Šlabikár počítačovej geometrie

PG na CD

   
     

     

     

     

     

     

     

     

    

    

     

Autori: Jozef Zámožík, Dagmar Szarková, Zuzana Študencová

Kontakt: zamozik.j@seznam.cz; dagmar.szarkova@stuba.sk

Charakteristika: Podstata grafických algoritmov počítačovej grafiky spočíva v geometrii. Na nosiči CD s pracovným názvom Šlabikár počítačovej geometrie je široký výber geometrických tém a desiatky sekvenčných programov, ktoré sa osvedčili. Na rozdiel od rôznych grafických systémov chceme ponúknuť

pohľad na logickú štruktúru, vzťahy a vlastnosti mnohých geometrických objektov,
a ich grafický výstup cez počítač
 
Cieľom je oboznámiť primeranou formou a s použitím počítača s problematikou, v ktorej sa vyskytuje geometrický prvok. Obsah poskytuje používateľovi možnosti širokého spektra záujmu. Od hravých konštrukcií pre deti a mládež až po podporu konštruktérskych prác inžinierov.
Vákuum, ktoré vzniklo vyškrtnutím deskriptívnej geometrie z učebných osnov mnohých stredných a vysokých škôl vypĺňame primeranou pozornosťou základným premietacím metódam.
V geometrii a vo fyzike sa v posledných desaťročiach najmä vďaka výpočtovej technike skúmajú javy v prírode i spoločnosti metódami kvalitatívne odlišnými od tradičných statických metód. Vznikla fraktálová geometria a teória chaosu. V obsahu nájdete stručný výklad aj o týchto nových teóriách.
Pretože koncepcia viacerých tém vyžaduje primeraný matematický aparát, spätná väzba prispieva k prehĺbeniu matematických poznatkov. Nijako to však nebráni prístupu ku všetkým kapitolám aj používateľovi so skromnejším matematickým vybavením.

 Stručne o obsahu kapitol …
1.   Rovinné krivky
2.   Rovinné transformácie
3.   Premietanie
4.   Čiary v priestore
5.   Plochy
6.   Masívy
7.   Transformácie v priestore
8.   Modelovanie kriviek
9.   Modelovanie plôch a masívov
10. Rovinné oblasti
11. Geometrické modelovanie
12. Obrys a viditeľnosť
13. Fraktály a deterministický chaos
 


1. Rovinné krivky späť na obsah
V tejto kapitole sa zaoberáme veľkým množstvom rovinných kriviek. Príklady niektorých kriviek (kužeľosečky, cykloidy a i.) sú ilustrované animačnými obrázkami, resp. programom ich genézy.
Originálnou v kapitole je časť o hľadaní súradníc priesečníkov ľubovoľných (hladkých) kriviek, ktoré hľadáme pomocou algoritmov na PC. Kapitola môže slúžiť aj ako doplnok pri numerickom riešení rovníc..

 

 

 

2. Rovinné transformácie späť na obsah
Obvyklé typy lineárnych transformácií spolu so skladaním zobrazení ponúkajú značné množstvo zaujímavých obrázkov.
Špeciálnu skupinu tvoria z regulárnych zobrazení - zobrazenia nelineárne. Sú predobrazom rozličných reklamných obrazcov vhodných na animácie. Z nich sme zvlášť ponúkli obľúbenú kružnicovú inverziu a odtiaľ vyplývajúce konštrukcie v rozsiahlej kapitole Afinity pre IFS a hra na chaos.

                       

 

3. Premietanie späť na obsah
Obsahom tejto kapitoly je rovnobežné, stredové a cylindrické premietanie. Osobitne sa venujeme najčastejšie používaným premietaniam v bežnej praxi, a to Mongeovmu zobrazeniu a axonometrii. Súbor programov na PC v rôznych variáciách je zameraný aj na cvičenia priestorovej predstavivosti.
Jednoduchým postupom prostredníctvom programov možno získať útvary v lineárnej perspektíve (stredové premietanie).

