     Vnútorné body kužeľosečky sú tie, ktoré ležia spolu s ohniskami v oblasti ohraničenej kužeľosečkou.

     Ostatné body roviny, okrem bodov kužeľosečky, sú vonkajšie body kužeľosečky.

 

<Späť na Obsah>

 

3.      Priamka a kužeľosečka (obr.10-12)

     Nesečnica je priamka, ktorá obsahuje iba vonkajšie body kužeľosečky (v obr.10-12 – priamka q).

     Sečnica je priamka, ktorá má s kužeľosečkou 2 rôzne spoločné body (v obr.10-12 – priamka g).

Každá priamka, ktorá je rovnobežná s asymptotou  hyperboly, má s hyperbolou jeden spoločný bod (v obr.11 – priamka c).

     Dotyčnica je priamka t , ktorá má s kužeľosečkou iba jeden spoločný bod T (dotykový bod) a ostatné jej body sú vonkajšie.

     Tetiva je úsečka s krajnými bodmi na kužeľosečke, ktorej vnútorné body sú vnútornými bodmi kužeľosečky (v obr.10-12 – úsečka XY).

     Priemer stredovej kužeľosečky je úsečka, ktorá obsahuje stred a krajné body má na kužeľosečke (v obr.10-11 – úsečka TL).

Priemer paraboly je polpriamka q rovnobežná s osou o paraboly, ktorej začiatok je bodom paraboly a je súhlasne orientovaná s polpriamkou VF (obr.12).

 

     Združené priemery sú dvojicou priemerov s takou vlastnosťou, že dotyčnice v krajných bodoch jedného priemeru sú rovnobežné s druhým priemerom (obr.10).

Existuje iba jeden pár združených priemerov na seba kolmých, ktoré ležia na hlavnej a vedľajšej osi – AB je najväčší a CD najmenší zo všetkých priemerov danej elipsy (obr.28).

 

<Späť na Obsah, alebo Vzájomnú polohu priamky a kužeľosečky>

 

Vety o dotyčniciach (obr.13-15)

Sprievodiče ¹s, ²s sú priamky, ktoré spájajú bod kužeľosečky s jej ohniskami (obr.13-14).

Aby sme vety o dotyčniciach kužeľosečiek mohli formulovať všeobecnejšie, je účelné zaviesť pojem druhého sprievodiča bodu paraboly – budeme ním rozumieť priamku ²s, ktorá prechádza bodom paraboly a je rovnobežná s jej osou (obr.15).

Vonkajším uhlom sprievodičov budeme nazývať uhol, ktorý obsahuje hlavný vrchol.

Vnútorný uhol sprievodičov je susedný k vonkajšiemu uhlu sprievodičov.

V hlavnom vrchole obidva sprievodiče splývajú do jednej priamky. Za vonkajší uhol pokladáme ktorýkoľvek z obidvoch priamych uhlov, ktorých ramená splývajú s hlavnou osou.    

 

Veta 1:  Dotyčnica rozpoľuje vonkajší uhol sprievodičov dotykového bodu (obr.13-15).

Veta 2:  Normála je kolmica na dotyčnicu v dotykovom bode (rozpoľuje vnútorný uhol sprievodičov dotykového bodu) (obr.13-15).

Veta 3:  (o bodoch Q) Množina všetkých bodov Q súmerne združených s jedným ohniskom elipsy (hyperboly) podľa jej dotyčníc je kružnica so stredom v druhom ohnisku a polomerom 2a (obr.13-14). 

<Späť na Obsah, alebo Úlohu č.2, Úlohu č.3, Úlohu č.4>

Bod ¹Q je bod súmerne združený s ohniskom ¹F podľa dotyčnice t, ¹Qιf(²F;2a) ;

bod ²Q je bod súmerne združený s ohniskom ²F podľa dotyčnice t, ²Qβf(¹F;2a).

Kružnice ¹f, ²f nazývame riadiacimi kružnicami.

Spojnica bodu ⁱQ (i=1,2) so stredom riadiacej kružnice, na ktorej leží, pretína dotyčnicu v jej dotykovom bode.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<Späť na Obsah, alebo Vetu 1, Vetu 2, Vetu 3, Vetu 4, Obr.15>

Veta 4:  (o bodoch P) Množina všetkých piat P kolmíc vedených ohniskom na dotyčnice elipsy (hyperboly) je kružnica v so stredom S a polomerom rovným dĺžke hlavnej polosi a, ktorú nazývame vrcholovou kružnicou v(S;a) (obr.13-14).

