PROCEEDINGS OF SEMINARS ON COMPUTATIONAL GEOMETRY SCG'2000, VOLUME 9, pp. 96-102

 

Plochy konstantního spádu

 

Kamil Maleček¹, Dagmar Szarková²

¹FSv ČVUT Praha, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR,

e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz

 

² SjF STU Bratislava, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava, SR,

e-mail: szarkova@sjf.stuba.sk

 

Abstrakt    

V přípěvku definujeme plochy konstantního spádu vzhledem k dané rovině   . Uvádíme jejich matematický popis, který umožňuje vytváření různých ploch konstantního spádu a jejich modelování na počitači. Ukázali jsme, že rotační plochy konstantního spádu jsou rotační kuželová plocha a rotační zborcený hyperboloid. Dále jsme ukázali, že rozvinutelné plochy konstantního spádu jsou válcové plochy a plochy, u kterých jsou pravouhlé průměty tvořicích přímek do roviny    normály křivky   ,  která leží na ploše a v rovině   .

Klíčová slova: Plocha konstantního spádu, přímková plocha, plocha rotační, plocha rozvinutelná

 

Úvod

Plochou konstantního spádu v euklidovském prostoru E₃ budeme nazývat přímkovou plochu, jejíž tvořicí přímky mají stejnou odchylku g Î (0,  /2) od určité roviny   . Číslo s = tg g , s  Î(0,+) , nazveme spádem plochy vzhledem k rovině  .

V této práci budou tvořicí přímky plochy k konstantního spádu s dány body křivky   a směrovými vektory tak, aby měli spád s vzhledem k rovině   .

 

Matematický popis ploch konstantního spádu

V E₃,  popř. v jeho zaměření V(E₃), zvolme kartézskou soustavu souřadnic O, x, y, z. Rovina  je rovina xy .  Křivka xy je dána vektorovou funkcí

s je oblouk křivky . Nechť

jsou vektorové funkce Frenetova repéru křivky .

Směrové vektory tvořicích přímek v bodech křivky jsou dány vektorovou funkcí

 ^{a vektor .}

Plocha konstantního spádu je parametrizovaná vektorovou funkcí

Volbou  e = 1  nebo e = -1  dostaneme obecně dvě různé plochy k₁  a k₂ ,  které jsou souměrné podle roviny   .

Plocha k parametrizovaná vektorovou funkcí (4) je daná křivkou , funkcí w a spádem s . Křivku budeme nazývat řídicí křivkou plochy k .

 

Příklad plochy konstantního spádu

Příklad 1 :  Řídicí křivka je evolventa kružnice, která má střed v počátku O soustavy souřadnic a  poloměr r .   je parametrizována vektorovou funkcí

Vektorové funkce Frenetova repéru evolventy jsou

Funkci w zvolme takto:

Podle (4) má plocha k pro e = 1 parametrické vyjádření

Část plochy je zobrazena na obr. 1a,  na obr. 1b je její pravoúhlý průmět do roviny xy .

 

Rovina

Rovina je nejjednodušší plocha konstantního spádu. Křivka je přímka, která je dána  bodem a jednotkovým směrovým vektorem .  Její vektor normály je vektor  .  Přímka je parametrizována vektorovou funkcí                  Funkce w je na R  konstantní:   w = k,   k je konstanta ze Z . Vektorová funkce (4) má tvar

Obr. 2.

  ^,

(l = ± 1 podle toho zda   k  je sudé či liché). Vektorová funkce popisuje dvojici rovin k₁ a k₂ , které mají spád s  vzhledem k rovině   (obr. 2) .

 

Rotační plochy konstantního spádu

Rotační plochy konstantního spádu dostaneme, je-li řídicí křivka kružnice a funkce w je na intervalu I  konstantní.

Kružnice je dána vektorovou funkcí

Vektorové funkce jejího Frenetova repéru jsou

^{Nechť pro je w(s) = c , c je konstanta z R .}

Podle (4) má plocha k parametrické vyjádření

Vyloučením parametrů  s  a  u  z rovnic (10) dostaneme rovnici

Mohou nastat tři případy:

b)

k je konstanta ze Z .