 

4. Čiary v priestore späť na obsah
Tu nájdete frekventované krivky: cylindrickú, kónickú a sférickú skrutkovicu, Vivianiho krivku a iné, ich obrazy v rôznych premietacích metódach vyhotovené pomocou programov.

 

5. Plochy späť na obsah

V tejto kapitole nájdete návody na zápis nepreberného množstva plôch a následne ich obrazy vo zvolenom type premietania. Sú to najmä plochy rotačné, skrutkové, priamkové a translačné. Programy obsahujú viaceré manipulácie s útvarmi, afinitu, zmenu mierky a pod.



 

 

6. Masívy späť na obsah
Pod masívom (v anglickom prepise názov píšeme často ako M-solid) rozumieme uzavreté geometrické teleso, množinu bodov vyjadrenú vektorovou rovnicou
           r = r(u, v, w),
ktorá je spojitým obrazom kvádra.
Takto tvorené teleso je dobrým modelom pre mnohé objekty reálneho sveta. Pridaním ďalšieho parametra získame možnosť každý bod modelu ohodnotiť ďalším premenným údajom, napr. čas, teplota, ap. 9. Modelovanie plôch a masívov.

 

7. Transformácie v priestore späť na obsah
Transformácia v priestore je zobrazenie trojrozmerného (euklidovského) priestoru na seba. Zaoberáme sa predovšetkým lineárnymi transformáciami (opäť zhodnosťami, podobnosťami a špeciálne kolmou afinitou a ich zloženinami). Objektmi môžu byť krivky i plochy (aj splajnové útvary).Výsledný obraz pre lineárnu transformáciu dostaneme opäť pomocou príslušnej transformačnej matice. Nelineárne transformácie zadávame osobitnými rovnicami.

 

8. Modelovanie kriviek späť na obsah
Obsahom sú interpolačné (Fergusonova krivka, parametrický a funkcionálny kubický splajn) a aproximačné krivky (Bézierova a B-splajn krivka).

   

 

9. Modelovanie plôch a masívov späť na obsah
Modelované krivky a plochy sú často v pozornosti dizajnéra-konštruktéra. Návrh trupu lode, lietadla, karosérie auta súvisí spravidla s vyhľadávaním vhodnej sústavy kriviek tvoriacich nosný model budúceho objektu. V kapitole je uvedená frekventovaná skupina interpolačných a aproximačných plôch. Pridaním ďalšieho parametra vytvoríme model masívu.

 

10. Rovinné oblasti späť na obsah
Kapitola je orientovaná na praktické použitie: vypĺňanie oblasti (farbou alebo šrafovaním), množinové operácie s oblasťami (orezávanie oblastí, obrys a i.), triangulácia, výpočet plošného obsahu ľubovoľnej uzavretej oblasti.

 

11. Geometrické modelovanie späť na obsah
Táto rozsiahla kapitola sa týka generovania hranatých telies prostredníctvom dátovej štruktúry. Vychádzame v podstate z metódy B-reprezentácie, avšak s originálnym úsporným spôsobom zápisu. Súčasťou témy sú manipulácie s telesami: zmena rozmeru, premietania, polohy, viditeľnosť, rez rovinou a prienik telies.

 

12. Obrys a viditeľnosť späť na obsah
V kapitole je opísaných niekoľko algoritmov viditeľnosti telesa a scény vytvorenej zo skupiny útvarov, zvlášť algoritmus na bodovú a čiarovú viditeľnosť, viditeľnosť pomocou rozkladu hranice telies trianguláciou a dve riešenia pomocou istých vlastností z teórie grafov.

 

13. Fraktály a deterministický chaos späť na obsah
Vložením tejto témy do prezentovaného súboru chceme vzbudiť záujem i odvahu nazrieť do útrob objektov, ktorých geometrická genéza nie je obvyklá. Zmienka o fraktáloch, logistických modeloch, iteračných systémoch funkcií a chaose nie je samoučelná. Význam Feigenbaumovej konštanty, fraktálovej dimenzie, atď. už prax potvrdila. Lákavou a pre dorast i prekvapivou je Barnsleyho hra na chaos a farebné obrázky fraktálov (Mandelbrotova množina a i).



