Zobecněné plochy konstantního spádu

Kamil Maleček¹, Dagmar Szarková²

¹FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR, e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz

²SjF STU Bratislava, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava, SR, e-mail: szarkova@sjf.stuba.sk

Abstrakt. V [1] jsme se zabývali plochami konstantního spádu vzhledem k dané rovině  .  V tomto článku uvádíme dva typy zobecněných ploch konstantního spádu, které mají společné to, že plochy z [1] jsou jejich speciálním případem.

Klíčová slova: Plocha konstantního spádu, zobecněná plocha konstantního spádu

 V [1] jsme se zabývali v euklidovském prostoru E₃ plochami konstantního spádu vzhledem k dané rovině  .  Jednalo se o přímkové plochy, které byly dány řídicí křivkou    a tvořicí přímky plochy měly konstantní spád , (0, + ), vzhledem rovině  .

1. Zobecněná plocha konstantniho spádu vzhledem k dané ploše 

 Nahraďme rovinu   obecnou regulární plochou   a na ploše je dána regulární křivka  . Utvořme přímkovou plochu  , jejíž tvořicí přímky jsou dány body křivky  a ve všech bodech křivky  mají konstantní spád vzhledem k příslušné tečné rovině plochy  . Tuto přímkovou plochu nazveme zobecněnou plochou konstantního spádu vzhledem k ploše  .  Je zřejmé, že plochy z [1] jsou speciálním případem zobecněných ploch konstantního spádu.

Matematický popis zobecněných ploch konstantního spádu:

 Plocha  je parametrizována vektorovou funkcí

(1)       x = x(u, v) s definiční oblastí G  

a křivka   je dána funkcemi

(2)       u = u(s),    v = v(s),    s I ,

s je oblouk křivky , která je parametrizována vektorovou funkcí

(3)       y(s) = x(u(s), v(s)) ,     s I ,

 V každém bodě křivky  tvoří vektory

(4)       t = t(s) ,    e = e(s) ,   n = n(s) 

ortonormální bázi. Vektor t je směrový vektor tečny křivky ,  n je směrový vektor normály plochy a e = n x t je v příslušném bodě směrový vektor průsečnice tečné roviny plochy   a normálové roviny křivky  .

 Směrové vektory tvořicích přímek plochy jsou dány vektorovou funkcí

(5)       

a zobecněná plocha konstantního spádu vzhledem k  ploše  je parametrizována vektorovou funkcí

(6)       

Příklad 1:

Plocha je kulová plocha daná vektorovou funkcí

(7)       

Křivka  je parametrická křivka  ,  tedy kružnice parametrizovaná vektorovou funkcí

(8)       

Vektorové funkce t, e, a n jsou

Zobecněná plocha konstantního spádu vzhledem ke kulové ploše má parametrické vyjádření

(9)       

Při volbě funkce je plocha znázorněna na obr. 1.
	Obr. 1.

2. Zobecněná plocha konstantního spádu vzhledem k oskulačním rovinám křivky

Nechť je regulární prostorová křivka, která je parametrizována vektorovou funkcí  

(10)       y = y(s) ,   s I ,    s je oblouk křivky . 

Vektorové funkce jejího Frenetova repéru jsou

(11)       

Tvořicí přímky plochy jsou dány body křivky a v každém bodě křivky   mají konstantní spád vzhledem k příslušné oskulační rovině křivky. Plochu   nazveme zobecněnou plochou konstantního spádu vzhledem k oskulačním rovinám křivky.

Směrové vektory tvořicích přímek jsou dány vektorovou funkcí

(12)       

a plocha  je parametrizována vektorovou funkcí

(13)      

Plochy z [1] jsou opět speciálním případem, kdy  je rovinná křivka.

Příklad 2:

Křivka    je šroubovice parametrizovaná vektorovou funkcí

(14)       

Frenetův repér je dán vektorovými funkcemi

Směrové vektory tvořicích přímky plochy  jsou dány vektorovou funkcí

Plocha  má parametrické vyjádření

Nyní zbývá zvolit funkci

1) Nechť pro všechna s 0,10 je (s) = 0 . Pak pravoúhlé průměty tvořicích přímek do oskulačních rovin jsou hlavní normály šroubovice . Analogie v [1] je zřejmá, tam ale plocha byla rozvinutelná, tady rozvinutelná není. Plocha pro a  = 1/4 je zobrazena na obr. 2.

Obr. 2.	Obr. 3.

2) Při volbě funkce

, 

je plocha zobrazena na obr. 3. 

Plocha stejného spádu,  je na obr. 4.
	Obr. 4.

Literatura

[1] MALEČEK K., SZARKOVÁ D. : Plochy konstantního spádu. In: Procedings of Seminars on Computional Geometry SCG'2000 -Volume 9, Kočovce 2000, Vydavateľstvo STU v Bratislave, str. 96-102

[2] MALEČEK K., SZARKOVÁ D. : Rozvinutelné plochy konstantního spádu. In: Procedings of Symposium on Computional Geometry SCG'2001 -Volume 10, Kočovce 2001, Vydavateľstvo STU v Bratislave, str. 103-110