Rovnice (11) má tvar

 ^,

a to je rovnice rotačního zborceného hyperboloidu se středem v počátku O , kružnice je jeho hrdlo. Protože v rovnici není e ,   tak k₁ = k₂ . Plocha je souměrná podle roviny a je vytvořena jedním, či druhým systémem přímek spádu s vzledem k rovině  ,  viz obr. 4 . Tento hyperboloid je jediná plocha s vlastností k₁ = k₂ .

c)	c = k  ,  k je konstanta ze  Z .

Rovnice (11) pro toto je

^,

a to je rovnice kuželových ploch k₁  a k₂ souměrných podle roviny .  Část obou ploch je zobrazena na obr. 5 .

Platí tedy tvrzení:

Rotační plocha konstantního spádu s ,  s Î(0,+) ,  je buď rotační zborcený hyperboloid nebo rotační kuželová plocha.

 

Torzální tvořicí přímky plochy konstantního spádu

Předpokládejme, že řídicí křivka je křivka se stále pozitivní křivostí. Protože vektory Frenetova repéru křivky tvoří ortonormální bázi, tak jejich souřadnice můžeme vyjádřit takto:

Derivace vektorových funkcí (12) jsou

což jsou Frenetovy vzorce, a proto

(14)

.

Hodnoty funkce k(s) jsou křivosti křivky v příslušných bodech.

Parciální derivaci

vektorové funkce (4) můžeme použitím vzorců (13) upravit takto:

Vektorová funkce (15) popisuje směrové vektory tečen parametrických s-křivek. Pro u = 0 je

a pro u = 1 je

Aby pro nějaké s byla tvořicí přímka torzální, musí být vektory (16) a (17) lineárně závislé. To bude právě tehdy, když

(18)

,

tedy

^{i)  ,}

^{ii)  .}

Pokud je jedna z rovnic i) nebo ii) splněna pro určité  s ÎI ,  pak příslušná tvořicí přímka je torzální.

Určíme torzální tvořicí přímky plochy z příkladu 1, která má parametrické vyjádření (7) . Pro plochu je

^.

Rovnice i) je splněna pro 

a tomuto parametru přísluší torzální tvořicí přímka plochy. 

Další torzální přímky plochy dostaneme z rovnic ii), která pro tuto plochu je

Na intervalu  0, 2² r  má plocha 6 torzálních tvořicích přímek.

Z rotačních ploch konstantního spádu je rotační hyperboloid plocha zborcená, neboť

^.

Ani jedna z rovnic i) a ii) není splněna. Plocha nemá torzální tvořicí přímky.

Naopak v případě rotační kuželové plochy je   w(s) = c ,    c = k   a podle ii) je plocha tvořena jen torzálními přímkami a je to tedy plocha rozvinutelná.

Rozvinutelné plochy konstantního spádu

Plocha k konstantního spádu bude rozvinutelná plocha, jestliže rovnice i) nebo ii) budou platit pro všechna s ÎI .

Pomocí (12) můžeme přepsat směrové vektory (3) tvořicích přímek plochy  k  takto:

(19)

.

Jestliže rovnice i) je na intervalu I identitou, pak vektory (19) jsou

(20)

a plocha je válcová plocha. Křivka je její řidicí křivkou a (20) je směrový vektor tvořicích přímek.

Na obr. 6 jsme zobrazili část válcové plochy, jejíž řidicí křivka  je evolventa z příkladu 1, parametrizovaná vektorovou funkcí (5) .

Je-li rovnice ii) na intervale I identitou, pak plocha je parametrizovaná vektorovou funkcí

(21)

.

 Pravoúhlé průměty tvořicích přímek do roviny jsou normály křivky  .

Takže platí tvrzení:

Rozvinutelné plochy konstantního spádu, dané řídicí křivkou ,  jsou

1)  válcové plochy,

2)   plochy, u kterých jsou pravoúhlé průměty tvořicích přímek do roviny normály řídicí křivky  .  Sem patří i rovina a rotační kuželová plocha.