Iterácia a trajektória: orbit s chaotickým chovaním

 

Literatúra

[Asb] Asbőck, L.: Hidden Lines, IBDG Innsbruck, 1985, ss. 31-35

[Ball] Ballo, M.: A New Approach to Not Self-Intersecting polygon clipping, Machine Graphics & Vision, 3(1,2) Poland 1994, 111-122

[Barn] Barnsley, M.: Fractals Everywhere, Academic Press, Inc., New York 1988

[Bezi] Bézier, P.: Emploi des Machines a Commande Numérique.Masson et Cie, Paris 1970

[Brig] Briggs, K.: Precise Calculation of the Feigenbaum Constants, Math. Comput. 57, 1991, pp. 435-439

[BrigP] Briggs, J., Peat, F. D.: Die Entdeckung des Chaos, Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH & Co. München 1993

[BroS] Bronštejn, I. N., Semenďajev, K. A.: Príručka matematiky pre inžinierov a študujúcich, SVTL, Bratislava 1964

[CerK] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, Praha 1998

[Cizm] Čižmár, J.: Grupy geometrických transformácií, Alfa Bratislava 1984

[Deva] Devaney, R. L.: An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Redwood City: Addison-Wesley 1989

[Dev1 ] Devaney, R. L.: Chaos, Fractal and Dynamics, Menlo Park: Addison-Wesley 1990

[DrsL] Drs, L.: Plochy ve výpočetní technice, SNTL Praha 1984

[Drs1] Drs, L.: Matematické metody v počítačové grafice, ČVUT Praha 1990

[Fant] Fanta, J.: Počítačové technologie na kapitálových trzích, Computer Press, Praha 1998

[Fari] Farin, G.: Curves and Surfaces for CADG, Academic Press, New York 1990

[Gemb] Gembarovič, J.: Chaos, SPU Nitra 1997

[GieS] Giering, O., Seybold, H.: Konstruktive Ingenieurgeometrie, Műnchen-Wien 1987

[Glei] Gleik, J.: Chaos: Making a new science (čes. preklad: Chaos vznik nové vědy, Ando Publishing Brno 1996)

[GraS] Granát, L. – Sechovský, H.: Počítačová grafika, SNTL Praha 1980

[Hohe] Hohenberg, F.: Konstruktive Geometrie in der Technik, TU Wien 1966

[Kark] Karwowski, O.: Zbiór zadań z geometrii rózniczkowej, Wydawnictwa naukowo-techniczne, Warszawa 1973

[Kast] Kastenberger, A.: Schrägrisskonstruktionen mit dem Computer, Teil II, Informationsblätter für Darstellende Geometrie, Heft 2/1985, ss. 35-40

[KKK] Kadeřávek, F., Klíma J., Kounovský J.: Deskriptivní geometrie I, II, Nakladatelství české akademie věd, III. vyd., Praha 1954

[KMS] Kluvánek, I., Mišík, L., Švec, M.: Matematika I, II, 2. vyd., SVTL Bratislava 1965

[Lawr] Lawrence, J. D.: A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books, 1972

[Lenh] Lenz, H.: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1965

[Lenz] Lenz, H.: Grundlagen der Elementarmatematik, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1961

[LiaB] Liang, Y.D., Barsky, B.A.: A New Concept and Method for Line Clipping, ACM Trans. On Graphics, 3(1) 1985, 1-22

[Lock] Lockwood, E. H.: A Book of Curves, Cambridge University Press 1967

[Mand] Mandelbrot, B. B.: The Fractal Geometry in Nature, W. H. Freeman & Co., New York 1982

[Mart] Martišek, D.: Matematické principy grafických systémů, Littera Brno 2002

[Mayr] May, R. M.: Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics, Nature 261, 1976, pp. 459-467

[Mede] Medek, V.: Deskriptívna geometria, SVTL-SNTL, Bratislava-Praha 1962

[MedZ] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, Alfa Bratislava, 1978