<Späť na Obsah, alebo Úlohu č.3>

 

Veta 3´: (o bodoch Q)  Množina všetkých bodov Q súmerne združených s ohniskom paraboly podľa jej dotyčníc je jej riadiaca priamka d (obr.15).

 

Veta 4´: (o bodoch P)  Množina všetkých piat P kolmíc vedených ohniskom na dotyčnice paraboly je jej vrcholová dotyčnica v (t.j. dotyčnica vo vrchole V) (obr.15).

 

 

<Späť na Obsah, alebo Vetu 1, Vetu 2, Úloha č.4>

 

 

 

 

Subtangentou budeme nazývať dĺžku úsečky |XT₁|, ktorá je určená priesečníkom X dotyčnice paraboly s jej osou a pätou T₁ kolmice z bodu T na os paraboly (obr.16).

Subnormálou budeme nazývať dĺžku úsečky |YT₁|, ktorá je určená priesečníkom Y normály paraboly s jej osou a pätou T₁ kolmice z bodu T, ktorým normála prechádza, na os paraboly (obr.16).

Veta 5:  Vrchol rozpoľuje subtangentu – |XV|=|VT₁| (obr.16).

Veta 6:  Dĺžka subnormály sa rovná parametru paraboly p=|T₁Y| (obr.16).

 

<Späť na Obsah, alebo Úlohu č.5, Úlohu č.6>

 

 

 

 

 

Veta 7:  Ohnisko rozpoľuje úsečku, ktorá je súčtom subtangenty a subnormály. |QT|=|XF|=|FY| (obr.17)

<Späť na Obsah, alebo Úloha č.6>

 

 

 

 

 

 

Veta 8:  Spojnica priesečníka dvoch rôznych dotyčníc ¹t, ²t paraboly so stredom tetivy určenej ich dotykovými bodmi ¹T, ²T je rovnobežná s osou paraboly. (obr.18)

<Späť na Obsah, alebo Úlohu č.4>

 

 

 

 

V praxi sa veľmi často stretávame s úlohou narysovať dotyčnice z bodu k elipse (napr.obrysové tvoriace priamky kužeľovej plochy), resp. narysovať dotyčnice rovnobežné s daným smerom (napr. obrysové tvoriace priamky valcovej plochy).

Úloha č. 2: Zostrojte dotyčnice k elipse z jej vonkajšieho bodu R . Elipsa je daná ohniskami ¹F,²F a dĺžkou hlavnej polosi a.(obr.19)

Rozbor: Pre bod ¹Q, ktorý je súmerne združený s ohniskom ¹F podľa hľadanej dotyčnice t  musí platiť: |¹QR|=|¹FR|. Z toho vyplýva, že ¹Q leží na kružnici k(R;|R¹F|).

Podľa vety 3 (o bodoch Q) bod ¹Q musí ležať na riadiacej kružnici ¹f(²F;2a).

Riešenie: Body ¹Q a ¹Q´ nájdeme v prieniku kružníc k a ¹f.

Dotyčnice t a t´ prechádzajú bodom R a sú osami úsečkiek ¹F¹Q a ¹F¹Q´.

Dotykové body T a T´ získame v prieniku dotyčnice t resp. t´ so spojnicou bodu ¹Q resp. ¹Q´ so stredom ²F riadiacej kružnice ¹f.

 

 

 

 

 

Úloha č. 3: Zostrojte dotyčnice k elipse rovnobežné s daným smerom s. Elipsa je daná ohniskami ¹F,²F a dĺžkou hlavnej polosi a.(obr.20)

Rozbor: Pre bod ¹Q, ktorý je súmerne združený s ohniskom ¹F podľa hľadanej dotyčnice t  musí platiť, že leží na kolmici k zostrojenej z ohniska ¹F na daný smer s, kde leží aj bod P – päta kolmice na dotyčnicu t. Podľa vety 4 (o bodoch P) bod P leží aj na vrcholovej kružnici v(S;a).

Podľa vety 3 (o bodoch Q) bod ¹Q musí ležať na riadiacej kružnicici ¹f(²F;2a).

Riešenie: Body ¹Q a ¹Q´ nájdeme v prieniku kolmice k a kružnice ¹f a body P a P´ jako prienik kolmice k a kružnice v.

Dotyčnica t, resp. t´ prechádza bodom P, resp. P´ a je rovnobežná s daným smerom s.

