Zastřešení kruhového a obdélníkového půdorysu

MALEČEK Kamil1, SZARKOVÁ Dagmar2

Abstract. In this paper, we present a unified view on the geometric method of the creation of the roofing over the ground view in the form of a disc or a rectangle. The geometric models of the roofing are surface patches created from level curves. These curves are images of the ground view outline in the transformation composed from the affine transformation and translation determined by the vector perpendicular to the ground plane. The introduced mathematical description provides the possibility of an interactive computer assisted modelling of the roofing.

1.  Zastřešení kruhového půdorysu

Na obr. 1, 2 a 3 je zobrazené zastřešení půdorysu ohraničeného kružnicí k  rovině pi. Geometrickým modelem zastřešení je postupně část kuželové plochy s vrcholem V, část přímého kruhového konoidu ukončená hřebenem KL podmonožina  p a část Štramberské truby ukončená hřebenem MN podmonožina q.

Obr.1 - 3.

Obr.1a - 3a.

            Vrstevnice jsou řezy plochy rovinami, které jsou rovnoběžné s rovinou  pi. Pravoúhlé průměty vrstevnic do roviny  pi jsou zobrazeny na obr. 1a, 2a a 3a.

V případě kuželové plochy jsou vrstevnice soustředné kružnice se zmenšujícím se poloměrem. Vrstevnice v rovině vrcholu  V  se redukuje do bodu a půdorys tohoto bodu je bod V1. Každý půdorys vrstevnice v rovině  pi je obrazem kružnice   ve stejnolehlosti se středem  V1 a vhodně zvoleným koeficientem.

V případě části konoidu jsou půdorysy vrstevnic elipsy se společnými hlavními vrcholy  K1, L1 a se zmenšující se velikostí vedlejší poloosy. Úsečka K1 L1 je půdorysem vrstevnice v rovině přímky  p. Každý půdorys vrstevnice je obrazem kružnice k v pravoúhlé osové afinitě s osou  y = p1  a vhodně zvolenou charakteristikou.

Konečně v případě části Štramberské truby jsou půdorysy vrstevnic elipsy se zmenšující se velikostí obou poloos. Jen půdorys vrstevnice v rovině přímky q je úsečka  M1N1.  Každý půdorys vrstevnice je obrazem kružnice k v transformaci, která se nazývá změna měřítka na obou osách.

Ve všech případech jsou půdorysy vrstevnic obrazem kružnice  k  v afinních transformacích. Takže plochy, které jsme užili jako geometrický model zastřešení, tvoříme takto:
            Kružnice  k se spojitě transformuje některou z uvedených transformací a posouvá se ve směru kolmém k rovině  pi.


2. Matematický popis transformací a geometrického modelu zastřešení


       V euklidovském prostoru  E3  zvolme kartézskou soustavu souřadnic  levá lomená závorkaOxyzpravá lomená závorka tak, aby střed kružnice  byl počátek  O  a rovina  pi  byla rovina  xy.  V případě konoidu resp. Štramberské truby je přímka  p resp. q v rovině yz  a je rovnoběžná s osou y.

 V rovině  xy  jsou výše popsané transformace určené maticí

      matica A

Jestliže bod  = [x1,x2]  je obrazem bodu  X=[x,y], pak

     soucin matic

a odtud

(1)            xax ,    xby .

Pro  = 1  je transformace totožnost, kterou dále nebudeme uvažovat.

Zvolením konstant a, b dostaneme:

i)   b = a,   ruzne 0,   a ruzne 1 .

Transformace (1) je stejnolehlost se středem v počátku O. Pokud  a = 0 ,  pak transformace je singulární, protože všechny body roviny  xy  se zobrazí do počátku  O.

 ii)  a  je reálná konstanta,  a = 0,   ruzne 1,   b = 1 .

Transformace (1) je pravoúhlá osová afinita s osou y. Pokud  a = 0, tak transformace je singulární a všechny body roviny se zobrazí do bodů na ose  y.

iii)  ruzne b .

Transformace (1) je změna měřítka na obou osách. Tato transformace je singulární v případě, když buď a = 0  nebo  b = 0,  podobně jako v osové afinitě.

        Nyní nechť a, b v matici A jsou lineární funkce argumentu  v:

(2)             a = a(v) ,      b = b(v) .

Kružnice  k  má parametrické vyjádření

(3)             x = r cos u ,     y = r sin u ,     z = 0 ,     u  levá lomená závorka0, 2pipravá lomená závorka .

Půdorysy vrstevnic získané transformací kružnice  k  mají podle (1) parametrické vyjádření:

                 x = a(vr cos u ,     y = b(vr sin u ,     z = 0 ,     u  levá lomená závorka0, 2pipravá lomená závorka ,      I

a jejich translace v kolmém směru k rovině  pi  je daná vektorem (0, 0, v).

