1. Úvod

            V některých učebnicích deskriptivní geometrie, např. [2] a [5], se plocha v trojrozměrném prostoru geometricky definuje takto:

            Plocha v trojrozměrném prostoru vzniká spojitým pohybem křivky.

            Podle této definice lze snadno vytvářet plochy translační, rotační a šroubové. Tyto plochy vznikají translačním, rotačním a šroubovým pohybem křivky, která při pohybu nemění svůj tvar. Plochy, kdy pohybující se křivka nemění svůj tvar nazývají autoři v [3] plochy pohybové nebo kinematické. Vzápětí dodávají, že plochu lze vytvářet pohybem křivky, která se při pohybu zároveň transformuje. Takto vytváříme např. plochy klínové.

            Chceme-li, kromě výše uvedených ploch, tvořit i plochy další a zobrazit je pomocí počítače, pak je potřeba

a)      definovat v trojrozměrném prostoru pohyb (odst. 1.2),

b)      popsat transformace, kterými se pohybující křivka bude transformovat (odst. 1.3).

1.1.  Matematický popis křivek a označení

Nechť E₃ je euklidovský prostor s kartézskou soustavou souřadnic O, x, y, z  a V(E₃) je vektorový prostor se soustavou souřadnic O, e₁, e₂, e₃, kde {e₁, e₂, e₃} je kanonická báze. Jinou ortonormální bázi prostoru V(E₃) označme  = {a₁, a₂, a₃} a  = {b₁, b₂, b₃} .

V E₃ je dána křivka k svým parametrickým vyjádřením

(1)                        x = x¹(u) ,   y = x²(u) ,   z = x³(u) ,     u Î I                

a křivka  l  parametrickým vyjádřením

(2)                        x = y¹(v) ,   y = y²(v) ,   z = y³(v) ,     v Î J  .

            Křivka  k je parametrizovaná bodovou funkcí

       X(u) = O + xⁱ(u) eⁱ ,   u Î I ,   i = 1, 2, 3 .  

Křivka  parametrizovaná bodovou funkcí

(3)                       X(u) = O + xⁱ(u) a_i ,   u Î I ,   i = 1, 2, 3 .  

je shodná s křivkou k , její umístění v prostoru je dáno volbou báze .  Křivku   dostaneme otáčením křivky k , které můžeme realizovat otáčením soustavy souřadnic O, e₁, e₂, e₃ do soustavy O, a₁, a₂, a₃  pomocí Eulerových úhlů. Případná změna počátku pak znamená posunutí křivky. Obdobně bodová funkce

(4)                        Y(v) = O + yⁱ(v) b_j ,   v Î J ,   j = 1, 2, 3 ,  

je parametrizací křivky  shodné s křivkou l .

            Předpokládejme, že křivky a    nemají singulární body.

Poznámka: Ve funkcích (3) a (4) jsme užili Einsteinovy sumační konvence, kterou použiváme i v dalším textu. Indexy  i, j  probíhají množinu {1, 2, 3}.

            Vektorové funkce

(5)                          t₁ = t₁(v) ,   t₂ = t₂(v) ,   t₃ = t₃(v) ,   v Î J 

nechť tvoří v příslušném bodě křivky   její Frenetův repér, tedy ortonormální bázi v V(E₃)

1.2.  Definice pohybu

           Pohyb v trojrozměrném prostoru budeme definovat pomocí

pohybu ortonormální báze {a₁, a₂, a₃},  kde vektory a_i  mají společný počáteční bod, který označíme A .
Nechť je křivka s parametrizací (4).

Pohyb definujme takto:

            Pomocí pohybu (ii) budeme tvořit plochy translační a pomocí pohybu (iii) plochy rotační.

1.3.    Transformace v prostoru E₃

Transformace v prostoru E₃ , ve kterém je obrazem bodu X = [x¹, x², x³]  bod  X  = [x¹, x², x³], má analytické vyjádření 

(6)                          xⁱ = jⁱ (x¹, x², x³) ,

kde  jⁱ = jⁱ (x¹, x², x³)  jsou reálné funkce tří proměnných.

            Jestliže křivka  má parametrické vyjádření (1), pak jejím obrazem v transformaci (6) je křivka s parametrickým vyjádřením

(7)                          xⁱ = xⁱ(u) ,    kde    xⁱ = jⁱ (x¹(u), x²(u), x³(u)) ,   u Î I .

Závěrem tohoto odstavce můžeme konstatovat:

            K vytvoření plochy v trojrozměrném prostoru je potřeba zadat

-         křivku ,

-         pohyb, kterým se křivka bude v prostoru pohybovat

-         a transformaci, kterou se křivka bude zároveň transformovat.

Aby se křivka při pohybu zároveň spojitě transformovala, budou funkce jⁱ  v (6)  navíc spojitými funkcemi argumentu v .

2. Kinematické plochy a plochy tvořené afinní transformací

Afinní transformace v E₃ ,  ve které je obrazem bodu X = [x¹, x², x³]  bod X  = [x¹, x², x³]  má analytické vyjádření 

⁽⁸⁾                           

Transformace je dána regulární maticí

a vektorem d = (d¹, d², d³), dⁱ Î R .

