Elementárne geometrické útvary
Základnými geometrickými útvarmi sú body, priamky a roviny.
Nie je jednoduché definovať ktorýkoľvek z týchto elementárnych pojmov, ale všetky sa dajú intuitívne pomerne dobre opísať.
V axiomatickom systéme vymedzujúcom geometrický priestor sa nedefinovateľné pojmy bod, priamka a rovina používajú pri
definovaní iných pojmov, pričom jednotlivé skupiny axióm opisujú ich vlastnosti a vzájomné vzťahy.
Bod
Bod je elementárny prvok geometrického priestoru.
Geometrický bod je abstraktný pojem, bezrozmerný útvar, ktorý nemá žiadny rozmer, teda žiadnu dĺžku, šírku, ani výšku.
Jedinou charakteristickou vlastnosťou bodu v geometrickom priestore je jeho poloha. Reprezentovať túto polohu číselne môžeme
v zvolenej súradnicovej sústave priestoru, v ktorej sú každému bodu jednoznačne priradené jeho súradnice.
Priamka
Priamka je prienikom dvoch rovín. Je to jednorozmerný geometrický útvar, ktorý nemá žiadnu šírku ani výšku, ale jeho podmnožiny majú merateľnú "dĺžku". Priamku chápeme ako množinu bodov.
Body ležia na priamke, alebo priamka prechádza bodmi
Body jednej priamky nazývame kolineárne body. Existuje práve jedna priamka prechádzajúca dvoma rôznymi bodmi. Každé tri body jednej priamky
sú lineárne závislé, kolineárne body.
Bod rozdelí priamku na dve opačné polpriamky
a
.
Priamka nemá žiadny hraničný bod, polpriamka má jeden začiatočný bod.
Úsečka AB má dva hraničné body, začiatočný bod A a koncový bod B.
Priamka, polpriamka a úsečka, ktoré prechádzajú danými dvoma bodmi, majú niektoré spoločné body, ale aj body, ktoré nepatria všetkým útvarom súčasne.
Uvedenú skutočnosť možno vyjadriť pomocou množinových operácií zjednotenia a prieniku.
Nech je daná priamka . Polpriamka
je množina takých bodov priamky a, ktorej hraničným bodom je bod A a všetky body ležia v smere určenom bodom B,
pričom opačne orientovaná polpriamka
je množina bodov s hraničným bodom v bode B ležiacich v smere určenom bodom A.
Prienikom popriamok je množina všetkých ich spoločných bodov, čo je úsečka AB.
Zjednotením dvoch opačných polpriamok
je množina
všetkých bodov priamky , preto
Dve polpriamky so spoločným začiatočným bodom tvoria uhol. Polpriamky
sú ramená uhla,
ich spoločný bod S je vrchol uhla
Dve priamky , ktoré majú spoločný jeden bod
S, tvoria uhly
Susedné uhly
Uhly nazývame susedné, keď majú spoločný vrchol a jedno rameno.
Každé dve rôznobežné priamky tvoria 4 susedné uhly.
Každé dva susedné uhly, napr.
tvoria spolu priamy uhol,
ktorého veľkosť v radiánoch je .
Ramená uhla predĺžené
v opačnom smere od vrchola S tvoria uhol
, a takéto dva uhly
nazývame vrcholové uhly.
Vrcholové uhly
Uhly nazývame vrcholové, keď majú spoločný vrchol a ich ramená sú navzájom opačné polpriamky.
Každé dve rôznobežné priamky tvoria dva páry vrcholových uhlov. Vrcholové uhly sú rovnako veľké.
Ak sa dve priamky
pretínajú tak, že tvoria dvojicu zhodných susedných uhlov, nazývame ich kolmé priamky.
Ramená pravého uhla sú navzájom kolmé,
.
Uhol väčší ako pravý uhol sa nazýva tupý uhol, uhol menší ako pravý uhol sa nazýva ostrý uhol.
Tupý uhol je napr. , ostrý
uhol je .
Rovina
Rovina je dvojrozmerný geometrický útvar, ktorý nemá žiadnu výšku, ale jeho podmnožiny majú merateľnú "šírku" a "dĺžku".
Rovina rozdelí priestor na dva polpriestory.
Rovinu chápeme ako množinu bodov. Body ležia v rovine, alebo rovina obsahuje body
Všetky body tej istej roviny nazývame koplanárne body. Existuje jediná rovina, ktorá obsahuje tri rôzne nekolineárne body (neležiace na jednej priamke)
.
Každá tri nekolineárne body jednej roviny sú lineárne nezávislé, koplanárne.
Každé dva rôzne body roviny tvoria priamku roviny. Ak dva rôzne body
priamky a, ležia v rovine, potom v tejto rovine ležia všetky body priamky a,
priamka a leží v danej rovine. Pretože priamky aj roviny sú bodové množiny, uvedenú skutočnosť možno zapísať množinovou inklúziou
.
Ľubovoľná priamka roviny rozdelí rovinu na dve polroviny, napr.
a bod
určujú polrovinu
v rovine
.
Dve polroviny so spoločnou hraničnou priamkou sa nazývajú opačné polroviny, napr.
a .
Priamka v euklidovskej rovine
Nech je v euklidovskej rovine daná karteziánska súradnicová sústava
.
Nech má priamka p spád m a nech prechádza bodom
.
Ak je iný bod priamky p, potom platí
Uvedená rovnosť platí aj v tom prípade, keď .
Ak naopak pre súradnice ľubovoľného bodu
platí
potom bod leží na priamke p.
Nech p je priamka so spádom m. Pretože p nie je rovnobežná so súradnicovou osou y, musí ju pretínať
v nejakom bode . Súradnica b priesečníka sa nazýva
úsek na osi y.