Plochu s parametrickým vyjádřením

(4)             x = a(vr cos u ,     y = b(vr sin u ,     z = v ,     u  levá lomená závorka0, 2pipravá lomená závorka ,      I

získáme složením obou transformací. Zvolíme-li funkce  a(v) , b(v)  podobně jako jsme volili konstanty  ab  v  i) - iii), tak dostaneme:

                a) část kuželové plochy (obr.1) pro

rovnice kuželové plochy

                                                                                    p  je nenulová reálná konstanta,

                b) část přímého konoidu (obr.2) pro

rovnice konoidu

                c) část Štramberské truby (obr.3) pro

rovnice Štramberské truby

Ve všech případech jsou pro  v = p  transformace singulární. Singulární transformace umožní zahrnout do kuželové plochy její vrchol a v případě konoidu nebo Štramberské truby hřeben střechy.

 

3.  Zastřešení obdélníkového půdorysu

Na obr. 4 je zastřešení čtvercového půdorysu střechou stanovou. Na obr. 5 a 6 jsou zastřešení obdélníkového půdorysu střechou sedlovou, která je ukončená hřebenem KL a střechou valbovou, která je ukončená hřebenem MN . Půdorysy hřebenů jsou úsečky na střední příčce obdélníku.

Obr. 4 - 6.

        Obr. 4a - 6a.

            Obvod půdorysu je lomená čára   v rovině  pi. Vrstevnice, které se ve stavební praxi nazývají latě, jsou obvody obdélníků resp. čtverců. Jejich půdorysy jsou zobrazeny na obr. 4a, 5a, 6a. Je zřejmé, že půdorysy vrstevnic dostaneme postupně z čáry   jednou z transformací  i), ii), iii), popsaných v předchozí části.

Matematický popis geometrického modelu střešních konstrukcí vytvoříme pomocí parametrického vyjádření (4) , kde nahradíme parametrické vyjádření kružnice k parametrickým vyjádřením úseček, které tvoří čáru  l.

4.  Zastřešení čtvercového a obdélníkového půdorysu částmi hyperbolického paraboloidu

Na obr.7 a 8 vidíme zastřešení čtvercového půdorysu. Hřebeny KL a MN ukončují zastřešení. Tentokrát půdorysy hřebenů leží na úhlopříčce čtverce.

Obr. 7 - 9.

Obr. 7a - 9a.

Půdorysy vrstevnic jsou obrazy obvodu  l   čtverce transformovaného podle ii) a nebo iii) (viz obr.7a a 8a). V obou případech je zastřešení tvořeno čtyřmi skořepinami, které jsou části hyperbolických paraboloidů. Zastřešení obdélníkového půdorysu částmi hyperbolických paraboloidů a půdorysy vrstevnic vytvořené transformací ii) je zobrazena na obr. 9 a obr. 9a .

5.  Další typy zastřešení obdélníkového půdorysu

Skládáním zastřešení, které jsme uvedli v předchozích dvou odstavcích dostaneme další možnosti a typy zastřešení obdélníkového resp. čtvercového půdorysu. Začneme skládáním "nad sebou".

Na obr. 10 a obr. 10a je střecha mansardová a půdorysy jejích vrstevnic – latí. Půdorysy vrstevnic jsou vytvořeny jako obrazy úsečky  l1 = A1B1  a  l1 = C1D1 ve dvou pravoúhlých osových afinitách se společnou osou y a různými charakteristikami.

 Obr. 10.

Při zastřešení rodinných domů se často používají střechy polovalbové, viz. obr. 11 a obr. 12. Na obr. 11a a obr.12a jsou zobrazeny půdorysy vrstevnic, které jsou vytvořeny složením transformací typu ii) a typu iii) v různém pořadí.

Na obr.13 je zobrazeno zastřešení čtvercového půdorysu. Zastřešení je vytvořeno složením části stanové střechy a části zastřešení z obr.7.  Půdorysy vrstevnic a způsob jejich vytvoření vidíme na obr.13a .  Na obr.14 je znovu zastřešení čtvercového půdorysu, které je vytvořeno opět částí stanové střechy a části zastřešení z obr. 7. Tentokrát jsou obě části "vedle sebe".

              Obr. 13 - 14.

6.  Další typy zastřešení kruhového půdorysu

            Obdobně jako u obdélníkového (čtvercového) půdorysu můžeme i v případě kruhového půdorysu tvořit různá zastřešení skládáním zastřešení z 1. odstavce buď „nad  sebou“ viz obr.15 nebo „vedle sebe“ viz obr.16. Vytvoření zastřešení vidíme z půdorysů vrstevnic které jsme zobrazili na obr. 15a a 16a. Všimněme si že v případě zastřešení na obr.16 je napojení obou částí hladké.

                 Obr. 15 - 16.

5.  Závěr

Je zřejmé, že uvedeným způsobem lze vytvořit řadu dalších typů zastřešení kruhového, čtvercového a obdélníkového půdorysu. Půdorysy vrstevnic mohou tvořit zajímavé obrazce, které by bylo možné využít i při parketáži, viz. např. obr.17a, na kterém je půdorys zastřešení z obr.17.

Obr. 17.

 

Kontaktní adresa: 

1RNDr. Kamil Maleček, Katedra matematiky FSv CVUT, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR, 

  tel.: ++4202 2435 4384, e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz

2RNDr. Dagmar Szarková, Katedra matematiky SjF STU, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava, SR, 

  tel.: ++4212 57296 394, e-mail:: szarkova@sjf.stuba.sk