logo-Aplimat                      Department of Mathematics

                          Faculty of Mechanical Engineering

                              Slovak University of Technology

                               1st International Conference

                                         APLIMAT 2002

 

JEDNA Z APLIKÁCIÍ KVADRATICKÉHO PREMIETANIA

SZARKOVÁ Dagmar1, MALEČEK Kamil2

Abstrakt. V príspevku je ukázaný spôsob, ako je možné vytvoriť transformácie v rovine pi podmnožinanekonecnoE3, špeciálne zmenu mierky na osiach. Transformácie sú vytvorené zložením kvadratického premietania do ľubovolne zvolenej roviny  kapa podmnožinanekonecnoE3, ktorá je rovnobežná s rovinou  pi, a pravolúhleho premietania na rovinu pi, resp. centrálneho premietania do roviny pi.


AN APPLICATION OF QVADRATIC PROJECTION

Abstract. In the paper, there is shown a method how to create transformations in the plane  pi podmnožinanekonecnoE3, namely a change of scales on coordinate axes. Transformations are generated as compositions of quadratic projection to the arbitrary plane  kapapodmnožinanekonecnoE3 parallel to the plane pi, and orthographic or central mapping on the plane pi.

1.  Úvod

V príspevku [2] sme sa zaoberali lineárnymi transformáciami v rovine. Pomocou zloženia dvoch lineárnych premietaní a zvolenej roviny sme vytvorili kolineáciu a jej niektoré špeciálne prípady. V tomto článku sa budeme zaoberať zmenou mierky na osiach, a uvedieme ako je možné geometricky vytvoriť práve túto transformáciu.


2.  Geometrický spôsob vytvárania transformácií [2]


       Majme v priestoru  pi podmnožinanekonecnoE3 danú rovinu  pi  a zvoľme v ňom rovinu   kapa  a dve rôzne premietania   f1 a f2 . Nech  X  je ľubovolný bod roviny  pi. Jeho obraz, bod  X' Î pi, získame takto:
        a) Bod X s pruhom  bude priemetom bodu  X  do roviny  kapa v premietaní  f1, teda f1(X) .
        b) Bod  X'  je priemetom bodu X s pruhom do roviny  pi  v premietaní  f2, teda f2(X).
Ak označíme  f  výslednú transformáciu v rovine  pi,  ktorá bodu  X  priradí bod  X' (X-X´),  potom f1*f2(X).

 


3.  Kvadratické premietanie [1]


       V priestore ĄE3  zvoľme vlastnú rovinu  ro ako priemetňu a dve mimobežné priamky  a, b,  z ktorých ani jedna neleží v rovine ro .

Premietacia priamka  sX  bodu  X,  X neleží  a    X neleží b,  je priečka mimobežiek  a, b,  ktorá prechádza bodom  X.  Definičný obor D(P) = ĄE3 - { a zjednotenie b }.

Uvažujme prípad, keď

     i) obidve priamky  a, b  sú vlastné priamky,

    ii) jedna z priamok  a, b  je vlastná a druhá je nevlastná.

 

 

4.  Zmena mierky na osiach a jej matematický popis

 

       Zvoľme rovinu  kapa  rovnobežne s rovinou  pi (pi = xy),  ktorá má rovnicu

(1)                  z = delta      

1.  Nech  f1  je kvadratické premietanie dané mimobežnými priamkami  a, b  typu i), t.j. obidve priamky  a, b  budú vlastné priamky, ktoré v kartézskej súradnicovej sústave umiestnime tak, že priamka  a  je rovnobežná so súradnicovou osou x  a os  z  pretína v bode  A=[0,0,c1]  a priamka  b  je rovnobežná so súradnicovou osou  y  a os  z  pretína v bode  B=[0,0,c2], c1 rozne c2 .

Premietacia priamka  s1Xtohto premietania  f1  je daná bodovou funkciou 

(2)                 X(t) = [x-c1x t, y-c2 t, c1c2 t] ,   t ÎR

a priemet bodu  X  do roviny  kapa  je bod 

   a) Nech  f2  je rovnobežné pravouhlé premietanie do roviny  pi  dané smerovým vektorom  s2 = (0, 0, 1).

 

                          

                                                                                Obr. 1.

 

       Konštrukciu bodu  X',  ktorý je obrazom zvoleného bodu  X,  vidíme na obr.1.  Priemet bodu X s pruhom  do roviny  pi  je bod 

(4)

Takto vytvorená transformácia  f  má analytické vyjadrenie 

(5)

Ak označíme 

(6)

potom rovnice (5) môžeme písať v tvare 

(7)

čo je analytické vyjadrenie zmeny mierky na obidvoch osiach x, y   v rovine  pi

 

                      

                                                               Obr. 2.


    b) Nech  f2  je stredové premietanie do roviny  pi  dané stredom  S2 = (0, 0, c3), c3  delta.