Bod
je bodom priamky p, preto jeho súradnice vyhovujú rovnici
VETA 1.
Rovnica
je rovnicou priamky so smernicou zapísanou v úsekovom tvare .
Koeficient je spád priamky a konštanta
je dĺžka úseku, ktorý priamka vytína na súradnicovej osi
.
Lemma 1.
Rovnica priamky z predchádzajúcej vety sa dá zapísať pomocou determinantu v tvare
Poznámka 1.
Ak naopak, existuje priesečník priamky p so súradnicovou osou x, potom nenulová súradnica bodu
je úsek, ktorý priamka p
vytína na osi x.
Vodorovná priamka má nulový spád , preto jej rovnica v úsekovom tvare je
, alebo jednoducho
. Rovnica neudáva žiadnu podmienku
pre x-ové súradnice bodov vodorovnej priamky,
ale udáva podmienku, že všetky y-ové súradnice sú rovnaké a rovnajú sa b.
Pre vertikálnu priamku nie je definovaný spád, neexistuje teda jej rovnica v úsekovom tvare. Pretože však všetky body
vertikálnej priamky majú rovnaké x-ové súradnice rovnajúce sa úseku a, ktorý priamka vytína na súradnicovej osi x,
rovnica priamky sa dá napísať v tvare .
VETA 2.
Ak sú dané priesečníky (a, 0), (0, b) priamky p so súradnicovými osami, úsekový tvar rovnice priamky sa dá
zapísať ako
Poznámka 2.
Priamka, ktorej rovnica sa dá napísať v úsekovom tvare, nemôže prechádzať začiatkom súradnicovej sústavy,
a nemôže byť ani rovnobežná so žiadnou súradnicovou osou.
Lemma 2.
Úsekový tvar rovnice priamky sa dá zapísať pomocou determinantu nasledovne
VETA 3.
Ak
sú konštanty, pričom nie sú súčasne nulové, rovnica
je rovnicou priamky vo všeobecnom tvare.
Ak je ,
uvedenú rovnicu môžeme prepísať v úsekovom tvare
kde spád je
a úsek, ktorý priamky vytína na súradnicovej osi y je .
Pre musí byť
a rovnicu možno prepísať v tvare
čo je rovnica vertikálnej priamky.
V geometrickom zmysle je priamka jednoznačne určená dvoma rôznymi bodmi a
.
Každý iný bod priamky p sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia dvoch daných bodov, teda v tvare
kde
pre bod P
a pre bod Q priamky p, z čoho dostávame
a rovnicu môžeme prepísať v tvare
Dané dva body sú koncovými bodmi orientovanej úsečky - umiestnenia vektora
,
ktorý je smerovým vektorom priamky p.
VETA 4.
Parametrické rovnice priamky určenej dvoma rôznymi bodmi
a
sú
a symbolicky ich môžeme zapísať v tvare bodovej rovnice
LEMMA 3.
Rovnica z predchádzajúcej vety je rovnicou úsečky
pre hodnoty parametra ,
rovnicou polpriamky
pre hodnoty
a rovnicou opačnej polpriamky pre .
Úsečku možno považovať za dráhu pohybu hraničného bodu
, ktorý sa posúva v smere vektora
.
Vektorová rovnica úsečky sa dá vyjadriť pomocou súradníc bodov
a
a matice posunutia o násobky vektora
nenulovým parametrom v tvare
kde .
VETA 5.
Vektorová (bodová) rovnica priamky
určenej dvoma rôznymi bodmi a
je
Vzájomná poloha dvoch priamok
Majme dve priamky euklidovskej roviny.
Ak majú priamky spoločné dva rôzne body, potom sú totožné.
Dve rôzne priamky, ktoré majú spoločný jediný bod, nazývame rôznobežné priamky, ich spoločný bod je priesečník daných priamok.
Podľa Euklidovej axiómy o rovnobežnosti existuje jediná priamka c prechádzajúca bodom C neležiacim na priamke
rovnobežná s danou priamkou a.
Každé dve rôznobežné alebo rovnobežné priamky určujú rovinu. Dve rôzne priamky jednej roviny buď nemajú spoločný žiadny bod a
sú rovnobežné, alebo majú jeden priesečník a sú rôznobežné.
V trojrozmernom euklidovskom priestore existujú dve priamky, ktoré nie sú rovnobežné, nemajú žiadny spoločný bod a neležia v jednej rovine.
Takéto priamky nazývame mimobežné priamky.
Priamky prechádzajúce stranami kocky na obrázku, úsečka AB leží na priamke a a úsečka FG na priamke
f, tvoria dvojicu mimobežných priamok.
Uhol dvoch rovnobežných priamok je definovaný ako uhol rovnajúci sa 0 alebo
.
Uhol dvoch mimobežných priamok a a b je definovaný ako uhol dvoch rôznobežiek a´ a b´,
ktoré prechádzajú spoločným bodom P, každá rovnobežne s jednou z mimobežiek a a b. Priamky určujú rovinu
.
Určiť vzájomnú polohu dvoch priamok daných rovnicami znamená nájsť súradnice spoločných bodov priamky.
Úloha vedie ku riešeniu sústavy rovníc.
Nech sú dané dve priamky rovnicami
kde
sú konštanty, pričom dvojice , resp.
nie sú súčasne nulové.
Riešením uvedenej sústavy rovníc s dvoma neznámymi x a y, čo sú súradnice spoločného bodu priamok, nájdeme napr. tak, že
násobok prvej rovnice číslom
pripočítame k násobku druhej rovnice číslom .
Dostávame riešenie v tvare
V prípade, že číslo , resp.
,
násobok prvej rovnice číslom
pripočítame k násobku druhej rovnice číslom .
Riešenie sústavy je potom v tvare