Dotykový bod T , resp. T´ získame v prieniku priamky ²F¹Q, resp. ²F¹Q´ s dotyčnicou t, resp. t´.

 

Poznámka:  Úlohy o konštrukcii dotyčníc zostrojených z daného vonkajšieho bodu R alebo dotyčníc rovnobežných s daným smerom s k hyperbole (parabole) sa riešia analogicky ako úloha č.2 alebo úloha č.3. Pre parabolu využijeme namiesto vety 3 a 4 vetu 3´ a 4´.

Veľmi často stojíme pred úlohou zostrojiť parabolu, ktorá je daná dvoma dotyčnicami s ich dotykovými bodmi.

 

Úloha č. 4: Zostrojte parabolu, ak poznáte dotyčnice ¹t, ²t  s dotykovými bodmi ¹T, ²T.

 

Riešenie: 1) Pre vyhľadanie smeru osi s paraboly použijeme vetu 8 (obr.21).

V bodoch ¹T a ²T zostrojíme sprievodiče ²s, ²s´, ktoré sú rovnobežné s vyhľadaným smerom osi s paraboly.

Podľa vety 1 vieme zostrojiť sprievodiče ¹s, ¹s´ v týchto bodoch.

Sprievodiče ¹s, ¹s´ sa pretnú v ohnisku F, ktorým prechádza os o rovnobežne s vyhľadaným smerom s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Úlohu č.4 môžeme riešiť aj pomocou lichobežníkovej metódy hľadania vrchola paraboly (obr.22).

Kolmica k v bode R (R=¹tDzt) na smer s vyhľadaný podľa vety 8, pretne sprievodiče ²s, ²s´ v bodoch 1 a 2. Takto získame lichobežník 1¹T²T2, ktorého uhlopriečky sa pretnú vo vrchole V hľadanej paraboly.

Os o prechádza vrcholom V rovnobežne s vyhľadaným smerom s.

Podľa vety 4´ päty ¹P a ²P kolmíc ¹k a ²k zostrojených z ohniska F na dotyčnice ležia na vrcholovej dotyčnici v, preto ju vieme zostrojiť. Ohnisko F je v priesečníku kolmíc ¹k, ²k, resp. v priesečníku jednej z nich s osou o.

Riadiacu priamku d, ktorá je kolmá na os paraboly nájdeme pomocou ohniskovej vlastnosti paraboly (|Vd|=|VF|) resp. pomocou vety 3´ body ¹Q a ²Q, pre ktoré platí: |¹Q¹P|=|¹PF|, |²Q²P|=|²PF|, ležia na riadiacej priamke d).

 

 

Úloha č. 5:  Zostrojte dotyčnicu paraboly v jej danom bode M, ak poznáte vrchol V a smer s osi paraboly. (obr.23)

 

Riešenie: Na osi o, ktorá prechádza bodom V a je rovnobežná s daným smerom s, nájdeme kolmý priemet M₁ dotykového bodu M.

Podľa vety 5 (o subtangente) vieme zostrojiť priesečník X osi o a hľadanej dotyčnice ako obraz bodu M₁ v stredovej súmernosti podľa bodu V.

Priamka MX je hľadaná dotyčnica m paraboly v danom bode M.

 

 

 

 

 

 

 

 

Úloha č. 6:  Zostrojte vrchol V, ohnisko F a riadiacu priamku d už narysovanej paraboly.

 

Riešenie: (obr.24) Zostrojíme dve rovnobežné tetivy, ktorých spojnica stredov ¹O, ²O určí smer s osi o paraboly.

Os o bude prechádzať stredom O tetivy kolmej na smer osi a bude rovnobežná s vyhľadaným smerom s. Os o pretne parabolu v jej vrchole V.

Zostrojíme pätu T₁ kolmice z ľubovoľného bodu T paraboly na os o. Bod X, ktorý je obrazom bodu T₁ v stredovej súmernosti podľa vrchola V nám umožní zostrojiť dotyčnicu t= XT – podľa vety 5 (o subtangente).

Normála n v bode T pretne os o v bode Y. Podľa vety 7 je ohnisko F stredom úsečky XY. Pre zostrojenie riadiacej priamky d použijeme vetu 6 (o subnormále) - |T₁Y|=p, teda p=|Fd|=|DF|.

 

<Späť na Obsah>

 

4.      Ďalšie vlastnosti a konštrukcie kužeľosečiek

4.1.  Elipsa

Zástavková (trojuholníková) konštrukcia elipsy (obr.25) s animáciou

Ak je elipsa daná polohou osí ¹o, ²o a dĺžkami polosí a, b, môžeme pre konštrukciu jej bodov využiť zástavkovú (trojuholníkovú) konštrukciu, ktorá využíva dvojakú afinitu medzi:

1)   elipsou k a kružnicou k´(S;a) so smerom afinity ²o

2)   elipsou k a kružnicou k´´(S;b) so smerom afinity ¹o

Veďme ľubovoľnú polpriamku q so začiatkom S v strede elipsy a označme M´ jej priesečník s kružnicou k´ a M´´ s kružnicou k´´. Spojnica bodov

MM´ musí byť rovnobežná so smerom ²o prvej afinity, a súčasne MM´´ musí byť rovnobežná so smerom ¹o druhej afinity. Zostrojený bod M elipsy je preto vrcholom pravouhlého trojuholníka s preponou M´M´´. Popísaným spôsobom môžeme zostrojiť ľubovoľný počet bodov elipsy.

 

Poznámka č. 1: Vo vrcholoch elipsy sa pravouhlé trojuholníky degenerujú do úsečiek.

Poznámka č. 2: Z rovnobežníka SM´MV vyplýva |MV|=|M´S|=a a z rovnobežníka SM´´MH vyplýva |MH|=|M´´S|=b, ako je vidieť z obrázku 25.

Uvedené vzťahy sú zdôvodnením nasledujúcej rozdielovej prúžkovej konštrukcie.

 

<Späť na Obsah>

 

Prúžková konštrukcia elipsy (obr.26)

1. rozdielová
2. súčtová

Ak je elipsa daná polohou osí ¹o, ²o a dĺžkami polosí a, b, môžeme pre konštrukciu bodov elipsy využiť tiež rozdielovú alebo súčtovú konštrukciu:

Na prúžok papiera si vyznačíme bod M, od ktorého nanesieme dĺžku a (a=|MV|, alebo a=|MV´|) a dĺžku b (b=|MH|, alebo b=|MH´|), čím získame bod V (alebo V´)a bod H (alebo H´).

Umiestnime prúžok papiera tak, aby bod V bol na vedľajšej osi ²o a súčasne bod H na hlavnej osi ¹o; v mieste bodu M môžeme vyznačiť bod danej elipsy.

Pohybom prúžka papiera tak, že Hιo a súčasne Vβo, s následným vyznačením bodu M, získame body elipsy.

a)        Ak sme naniesli dĺžky a a b na tú istú polpriamku so začiatkom M, získali sme body H,V a dĺžku úsečky |HV|=a–b. V takom prípade hovoríme o rozdielovej konštrukcii.

 

b)        Ak sme naniesli dĺžky a a b na opačné polpriamky so začiatkom M, získali sme body H´,V´ a dĺžku úsečky |H´V´|=a+b. V takom prípade hovoríme o súčtovej konštrukcii.(obr.26).

 

        Uvedené konštrukcie bodov elipsy sú princípom mechanického zariadenia na kinematické vytvorenie (rysovanie) elipsy, tzv. elipsografu.

 

Úloha č. 7:  Zostrojte elipsu, ktorá je daná hlavnými vrcholmi A, B a bodom M elipsy.

 

Riešenie: (obr.27)

Pri hľadaní dĺžky vedľajšej polosi využijeme prúžkovú konštrukciu.

Kružnica k(M;a) pretne vedľajšiu os ²o v bodoch V a V´.

Ak spojíme bod M elipsy s bodom V, získame dĺžku vedľajšiej polosi b na základe rozdielovej prúžkovej konštrukcie.

Spojnica MV´ súvisí s konštrukciou dĺžky vedľajšej polosi b pomocou súčtovej prúžkovej konštrukcie.

Ak poznáme hlavné vrcholy elipsy a dĺžku b, môžeme pre narysovanie elipsy použiť ľubovoľnú z predchádzajúcich konštrukcií.

 

<Späť na Obsah>

 

 

Rytzova konštrukcia elipsy

V praxi sa často stretávame s úlohou zostrojiť elipsu, ktorá je daná združenými priemermi. Vzhľadom na vlastnosti združených priemerov ide v skutočnosti o úlohu vpísať elipsu do dotyčnicového rovnobežníka. Hoci zručný technik naškicuje elipsu bez väčších problémov, musí vedieť elipsu narysovať presne. Najvhodnejšií spôsob je osvojiť si Rytzovu konštrukciu (úloha č.8 – obr.28).