Premietacia priamka  s2X s pruhom  bodu X s pruhom  (vid obr.2) je daná bodovou funkciou

(8)
a priemet bodu  X s pruhom  do roviny  pi je bod

(9)
Rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom vytvorení transformácie získame analytické vyjadrenie transformácie  f.

(10)
Ak označíme

(11)
potom rovnice (10) môžeme písať v tvare 

(12)

čo je tiež analytické vyjadrenie zmeny mierky na obidvoch osiach x, y  v rovine pi. 

2.  Nech premietanie   f1  je kvadratické premietanie typu ii), t.j. dané nevlastnou priamkou  a  a vlastnou priamkou  b. Priamku  a  zvoľme ako nevlastnú priamku, ktorá leží v rovine  xz  a priamku  b  rovnobežne so súradnicovou osou  y pretínajúcu os  z   v bode  B=[0,0,c2]. 

Premietacia priamka  s1Xkvadratického premietania  f1 tohto typu je daná bodovou funkciou 

(13)                X(t) = [x+x t, y, -c2 t] ,   t ÎR .

 

                   

                                                                Obr. 3

 

    a) Nech  f2  je rovnobežné pravouhlé premietanie do roviny  pi  dané smerovým vektorom  s2 = (0, 0, 1). (obr. 3)
Ak bod  X  premietneme do bodu  X s pruhom  (vid obr. 3)  premietacou priamkou  s1Xdo roviny  kapa   a následovne bod  X s pruhom  premietneme premietacou priamkou  s2X s pruhom do roviny  pi,  získame bod

                     
Transformácia  f  bude mat analytické vyjadrenie

(14)
Ak označíme 

(15)

potom rovnice (14) môžeme písať v tvare 

(16)

čo je analytické vyjadrenie zmeny mierky na osi x  v rovine  pi,  teda pravouhlá osová afinita. 

       V prípade, ak priamka  b  bude nevlastnou priamkou ležiacou v rovine yz  a priamka  a  vlastnou priamkou rovnobežnou s osou  x,  je zrejmé, že získaná transformácia  f  bude zmenou mierky na osi  y. 

 

                   

                                                                    Obr. 4.

    b) Nech  f2  je stredové premietanie do roviny  pi dané stredom  S2 = (0, 0, c3),  c3  delta.  (obr. 4)
Geometricky vytvorená transformácia f1xf2 má analytické vyjadrenie 

(17)

Ak označíme

(18)

potom rovnice (17) môžeme písať v tvare 

(19)

čo je analytické vyjadrenie zmeny mierky na obidvoch osiach x, y  v rovine pi. 

       Je zrejmé, že zmenu mierky na obidvoch osiach x, y  v rovine  pi získame tiež aj v prípade, ak priamka  b  bude nevlastnou priamkou ležiacou v rovine  yz  a priamka  a  vlastnou priamkou rovnobežnou s osou x. 

 

5.  Záver 

       Vidíme, že zmenu mierky na aspoň jednej osi môžeme geometricky vytvoriť zložením uvedeného kvadratického premietania s pravouhlým rovnobežným premietaním, alebo stredovým premietaním, keď stred  S  leží na osi mimobežiek  a, b,  ktoré sú s rovinou  pi   rovnobežné a sú na seba kolmé. 

 

Literatúra 

[1]  SZARKOVÁ D., MALEČEK K.: Projections and their Classification, In: Strojné inžinierstvo 2000, 

      Zborník referátov z medzinárodnej konferencie, SjF STU Bratislava, s. 12-64 -12-67, 2000 

[2]  MALEČEK K., SZARKOVÁ D.: Lineární transformace v rovině, 

       In: Sborník 21. konference o geometrii a počítačové grafice, JČMF, LDF MZLU Brno, 

       Lednice na Morave, s. 102-107, CR, 2001 

 

 

Kontaktná adresa: 

1RNDr. Dagmar Szarková, Katedra matematiky SjF STU, Nám. Slobody 17, 812 31 Bratislava, SR, 

  tel.: ++4212 57296 394, e-mail:: szarkova@sjf.stuba.sk 

2RNDr. Kamil Maleček, Katedra matematiky FSv CVUT, Thákurova 7, 166 29 Praha 6, ČR, 

  tel.: ++4202 2435 4384, e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz