Plochy v trojrozměrném prostoru
Kamil Maleček1, Dagmar Szarková2
1FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR,
e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz
2SjF STU Bratislava, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava, SR,
e-mail: szarkova@sjf.stuba.sk
http://www.km.sjf.stuba.sk/Personal/Szarkova/Szarkova
V některých učebnicích deskriptivní geometrie, např. [2] a [5], se plocha v trojrozměrném prostoru geometricky definuje takto:
Plocha v trojrozměrném prostoru vzniká spojitým pohybem křivky.
Podle této definice lze snadno vytvářet plochy translační, rotační a šroubové. Tyto plochy vznikají translačním, rotačním a šroubovým pohybem křivky, která při pohybu nemění svůj tvar. Plochy, kdy pohybující se křivka nemění svůj tvar nazývají autoři v [3] plochy pohybové nebo kinematické. Vzápětí dodávají, že plochu lze vytvářet pohybem křivky, která se při pohybu zároveň transformuje. Takto vytváříme např. plochy klínové.
Chceme-li, kromě výše uvedených ploch, tvořit i plochy další a zobrazit je pomocí počítače, pak je potřeba
a) definovat v trojrozměrném prostoru pohyb (odst. 1.2),
b) popsat transformace, kterými se pohybující křivka bude transformovat (odst. 1.3).
Nechť E3 je euklidovský prostor s kartézskou soustavou souřadnic O, x, y, z a V(E3) je vektorový prostor se soustavou souřadnic O, e1, e2, e3, kde {e1, e2, e3} je kanonická báze. Jinou ortonormální bázi prostoru V(E3) označme = {a1, a2, a3} a = {b1, b2, b3} .
V E3 je dána křivka k svým parametrickým vyjádřením
(1) x = x1(u) , y = x2(u) , z = x3(u) , u Î I
a křivka l parametrickým vyjádřením
(2) x = y1(v) , y = y2(v) , z = y3(v) , v Î J .
Křivka k je parametrizovaná bodovou funkcí
X(u) = O + xi(u) ei , u Î I , i = 1, 2, 3 .
Křivka parametrizovaná bodovou funkcí
(3) X(u) = O + xi(u) ai , u Î I , i = 1, 2, 3 .
je shodná s křivkou k , její umístění v prostoru je dáno volbou báze . Křivku dostaneme otáčením křivky k , které můžeme realizovat otáčením soustavy souřadnic O, e1, e2, e3 do soustavy O, a1, a2, a3 pomocí Eulerových úhlů. Případná změna počátku pak znamená posunutí křivky. Obdobně bodová funkce
(4) Y(v) = O + yi(v) bj , v Î J , j = 1, 2, 3 ,
je parametrizací křivky shodné s křivkou l .
Předpokládejme, že křivky a nemají singulární body.
Poznámka: Ve funkcích (3) a (4) jsme užili Einsteinovy sumační konvence, kterou použiváme i v dalším textu. Indexy i, j probíhají množinu {1, 2, 3}.
nechť tvoří v příslušném bodě křivky její Frenetův repér, tedy ortonormální bázi v V(E3)
Pohyb v trojrozměrném prostoru budeme definovat pomocí pohybu ortonormální báze
{a1, a2, a3},
kde vektory
Nechť
je křivka s parametrizací (4).
Pohyb
definujme takto:
i) Bod A se pohybuje po křivce , tedy A(v) = Y(v) , (viz (4)) a ai = ai(v) jsou vektorové funkce definované na intervalu J .
|
|
Speciální typy pohybu (i) jsou pohyby kdy |
|
ii) bod A se pohybuje po křivce a vektory ai jsou konstantní, |
iii) bod A je pevný a ai = ai(v) . |
|
Pomocí pohybu (ii) budeme tvořit plochy translační a pomocí pohybu (iii) plochy rotační.
Transformace v prostoru E3 , ve kterém je obrazem bodu X = [x1, x2, x3] bod X = [x1, x2, x3], má analytické vyjádření
(6) xi = ji (x1, x2, x3) ,
Afinní transformace v E3 , ve které je obrazem bodu X = [x1, x2, x3] bod X = [x1, x2, x3] má analytické vyjádření
(8)
Transformace je dána regulární maticí
a vektorem d = (d1, d2, d3), di Î R .
Nechť prvky matice C a souřadnice vektoru d jsou spojité reálné funkce argumentu v (parametru křivky ) :
(9) .
Plocha vytvořená pohybem i) - iii) křivky , která se za předpokladu (9) zároveň transformuje afinní transformací (8), je parametrizována bodovou funkcí
(10) .