 

Úloha č. 8:  Zostrojte elipsu, ktorá je daná združenými priemermi KL, MN

 

Riešenie: (obr.28)

Nad jedným priemerom, napr. KL opíšeme polkružnicu k(S;|SK|).

Bodom S zostrojíme kolmicu q, ktorá pretne kružnicu k v bode G.

Nájdeme stred O úsečky GM (M je bližší z koncových bodov druhého priemeru).

Kružnica l(O;|OS|) pretne priamku GM v bode H a V.

Dĺžka hlavnej polosi a=|VM|=|GH|, dĺžka vedľajšej polosi b=|HM|=|GV|.

Hlavná os elipsy ¹o=HS leží v ostrom uhle daných združených priemerov.

²o=VS je vedľajšía os elipsy.

 

<Späť na Obsah, alebo Združené priemery elipsy>

 

a.      Hyperbola

 

Veta 9:  Dĺžky úsečiek na priamke medzi bodmi hyperboly a priesečníkmi s asymptotami sú rovnaké: |ML|=|M´L´| (obr.29).

<Späť na Obsah, alebo Úlohu č.9>

Dôsledok:  Dotykový bod T dotyčnice t rozpoľuje úsečku tejto dotyčnice ohraničenú asymptotami (obr.29).

 

 

 

 

Veta 10:  Súčin úsečiek na priamke rovnobežnej s hlavnou osou hyperboly od bodu jednej asymptoty po priesečníky tejto priamky s hyperbolou sa rovná obsahu štvorca nad dĺžkou hlavnej polosi, t.j. |MK| . |KN|=a². (obr.30)

Veta 11:  Súčin úsečiek na priamke rovnobežnej s vedľajšou osou hyperboly od bodu hyperboly po priesečníky tejto priamky s asymptotami sa rovná obsahu štvorca nad dĺžkou vedľajšej polosi, t.j. |ML| . |ML´|=b². (obr.30)

<Späť na Obsah, alebo Úlohu č.9>

 

 

 

          Z týchto viet vyplýva jednoduchá konštrukcia hyperboly, ktorá je daná asymptotami a bodom hyperboly (úloha č.9), ktorú veľmi často potrebujeme pri riešení úloh rezov kužeľovej plochy a rezov na hyperboloidoch.

 

Úloha č. 9:  Narysujte hyperbolu, ak poznáte asymtoty ¹as, ²as a bod M, ktorý leží na hyperbole

 

Riešenie: (obr.31) Pri riešení použijeme buď vetu 10, alebo vetu 11.

Zostrojíme hlavnú os ¹o ako os toho uhla asymptôt, v ktorom leží bod M hľadanej hyperboly. Vedľajšia os ²o je na hlavnú os ¹o kolmá a prechádza stredom S=¹asDzas hyperboly.

1)  Ak použijeme vetu 10, zostrojíme bodom M priamku l, ktorá je rovnobežná s hlavnou osou ¹o a vyznačíme na nej bod N hyperboly (podľa vety 9).

Zostrojíme Talesovu kružnicu nad úsečkou MN. Kolmica zostrojená v bode K pretne Talesovu kružnicu vo vrchole Y pravouhlého trojuholníka NYM. Z Euklidovej vety o výške trojuholníka získame vzťah |M K | . | K N|=a², teda výška pravouhlého trojuhoníka NYM bude dĺžkou hlavnej polosi a. Pomocou charakteristického obdĺžnika ľahko zostrojíme dĺžku vedľajšej polosi b.

2)  Ak použijeme vetu 11, zostrojíme bodom M priamku q, ktorá je rovnobežná s vedľajšou osou ²o a priesečníky priamky q s asymptotami označíme L, L´.

Nad úsečkou LL´ zostrojíme Talesovu kružnicu, ktorá pretne priamku l v bode X. Z Euklidovej vety o výške trojuholníka získame vzťah |ML| . |ML´|=b², teda výška pravouhlého trojuhoníka LXL´ bude dĺžkou vedlajšej polosi b. Dĺžku a hlavnej polosi zostrojíme pomocou charakteristického obdĺžnika.

 

Tuto stránku si môžete nahrať ako doc-súbor Word97, ktorý je v komprimovanom tvare:

kuzelosecky.zip

 

 

<Späť na Obsah>

 

Posledná zmena: 5. aprila 2001