Nechť prvky matice C a souřadnice vektoru d jsou spojité reálné funkce argumentu v (parametru křivky ) :

 ^{(9)                           .}

Plocha vytvořená pohybem i) - iii) křivky , která se za předpokladu (9) zároveň transformuje afinní transformací (8), je parametrizována bodovou funkcí

  ^{(10)                       .}   

2.1.  Kinematické plochy

Kinematické plochy jsou samozřejmě speciálním případem ploch tvořených pomocí afinní transformace, kdy matice C je konstantní. Pak bez újmy obecnosti můžeme předpokládat, že matice  C je ortonormální. Speciálně pro C = E (jednotková matice) je plocha κ parametrizována bodovou funkcí

(11)                        X(u,v) = Y(v) + (xⁱ(u) + dⁱ(v)) a_i(v) ,   u Î I ,   v Î J  .

2.1.1.  Kinematické plochy, které vzniknou různými typy pohybu

A.  Příkladem ploch, které vznikají pohybem i) jsou přímkové šroubové plochy. Křivka    je šroubovice na rotační válcové ploše, křivka je přímka a  a_i(v) = t_i(v) jsou vektorové funkce Frenetova repéru šroubovice .  Volbou přímky  dostaneme všechny typy přímkových šroubových ploch. Na obr. 1, 2 a 3 je postupně zobrazena část šikmé otevřené šroubové přímkové plochy, přímého šroubového konoidu a plochy teřen šroubovice.

V případě otevřené šroubové přímkové plochy je přímka v obecné poloze vzhledem k přímkám a rovinám Frenetova průvodního trojhranu šroubovice , v případě přímého šroubového konoidu je přímka hlavní normálou a v případě plochy tečen šroubovice je tečnou šroubovice.

            Dalším příkladem ploch tohoto typu jsou římsové plochy. Křivka je rovinná a pohybuje se tak, že stále leží v normálové rovině křivky  .  Plochy jsou parametrizovány bodovou funkcí

       X(u,v) = Y(v) + xⁱ(u) t_i(v)   u Î I ,   v Î J  ,

přičemž x¹ = 0  pro všechna  u Î I  .

            Známá římsová plocha je Archimedova serpentina, viz obr. 4 .

B.  Plochy, které vznikají pohybem ii) se nazývají translační plochy. Příkladem takové plochy je vinutý sloupek, kdy křivka je šroubovice na rotační válcové ploše a křivka  je kružnice, obr. 5. Jiným příkladem jsou paraboloidy, kdy křivky i jsou paraboly, na obr. 6 je zobrazena část hyperbolického paraboloidu.

C.  Plochy, které vznikají pohybem iii) jsou např. rotační plochy. Jestliže je křivka s parametrickým vyjádřením (1) a osa rotace je přímka o určená počátkem O a jednotkovým vektorem a₃, pak rotační plocha, která vznikne rotací křivky    kolem přímky o,  je parametrizována bodovou funkcí

(12)                      X(u,v) = O + xⁱ(u) a_i(v)

kde  a_i(v),  i = 1, 2 ,  jsou vektory Frenetova repéru kružnice, ležící v rovině kolmé k přímce o.  Je-li  = {a₁, a₂, a₃}  pevně zvolená ortonormální báze, pak

                            a₁(v) = - sin v a₁ + cos v a₂ ,

(13)                      a₂(v) =   cos v a₁ + sin v a₂ ,

                                     a₃(v) = a₃ .                                          v Î 0, 2p

            Na obr. 7 je zobrazena část rotačního zborceného hyperboloidu, kdy je přímka mimoběžná s přímkou  o = z  a na obr. 8 je zobrazen anuloid.

Speciálním případem je rotační plocha, kdy křivka    je grafem explicitní spojité funkce

(14)                    z = f(y) ,   x = 0 ,   y Î  I ,   I Ì  y⁺

Křivka    má parametrické vyjádření

     x¹ = 0 ,   x² = u ,   x³ = f(u) ,   u Î I .

Rotací křivky kolem osy z  dostaneme rotační plochu κ , která je podle (12) parametrizována bodovou funkcí 

(15)                    X(u,v) = O + u a₂(v) + f(u) a₃ ,   u Î I ,   v Î 0, 2p  ,

kde  a₂(v) = cos v e₁ + sin v e₂   a  a₃ = e₃   .

            Na obr. 9 je zobrazena část plochy, kdy

0 < c < d .

   je hyperbola, která rotuje kolem své asymptoty. 

            Na obr. 10 je zobrazena plocha, která vznikla pohybem kružnice    a  a_i(v)  jsou vektorové funkce Frenetova repéru křivky s parametrickým vyjádřením

     x = r cos v ,  y = r sin v ,   z = r² cos 2v ,   v Î 0, 2p .

Společný počáteční bod A vektorů  a_i(v) je počátek O a kružnice stále leží v rovinách určených počátkem  O  a vektory  a₂(v)  a a₃(v) .