Kinematické plochy jsou samozřejmě speciálním případem ploch tvořených pomocí afinní transformace, kdy matice C je konstantní. Pak bez újmy obecnosti můžeme předpokládat, že matice C je ortonormální. Speciálně pro C = E (jednotková matice) je plocha κ parametrizována bodovou funkcí
(11) X(u,v) = Y(v) + (xi(u) + di(v)) ai(v) , u Î I , v Î J .
A. Příkladem ploch, které vznikají pohybem i) jsou přímkové šroubové plochy. Křivka je šroubovice na rotační válcové ploše, křivka je přímka a ai(v) = ti(v) jsou vektorové funkce Frenetova repéru šroubovice . Volbou přímky dostaneme všechny typy přímkových šroubových ploch. Na obr. 1, 2 a 3 je postupně zobrazena část šikmé otevřené šroubové přímkové plochy, přímého šroubového konoidu a plochy teřen šroubovice.
V případě otevřené šroubové přímkové plochy je přímka v obecné poloze vzhledem k přímkám a rovinám Frenetova průvodního trojhranu šroubovice , v případě přímého šroubového konoidu je přímka hlavní normálou a v případě plochy tečen šroubovice je tečnou šroubovice.
|
||
Obr. 1. |
Obr. 2. |
Obr. 3. |
Dalším příkladem ploch tohoto typu jsou římsové plochy. Křivka je rovinná a pohybuje se tak, že stále leží v normálové rovině křivky . Plochy jsou parametrizovány bodovou funkcí
X(u,v) = Y(v) + xi(u) ti(v) u Î I , v Î J ,
přičemž x1 = 0 pro všechna u Î I .
Známá římsová plocha je Archimedova serpentina, viz obr. 4 .
Obr. 4. |
Obr. 5. |
Obr. 6. |
B. Plochy, které vznikají pohybem ii) se nazývají translační plochy. Příkladem takové plochy je vinutý sloupek, kdy křivka je šroubovice na rotační válcové ploše a křivka je kružnice, obr. 5. Jiným příkladem jsou paraboloidy, kdy křivky i jsou paraboly, na obr. 6 je zobrazena část hyperbolického paraboloidu.
C. Plochy, které vznikají pohybem iii) jsou např. rotační plochy. Jestliže je křivka s parametrickým vyjádřením (1) a osa rotace je přímka o určená počátkem O a jednotkovým vektorem a3, pak rotační plocha, která vznikne rotací křivky kolem přímky o, je parametrizována bodovou funkcí
(12) X(u,v) = O + xi(u) ai(v)
kde ai(v), i = 1, 2 , jsou vektory Frenetova repéru kružnice, ležící v rovině kolmé k přímce o. Je-li = {a1, a2, a3} pevně zvolená ortonormální báze, pak
a1(v) = - sin v a1 + cos v a2 ,
(13) a2(v) = cos v a1 + sin v a2 ,
a3(v) = a3 . v Î 0, 2p
Na obr. 7 je zobrazena část rotačního zborceného hyperboloidu, kdy je přímka mimoběžná s přímkou o = z a na obr. 8 je zobrazen anuloid.
Obr. 7. Obr. 8. |
Speciálním případem je rotační plocha, kdy křivka je grafem explicitní spojité funkce
(14) z = f(y) , x = 0 , y Î I , I y+
Křivka má parametrické vyjádření
x1 = 0 , x2 = u , x3 = f(u) , u Î I .
Rotací křivky kolem osy z dostaneme rotační plochu , která je podle (12) parametrizována bodovou funkcí
(15) X(u,v) = O + u a2(v) + f(u) a3 , u Î I , v Î 0, 2p ,
kde a2(v) = cos v e1 + sin v e2 a a3 = e3 .
Na obr. 9 je zobrazena část plochy, kdy
0 < c < d . |
je hyperbola, která rotuje kolem své asymptoty.
Na obr. 10 je zobrazena plocha, která vznikla pohybem kružnice a ai(v) jsou vektorové funkce Frenetova repéru křivky s parametrickým vyjádřením
x = r cos v , y = r sin v , z = r2 cos 2v , v Î 0, 2p .
Společný počáteční bod A vektorů ai(v) je počátek O a kružnice stále leží v rovinách určených počátkem O a vektory a2(v) a a3(v) .
Obr. 9. |
Obr. 10. |
Plochy tvořené afinní transformací jsou parametrizovány bodovou funkcí (10). Křivka se při pohybu v prostoru transformuje příslušnou afinní transformací pro parametr v . Připusťme také možnost, že pro některé v Î J je matice C singulární. Nechť je prostorová křivka a označme h(v0) hodnost matice C pro parametr v0 . Je-li
a) h(v0) = 2 , pak křivka se transformuje v rovinnou křivku,
b) h(v0) = 1 , pak křivka se transformuje v přímku (její část),
c) h(v0) = 0 , pak křivka se transformuje do bodu,
vždy v příslušné poloze dané parametrem v0 .
