Přímkové plochy

Kamil Maleček¹, Dagmar Szarková^2
1FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR
²SjF STU Bratislava, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava, SR,
e-mail: szarkova@dekan.sjf.stuba.sk

Abstrakt

Obsahem článku je jeden neobvyklý způsob zadání přímkových ploch, který umožňuje snadnou konstrukci tvořicích přímek plochy. Tímto způsobem se dají zadávat a konstruovat plochy známé i nové nejen "ručně", ale především na počítači. Utvořili jsme univerzální program, pomocí kterého lze interaktivním přístupem modelovat plochy, jak je vidět na obrázcích uvedených v práci.

Klíčová slova: přímková plocha, rozvinutelná plocha, zborcená plocha.

Zadání přímkové plochy, konstrukce tvořicích přímek

Budeme pracovat v euklidovském prostoru E₃ opatřeném kartézskou soustavou souřadnic O, x₁, x₂, x₃ a ve vektorovém prostoru V(E₃), body prostoru E₃ budeme ztotožnovat s jejich průvodními vektory. Mějme dány vektorové funkce

funkce f a g jsou na intervalech I₁ a I₂ spojité a diferencovatelné, přičemž v I₁ a I₂ může existovat konečný počet bodů, v nichž derivace obou funkcí je nevlastní. Potom vektorové funkce y₁ a y₂ popisují křivky k₁ x₁x₃  a  k₂ x₂x₃ a nechť k₁ Ç k₂ = {0}.

Obr. 1

V rovine x₁x₂ = xy je dána křivka m vektorovou funkcí (2)

a pro každé  t ΠI  je

a

Uvažujeme v E₃ přímkovou plochu k , která je tvořena přímkami s parametrickým vyjádřením

Smerové vektory tvořicích přímek plochy jsou

Geometrická konstrukce tvořicí přímky p plochy  k  je velice jednoduchá (obr.1) :

a) Zvolme bod M, M Î m , a označme K₁ a L₁ jeho pravoúhlé průměty do os x₁ = x a x₂ = y

b) tvořicí přímka p je pak přímka KL, kde K₁ Πk₁, L₁ Πk₁ a K₁L₁jsou pravoúhlé průměty bodů K, L do roviny x₁x₂ .

Řez plochy k rovinou x₁x₂

Jestliže k₃ je křivka řezu plochy k rovinou x₁x₂ (x₃ = 0) , pak z (3) dostaneme její parametrické vyjádření .

(5)

Pokud pro nějaké  t ΠI , je g(y(t)) = f(x(t)), pak příslušná přímka p || x₁x₂ a její průsečík s rovinou x₁x₂ je nevlastní bod. 

Obálka pravoúhlých průmětu tvořicích přímek plochy k do roviny x₁x₂

Parametrické vyjádření průmětu tvořicích přímek je dáno prvními dvěma rovnicemi v (3), ze kterých vyloučíme parametr u :

Rovnici (6) zderivujeme podle parametru t : 

a z rovnic (6) a (7) dostaneme 

(8)

Pokud obálka existuje a je to křivka , pak rovnice (8) jsou jejím parametrickým vyjádřením. Singulární body křivky jsou body, v nichž průvodní vektor (x(t), y(t), 0) je lineárne závislý se směrovým vektorem tečny (x´(t), y´(t), 0) křivky m v bodě M .  Křivka  je zdánlivým obrysem plochy k v případě jejího pravoúhlého průmětu do roviny x₁x₂ . Z rovnic (8) je zrejmé toto tvrzení: 

Zdánlivý obrys plochy k v jejím pravoúhlém průmětu do roviny x₁x₂ závisí pouze na křivce m a nezávisí na křivkách k₁ a k₂ . 

Rozvinutelné a zborcené plochy k 

Tvořicí přímka plochy k je určena volbou parametru  t ΠI . Dosadíme-li do vektorových funkcí (1) z parametrického vyjádření (2) křivky m a zderivujeme-li vektorové funkce (1) podle argumentu t , tak 

y₁´(t) = (x´(t), 0, f´(t) x´(t))   a   y₂´(t) = (0, y´(t), g´(t) y´(t)) .

Pro zvolené  t ΠI  určují tyto vektorové funkce směrové vektory tečen křivek k₁ a k₂ . Aby tvořicí přímka byla torzální přímkou plochy k , musí být vektory  y₁´(t)  a  y₁´(t) a (4) lineárne závislé. Z této podmínky dostaneme rovnici

Pokud je rovnice (9) splněna pro všechna  t ΠI , tak plochu k tvoří pouze torzální přímky a k je rozvinutelná plocha. Jestliže rovnice (9) není identitou, pak k je zborcená plocha, na které mohou existovat torzální tvořicí přímky. Rovnice (9) platí právě tehdy, když buď 

Když pro určité t ΠI  platí rovnice (10)a) nebo b), pak z rovnic (8) spočteme souřadnice [x(t),0,0] nebo [0,y(t),0] příslušného bodu obálky , potom platí tvrzení: 

Nechť M je bod křivky m a K₁ nebo L₁ je jeho pravoúhlý průmět do osy x₁ nebo x₂ . Příslušná tvořicí přímka je torzální, jestliže tečna křivky v bodě M je rovnobežná s osou x₂ nebo x₁ , a potom bod K₁ nebo L₁ je bodem obálky . 