2.2.  Plochy tvořené afinní transformací

Plochy tvořené afinní transformací jsou parametrizovány bodovou funkcí (10). Křivka  se při pohybu v prostoru transformuje příslušnou afinní transformací pro parametr v .  Připusťme také možnost, že pro některé v Î J  je matice C singulární. Nechť je prostorová křivka a označme  h(v₀)  hodnost matice  C  pro parametr v₀ .  Je-li

a)       h(v₀) = 2  ,  pak křivka se transformuje v rovinnou křivku,

b)        h(v₀) = 1  , pak křivka se transformuje v  přímku (její část),

c)        h(v₀) = 0 ,   pak křivka se transformuje do bodu,

vždy v příslušné poloze dané parametrem v₀ .

2.2.1.  Plochy tvořené afinní transformací, které vzniknou různými typy pohybu

A.    Příkladem ploch, které vznikají pohybem i) jsou zobecněné římsové plochy. Zobecněné tak, že křivka pohybující se v normálové rovině křivky   se zároveň transformuje afinní transformací. Např. stejnolehlostí (obr. 11), nebo osovou afinitou s osou afinity v hlavní normále křivky   (obr. 12) .

B.  Příklady ploch, které vznikají pohybem ii) .

Křivka  je přímka parametrizovaná bodovou funkcí

Y(v) = O + v e₃ ,   v Î R

a je rovinná křivka s parametrickým vyjádřením

x = x¹(u) ,   y = x²(u) ,   z = 0 ,   u Î I .

Matice  C  nechť je diagonální matice , tedy 

⁽¹⁶⁾               .

Dále zvolme  a_i(v) = e_i  a  d(v) = o  pro všechna  v Î R .

            Plocha κ je parametrizována bodovou funkcí

⁽¹⁷⁾               .

Funkce (16) budiž funkce

⁽¹⁸⁾               .                      

Za předpokladu (18) je plocha (17) přímkovou plochou. Jestliže

^{a)    ,  potom κ  je kuželová plocha (obr. 13),}

^{b)   ,  potom κ  je přímý konoid (obr. 14),}

^{c)  jsou různé lineární funkce,   a je kružnice, potom κ  je Štramberská trúba (obr. 15).}

Dalším příkladem jsou kuželosečko-kuželosečkové klínové plochy. Křivky a jsou kuželosečky, které leží v rovinách na sebe kolmých  a křivka se při pohybu transformuje osovou afinitou. Známou klínovou plochou je Hacarova plocha, jejíž část je zobrazena na obr. 16.

C.  Příkladem ploch vytvořených pohybem iii) jsou plochy, které vznikají rotací rovinné křivky Îa kolem přímky  o Îa  a křivka se při rotaci zároveň transformuje osovou afinitou s osou afinity o .  Těmito plochami, zvláště je-li křivka grafem funkce (14), se zabýval Giering. Tyto plochy nazývá Giering meridiánovými plochami. Část takové plochy vytvořené transformací plochy z obr. 9 je zobrazena na obr. 17 .

Na závěr odstavce o těchto plochách uvažujme bodovou funkci

^{(19)         ,}                 

                                                                                             ^.

Ve funkci (19) jsou  x^j(u)  a  y^j(v)  funkce (1) a (2) a obdobně jako prvky matice C a souřadnice vektoru  d  jsou spojité reálné funkce parametru v křivky ,  tak

   ^a   

jsou spojité reálné funkce parametru  u  křivky .  Jestliže vektorové funkce a_i(v)  a  b_i(u)  jsou vektorové funkce Frenetových repérů křivek    a ,  pak (19) je parametrizací plochy κ ,  která je „symetrická“ vzhledem ke křivkám   a .  Na obr. 18 je zobrazena část plochy, kdy křivka   je kružnice a křivka    je šroubovice.

3.  Plochy tvořené pomocí kolineace

Tento odstavec už bude stručný. Podrobnější rozdělení těchto ploch by bylo obdobné jako u ploch v předchozím odstavci.

Kolineace, ve kterém je obrazem bodu X = [x¹, x², x³]  bod  X = [x¹, x², x³] ,  má analytické vyjádření

Funkce xⁱ  = xⁱ(x¹, x², x³)  jsou funkce  se společným nenulovým jmenovatelem.

            Nechť

⁽²¹⁾                                                 

jsou spojité reálné funkce parametru v křivky .

            Potom plocha  κ ,  která je parametrizována bodovou funkcí

je plocha vytvořená pohybem křivky ,  která se zároveň transformuje, za předpokladu (21), kolineací (20) . Na obr. 19 je zobrazena část plochy, kde křivka je kružnice a křivka   je parabola. Kružnice se pohybuje pohybem ii) a zároveň se transformuje středovou kolineací.

Závěr

Plochy v trojrozměrném prostoru jsme vytvářeli spojitým pohybem křivky, která se při pohybu zároveň spojitě transformovala. Užili jsme transformací z grupy projektivních transformací - kolineací. Afinní transformace a shodnosti jsou jejími podgrupami. Rozdělení ploch na plochy kinematické, plochy tvořené pomocí afinní transformace a kolineace tak vlastně koresponduje s Kleinovou klasifikací geometrií na geometrii euklidovskou, afinní a projektivní.

Literatura