[MeZa] Medek, V., Zámožík, J.: Osobný počítač a geometria, Alfa Bratislava, 1991

[Mong] Monge, Gaspard: Géométrie descriptive, Journal des Ecoles normales, Paris 1799

[Morrt] Mortenson, M. E.: Geometric Modeling, J.Wiley & Sons, New York 1985

[Musi] Musin, O. R.: Delaunay triangulation and optimality, ARO Workshop Comp. Geom., Raleigh (North Carolina), pp. 37-38, 1993

[Musn] Musin, O.R.: Index of harmony and Delaunay triangulation, Symmetry: Culture and Science, Vol. 6, No. 3, pp. 389-392, 1995

[PJS] Peitgen, H. O., Jűrgens, H., Saupe, D.: Fractals for the Classroom I, II, Springer-Verlag, Inc. New York 1992

[PreS] Preparata, F., Samos, I. M.: Computational Geometry, Springer-Verlag Berlin 1990

[Rkol] Rektorys, K. a spolupr.: Přehled užité matematiky I, SNTL Praha, 1988

[RogA] Rogers, D. F. – Adams, J. A.: Mathematical Elements for Computer Graphics, McGraw-Hill, Book Company New York 1976 (rus. preklad in )

[Ruel] Ruelle, D.: Where can one hope to profitably apply the ideas of chaos, Physics Today 1994 (čes. preklad in: Čsl. Časop. Pro fyziku 44(1994), ss. 259-266

[Schw] Schwarz, Š.: Základy náuky o riešení rovníc, Vydavateľstvo SAV, Bratislava 1968

[Smit] Smith, T.: Family Doctor HomeAdviser, Dorling Kinderley Ltd., London 1986

[Sper] Šperka,.M.: Počítačová grafika a numerické metódy, SVŠT- Alfa Bratislava 1985

[Stew] Stewart, I.: The Nature´s Numbers, The Unreal Reality of Mathematical Imagination, 1995 (slov. preklad Čísla prírody, neskutočná skutočnosť matematickej predstavivosti, Archa Bratislava, 1996)

[Tana] Tanasescu, A.: Geometrie descriptiva, Bucureşti 1965

[TanS] Tănăsescu, A., Sava, I.: Utilizarea calculatoarelor electronice în arhitectura şi perspectiva arhitecturala, Editura diactică şi pedagogică, Bucureşti, 1972

[Urba] Urban, A.: Deskriptivní geometrie I, II, SNTL-SVTL Praha-Bratislava 1978, 1979

[Vajs] Vajsáblová, M.: Geodetická krivka, ortodróma a loxodróma v kartografických zobrazeniach, G – Slovenský časopis pre geometriu a grafiku, I-1, str. 67-76

[Vel1] Velichová, D.: Masívy, G – Slovenský časopis pre geometriu a grafiku, I-1, 2004, str.77-86

[Veli] Velichová, D.: Konštrukčná geometria, Vyd. STU, Bratislava 2002

[Zkol] Zámožík, J.a kol.: Základy počítačovej grafiky - geometrická problematika, Vydavateľstvo STU, Bratislava 1999

[Zlat] Zlatoš, P.: Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou, IRIS 1995

http://astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/fracintro/ (fraktály)

http://classes.yale.edu/fractals/CircInvFrac/ (kružnicová inverzia)

http://classes.yale.edu/fractals/IntroToFrac/RandomIFS/RandAlgDef.html

http://fractalarts.com/ASF/Fractal_Gallery 1.html (fraktály)

http://web.pinknet.cz/fractal/fr0001.html (gallery fractal)

http://www.fee.vutbr.cz/~tisnovpa.html (fraktály)

http://www.sjf.stuba.sk/~szarkova//texty/kuzelosecky.htm

http://www.math.okstate.edu/mathdept/dynamics/lecnotes/node.html

 

 

 

Prosíme o zaslanie pripomienok k textu na e-mail adresu:

zamozik.j@seznam.cz