A. Příkladem ploch, které vznikají pohybem i) jsou zobecněné římsové plochy. Zobecněné tak, že křivka pohybující se v normálové rovině křivky se zároveň transformuje afinní transformací. Např. stejnolehlostí (obr. 11), nebo osovou afinitou s osou afinity v hlavní normále křivky (obr. 12) .
Obr. 11. |
Obr. 12. |
Křivka je přímka parametrizovaná bodovou funkcí
Y(v) = O + v e3 , v Î R
a je rovinná křivka s parametrickým vyjádřením
x = x1(u) , y = x2(u) , z = 0 , u Î I .
Matice C nechť je diagonální matice , tedy
(16) .
Dále zvolme ai(v) = ei a d(v) = o pro všechna v Î R .
Plocha κ je parametrizována bodovou funkcí
(17) .
Funkce (16) budiž funkce
(18) .
Za předpokladu (18) je plocha (17) přímkovou plochou. Jestliže
a) , potom je kuželová plocha (obr. 13),
b) , potom je přímý konoid (obr. 14),
c)
jsou různé
lineární funkce,
a
je kružnice, potom
je Štramberská trúba (obr. 15).
Obr. 13. Obr. 14. Obr. 15.
Obr. 16. Obr. 17. |
C. Příkladem ploch vytvořených pohybem iii) jsou plochy, které vznikají rotací rovinné křivky Îa kolem přímky o Îa a křivka se při rotaci zároveň transformuje osovou afinitou s osou afinity o . Těmito plochami, zvláště je-li křivka grafem funkce (14), se zabýval Giering. Tyto plochy nazývá Giering meridiánovými plochami. Část takové plochy vytvořené transformací plochy z obr. 9 je zobrazena na obr. 17 .
Na závěr odstavce o těchto plochách uvažujme bodovou funkci
(19) ,
.
Ve funkci (19) jsou xj(u) a yj(v) funkce (1) a (2) a obdobně jako prvky matice C a souřadnice vektoru d jsou spojité reálné funkce parametru v křivky , tak
a
jsou spojité reálné funkce parametru u křivky . Jestliže vektorové funkce ai(v) a bi(u) jsou vektorové funkce Frenetových repérů křivek a , pak (19) je parametrizací plochy κ , která je „symetrická“ vzhledem ke křivkám a . Na obr. 18 je zobrazena část plochy, kdy křivka je kružnice a křivka je šroubovice.
Tento odstavec už bude stručný. Podrobnější rozdělení těchto ploch by bylo obdobné jako u ploch v předchozím odstavci.
Kolineace, ve kterém je obrazem bodu X = [x1, x2, x3] bod X = [x1, x2, x3] , má analytické vyjádření
(20) |
Funkce xi = xi(x1, x2, x3) jsou funkce se společným nenulovým jmenovatelem.
Nechť
(21)
jsou spojité reálné funkce parametru v křivky .
Potom plocha , která je parametrizována bodovou funkcí
(22) |
|
je plocha vytvořená pohybem křivky , která se zároveň transformuje, za předpokladu (21), kolineací (20) . Na obr. 19 je zobrazena část plochy, kde křivka je kružnice a křivka je parabola. Kružnice se pohybuje pohybem ii) a zároveň se transformuje středovou kolineací.
Obr. 18. Obr. 19. |
Plochy v trojrozměrném prostoru jsme vytvářeli spojitým pohybem křivky, která se při pohybu zároveň spojitě transformovala. Užili jsme transformací z grupy projektivních transformací - kolineací. Afinní transformace a shodnosti jsou jejími podgrupami. Rozdělení ploch na plochy kinematické, plochy tvořené pomocí afinní transformace a kolineace tak vlastně koresponduje s Kleinovou klasifikací geometrií na geometrii euklidovskou, afinní a projektivní.
[1] |
BUDINSKÝ. B., KEPR. B. : Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi. Praha 1970, SNTL. |
[2] |
DRÁBEK, K., HARANT, F., SETZER, O. : Deskriptivní geometrie II. Praha 1970 , SNTL a Alfa. |
[3] |
KADEŘÁVEK. F., KLÍMA. J., KOUNOVSKÝ. J. : Deskriptivní geometrie II. Praha 1954 , NCSAV, 2. vyd. . |
[4] |
KREYSZIG. E. : Differentialgeometrie. Leipzig 1968, AVG. |
[5] |
MEDEK, V., ZÁMOŽÍK, J. : Konstruktívna geometria pre technikov. Bratislava 1978 , Alfa a SNTL. |