Je-li rovnice (10)a) nebo b) identitou, potom křivka m je přímka (část přímky) rovnobežná s osou x₂ nebo x₁ a rozvinutelná plocha k je v obou případech kuželová plocha popř. rovina (část roviny). 

Rovnice (10)c) platí, krome jiného, pro parametr  t ΠI , v němž derivace funkcí f a g jsou nevlastní, tedy tečny křivek k₁ a k₂ jsou rovnobežné s osou x₃ . 

Některé příklady ploch k  

Nechť k₁ a k₂ jsou přímky dané funkcemi 

(11)	f(x1) = k1 x1 + q1 ,   g(x2) = k2 x2 + q2 ,   q1 q2

a křivka m je dána vektorovou funkcí (2). Podle (3) má plocha k parametrické vyjádření 

Příklad takové plochy je na obr.2 . Křivky, kterými je plocha zadána, jsou dve přímky a parabola, viz obr.2a . Část plochy je zobrazená na obr. 2b .

Odvodíme rovnici plochy k , jestliže křivka m je dána rovnicí

Dosazením z prvních dvou rovnic do třetí rovnice ve (12) a po úpravě dostaneme 

(14)

Z prvních dvou rovnic ve (12) vyplýva 

a po dosazení ze (14) je

(15)

Dosazením z (15) do rovnice (13) získáme rovnici plochy 

(15)

Jestliže F(x,y) je polynom n.stupně, potom m je algebraická křivka n.stupně a z rovnice (16) je jasné, že k je algebraická plocha stupne 2n . 

1.   F(x,y) = y - k x ,   k 0 ,  křivka m je přímka. Plocha k má podle (16) rovnici

k k₁x₁² + (k₁ + k k₂)x₁x₂ - k x₁x₃ + k₂x₂² - x₂x₃ + k q₁x₁ + q₂x₂ = 0 .

Jedná se o kvadratickou plochu a klasifikací pomocí determinantů bychom zjistili, že k je hyperbolický paraboloid. Na obr.3a je zadání hyperbolického paraboloidu, který je zobrazený na obr.3b . 

2.   F(x,y) = x² + y² - a² ,   a 0 ,  křivka m je kružnice daná vektorovou funkcí 

(17)	x(t) = (a cos t, a sin t, 0),   t Î 0, 2p

Plocha k  má podle (16) rovnici 

Příklad plochy je na obr.4 . 

Řez plochy rovinou x₁x₂ je křivka k₃ o rovnici (18), kde x₃ = 0 . Obálka pravoúhlých průmětů tvořicích přímek do roviny x₁x₂ má podle (8) parametrické vyjádření 

x₁ = a cos³t ,   x₂ = a sin³t ,   x₃ = 0 ,   t Î 0, 2p , 

takže se jedná o asteroidu (obr.5) . 

Obr. 5

Ze souřadnicových funkcí v (17) a z (10) a), b) plyne, že plocha má čtyři torzální tvořicí přímky příslušné parametrům t = 0, p/2, p, 3p/2 .  Speciální plochou tohoto typu je plocha, kdy  k₁ = k₂ = 0 ,  q₁ q₂, (q₁,q₂)  (0,0) .v (11) je . Křivky k₁ a k₂ jsou přímky rovnobežné postupně s osou x₁ a x₂ . Z rovnice (18) odvodíme rovnici plochy k : 

(q₁ - q₂)²[x₁²(x₃ - q₁)² + x₂²(x₃ - q₂)²)] = a²(x₃ - q₁)²(x₃ - q₂)² .

Tato plocha se nazývá plochou eliptického pohybu (obr.6) .

 Nechť k₁ a k₂ jsou stejné přímky jako u plochy eliptického pohybu a křivka m je elipsa daná rovnicí

 Rovnici plochy k bychom odvodili opět z rovnice (18), pro volbu

 je plocha k Štramberská trúba.

Na závěr uvedeme příklad neobvyklé plochy: křivka k₁ je Lokna Agnési, k₂ je parabola a křivka m je kružnice, viz obr.7a . Část plochy je zobrazená na obr.7b .

Summary

In the paper, there is described an unusual way of the line surface determination, supporting an easy and fast construction of the surface generatrices. All wellknown and also new surfaces can be determined conveniently and they can be created not only manually by handdrawing, but also by means of computer graphics. The universal programme provides designer with the powerful tool for the realisation of the pruperdesined surface design in a short time.